常见几何体的面积体积求法与应用

1、常见几何体的面积、体积求法与应用要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别 对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，假设按课本上公式来 计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式， 对号入座很麻烦。笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、 体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技校学生来说，排除 大局部繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比方，估计某商品下 个月销售量，假设去年平均销售量为 y，设本月权为4，上月权数为1,下月 权数为1，各月权数分别乘销售量相加后除以 6等于y。这样能

2、准确地确定 下个月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通 过推导与实践，对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。常见几何体的面积、体积统一公式：h0A (Co 4Ci C2)6h0V -(So 4Si S2)6(其中A为几何体侧面积，Co为上底面周长，Ci为中间横截面周长， C2为下底面周长，V为几何体体积，So为上底面面积，Si为中间横截面面 积，S2为下底面面积，h为高，ho为斜高或母线长。注：中间横截面为上、 下底等距离的截面。)一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积、体积用统一公式的正确

3、性1、棱柱：据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即Co=Ci=C2，可得：ho(Co，4Ci(2) 士 6C2二hoC2，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。6 6以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的 正确性。据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知： £ = S = S2，即:hhV = (So 4Si S2) = (S2 4S2 S2) = S2h o662、棱锥ai，那么设底边长为a2，边数为n,斜高为ho，侧面三角形中位线为即GC22hh11A (Co 4Ci C2)(0 4 C2 C2)Czh。6622设正棱锥底面n边形中心点与边分割成 n块

4、三角形，相应对应中间 横截面也分割成n块三角形，而每块对应三角形底边aa2，且高也为一2半，即 hi 1 h2'2nn 111 n1S1玄,a? h?'a2h2'S222 224 24hUduu贝 U V(So 4S1 S2-(0 4 -S2 S2- 2S2 = -S2664633、棱台设上底面边长为 ao,中间横截面边长为a1，下底面边长为 a2，那么1 1a1(a° ' a2)，即卩 C(Co C2) o2 2hoho1hohoA o(Co4C1C2) oCo 4 (CoC2)C2o(3Co3C2)o(C。C2)66262设正棱台ho'为上

5、底面中点与边所分割成三角形的高，h1'为中间横截面相应分割成三角形的高，h2'为下底面相应分割成三角形的高， 那么hh2 a2即 a2hoaoh2',1 n 11nS-ina1h1'(aoa2)(ho'h2')(aoho'aoh2'a2ho'a2h2')2 2 228h11h1 n11丄7 =(So4SS2)= So 4(aoho'aoh2'a2ho'a2h2')S26 6 8二-So °aoho' naoh2 na2ho'azh：' S26 2 2

6、 2 2二-So So -a2ho -a2ho' S2 S26 2 2hn(2So 2S2 :; 2 a? ho')62hn(So S2a2 ho')32hn，n，(S) 5a2h) a2ho)3 22hn'n'= 3(S 5 2ao% 2 a2h2)h=-(So S , So S2)3注：以上几何体假设底边长不相等时，同理可推得。例：正四棱台容器量得斜高为1.3m ,上 下底面边长分别为0.8m 和1.8m，求容器能盛多少水?解：h-1.3(2I.8O.8211.3-()2 =1.2, a (0.8 1.8) =1.3V =h(S0 4S1 S2)=咚

7、(0.82 4 1.32 1.82) =2.128m3 二 2.128吨 6 6那么容器能盛2.128吨水。4、圆柱设母线长为ho，上底面半径为ro，下底面半径长为r2，中间横截面半 径为 r1，贝U ro=r1=r2hohoho.AO(CO4C1 C2)o(2二ro42二几2二r2)O(2二r28二r22二r2) = 2二r2ho666hh 222 h 222 h 22V =(So- 4Si-S2)=(To4 r1-T2)=(二W4 丁2二h ) =6二h = h h6 6 6 65、圆锥假设母线长为ho，底半径为r2,中间横截面半径为r1，那么十2.A = M(CO 4C1 C2)=匹(O

8、 4 2丐 2二r2) =(0 8二丄r2 2二r2)=址6二r2 - :r2ho6 6 6 2 6hh22 h122 h 22V (So4S1S2)(04r1-t2)(0 4二(r2)二r2)(二r2二r2)6 6 6 2 6h c- 21 _2,2_：r2r2 h636、圆台假设母线长为ho,高为h，上底面半径为ro，中间横截面半径为r1，下 底面半径为2,那么A =1(r°)。"h° 一6 'h02 二r°6h(2 二 r°6h(2 二 r°2hh222V(S0 4S1 S2)(二r04二A二r2 )66h z22小22

9、、(二r0二r0 - 2二r0r2 二r2 ：；xr2 )6h 22(2二r0 - 2二r0r2 - 2二r2 )6h 2222_、=3(二r0二r2.二r0二 r2 )L.s(S0 S2 - S0 S2 )3h0h0.A一(C0 4C1 C2)-(2二r0 4 2荷 2二r2)-614 2(r0 r2) 2二 r2 2-4：r04 二r22 二r2)h02 二 a)一 (C。C2)2-.hh r 2 1 /、22、V "4(0 2)二2 例：某圆台工件量得大头直径为36毫米，小头直径为 24毫米，长为180毫米，求体积。解：Tr。=12, 2=18, ri =1(12 18) =1

10、5, h =1802.V =180 (二 1224 二 1526二 182) =41040黒=41.04二厘米 3二、常见曲线围成面积与旋转体体积1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用:hA 二尹。4y1 y2)设一次函数:hA 二 o(ax b)dx 二y=ax，b在0,h的曲边梯形面积为:2x bx2一0 2hQ3ah 6b)(1)而这时f(0), f(h), f(h)分别为2贝U y0 =b, y1 =a h b, y ah b2uy° 4y1 y2 = b 4(a - b) ah b = 2b 2ah 4b ah 二 3ah 6b，代入(1) 可yo,yi,y2

11、得A*% *亦设二次函数:y =ax2 bx c在x0,h上的曲边梯形面积为:hax232x , x a bcx32h.3.2A = 0 (ax bx c)dx =;h 2 (2ah 3bh 6c)6由 f(0), f(h),f(h)分别为2a 2 b2y0 = c, y1h h c, y2 = ah bh c42ab那么 y0亠4y<i亠y2 = c亠4(_ h2 h亠c)亠ah2亠bh亠c42-h c)2(1)y。，yi,y2,2 2=2c ah 2bh 4c ah bh= 2ah2 3bh 6c，代入1可得：A 二y。"yr62设三次函数：y=ax3 bx2 cx e在0

12、,h的曲边梯形面积为:a4h 3 2A = 0 (ax bx cx e)dx =;a 3 -h( h4432-hx , xxb c ex32.4.3.2h, hh,b c eh432由 f(0),yo = e,b 2 ch 33h h e) ( ah326 2f(2), f(h)分别为 y。，h3 +bh2 ha b c e,842h3h2=e 4( a- b 8422bh 3ch 6e)yi,y2 ,yi即 Yo 4yi y232y2 = ah bh ch eh32电 e) ah bh ch e=e 旦 h3 bh2 2ch 4e ah3 bh2 ch e = ? h3 2bh2 3ch 6

13、e 2 2代入1 可得:A = (yo 4Y1 Y2)6综上所述，可得出一个结论：对于任何是由一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成的面积都可用:hA =評0 y1 y2。例：求f x x2 2x1与x x3 1,0,2所围成的面积。解： yo 二 f(0) -(0) =0, y f (1) -(1)=2, y f (2 (2) = 028.面积 A (0 4 20) =632、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用:在所有旋转体要求体积时，假设被积函数为一次函数、二次函数、三次 函数据对前面推导可知，其体积都可用V =hS° 4S1 S2。如：球半径为R时，球的体积为V = 2R(0 4二R2 0) = 4二R363例:求f(x ,x3 2x 5, x 0,2绕X轴旋转所成几何体体积。解:x =0时 So =慮 f2(0) =5二x = 1 时 $ =二 f 2(1) = 8 二x =2时 S2 m f 2(2) =17二2.V(5，亠4 8，T7