平面向量与三角函数教(学)案

1、第十讲平面向量与其应用例 1: ABC中，点 D在边 AB上，CD平分/ ACB假设 CB= a, C b, | a| = 1, | b| = 2,那么 CD 例题2.如图，在直角梯形 ABCD中, AB AD, AD DC 1,AB 3，动点P在 BCD运动，含边界，设AP AB ADR，那么的取值围是例3设P是ABC 一点，满足AP x 2y AB y 1 AC x, y R .那么x的取值围是.pqp q.AABC中，过重心G的直线交边 AB于P，交边AC于Q，设APQ的面积为S , AabC的面积为S2 , AP pPB , AQ qQC，那么iii的取值围是S2例1.在八ABC中，

2、B 60 , AC J3,那么AB 2BC的最大值为 .例2.在锐角 ABC中，tanA = t 1, tanB = t 1,那么t的取值围是 .例3.在厶ABC中，设AD为BC边上的高，且 AD BC, b, c分别表示角B, C所对的边长，那么b £ c b的取值围是.例4.在等边色ABC中，点P在线段AB上，满足APAB,假设CP AB PA PB,那么实数 的值是.例5.在入ABC中有如下结论：“假设点 M为人ABC的重心，那么MA MB MC 0 ",设a, b,3 _c分别为 入ABC的角A, B, C的对边，点 M为几ABC的重心.如果aMA bM cMC 0

3、 那3，么角A的大小为 ;假设a = 3，那么几ABC的面积为.例6点 0ABC的外心，AB 3, AC 2,假设 AO xAB yAC , x+ 2y 1,那么 cosB .例7.如图，平面有三个向量 OA,OB,OC，其中0A与0B的夹角为120° OA与OC的夹角为150°且 oA QB；1, oC 2J3OC OA OB( , R)，那么例8.在口ABCD中，AB 5, AD 4,点P在厶BCD包括周界，设AP xAB yAD，那么一切点x, y形成区域的面积为例9.如图，在 ABC中，AD丄 AB, BC J3 BD , | AD | = 1,那么 AC AD =

4、 例10. 在厶ABC中，AB 3, O ABC的外心，且 OA BC 1,那么AC 例11.平面上三点代B,C，满足|AB| 2,| BC | 3|CA| 4,那么 AB BC 2BC CA 3CA AB 例12.直线丨与函数y sin x(x0,)的图像相切于点 A，切l/OP , O为坐标原点,P为图像的极值点，丨于x轴交于B点，过切点A做x轴的垂线，垂足为C，那么BA BC 例13. 在ABC中，满足：AB AC , M是BC中点1假设|AB| |AC|，求向量AB 2AC与向量2AB AC的夹角的余弦值;2假设0是线段AM上任意一点，且|厢| |屁|、2，求OAOB OCOA的最小值

5、;3假设点P是BC边上的一点，且 AP AC 2AP AB 2 ,|AP| 2，求|AB AC AP |的最小值.13.如图，在直角ABC中，BC a，假设长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值参考答案:1.解析：|5a b|2=(5ab)2 2=25a10a b + b ,2512 10 131 2(-)3249,2故 |5a b1 7.2.解析：a= 2,1，b=一1, m，c= 一 1,2，a + b=1,m 1,又a+ b/ c1 * *2+ m 1 = 0, m=1.3.解析：以0为原点,OC, 0B所在的直线为 X轴和y轴建立

6、如下列图的坐标系*由 0A=2 , AOx 1200，所以 A2cos1200,2sin120°，即A-1, ,3 , 易求 B 0,-1 , C3,0，设OA Xi OB 入2 OC,即-1,J3 入i 0,-1入2 3,0 ,-1 3X2 X 一爲>/3- x 入22 3a 3b !c.101034解析：设向量 a与b的夹角9,有cos 9Ta?b1 2 2 ( 2) =|?|b 严百右而6d(2a b) (3b a) 7a b 3b2 2a217a在 b 方向上的投影=I a I cos 9= 5 x一 =-10 25解析:令cab，那么(6,5)(2, 4)(1,3).

7、(6,5)(2,43 ),c2326 一H23 -1-21 -,2 ,- pa 2ba17ba15b.43522176解析:由题意，a,b 1，且a与b的夹角为1200 ,所以，a b )ab|cos120°-2丁 c2cc(2a b) (2a b) 4a24a bb2 7c 、7，同理可得d v13 .为c与d的夹角，那么n17J91cos & =_ =2/7./131827解析：设点D的坐标为x, y，/ AD是边BC上的高， AD丄BC , AD丄BC又 C、B、D 三点共线， BC / BD又 AD =x 2, y 1，BC = 一 6, 3，BD =x 3, y 2

8、6(x 2) 3(y 1) 06(y 2) 3(x 3)0以PA、PE为边作平行四边形 由正六边形的性质可知| PO| 以PB、PD为边作平行四边形 由正六边形的性质可知| PF |PAOE，那么 PO PA PE , | PA | b，且0点在PC上，PBFD，那么 PF PB PD，3b，且F点在PC的延长线上9解方程组，得x=97 ,y=55点 D的坐标为97? 丨，AD的坐标为-1, ? 55558解析:不妨设C (m, n)，那么ac 1m,2n ,a b (3, 1)，对于 c a / b,1-1-77那么有3(1 m)2(2n)；又ca b,那么有3m n 0,那么有m, n93

9、9解析：所求五个力的合力为PAPB PCPDPE，如下列图,由正六边形的性质还可求得 | PC | 2b故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 2b 3b 6b，方向与PC的方向一样.e i + 3e2= ei 4e2,10.解析：BD = CD CB = 2 e 1 e2T A、B、D 三点共线，.存在实数人使 AB = XBD ,. 2 e 1 + ke2=入e 1 4e2于是可得 2，解得k = 8.k 411.证明：设 OA = a, OB = b, OC = c,那么 BC = c b, CA = a c, AB = b a./ |OA|2 + |BC |2= |OB |2+

10、| CA |2= |OC |2 + |AB |2 a2+ c b2= b2+ a c2= c2+ b a2即 c b = a c= b a,故 AB - OC = b ac = b c a c = 0.BC QA = c b a= c a b a= 0, AB _L OC , BC _L OA , 点O是/ABC的垂心.12.解析:设ABACb , AP1a , AQ2b，因为G是厶ABC的重心,故AG1 (一3(ab),131a因为PG与PQ共线，所以PQ又PGAGAPAQAP2bPG，即(11)1a (32)b 0,又a与b不共线，所以(31)，消去，得11)那么S11),|AP|IAQ|sinBAC| AB| | AC | sin BAC21_3?1(13)2 2)当P与B重合时，11,当P位于AB中点时,，§S24 19,2)S 4 1故S 9,2.但因为P与B不能重合，故13.解析:*AB AC, AB AC0.TAP AQ,