平面几何的几个重要的定理

1、对于平面几何的几个重要的 定理一、梅涅劳斯定理:定理1假设直线I不经过ABC的顶点，并且与 线分别交于P、Q、R，贝VBP CQ AR1PC QA RB证：设hA、hB、he分别是A、B、C到直线I的垂线的长度，贝y：BP CQ AR h b he hA ,1PC QA RB h c hA hB注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；证：在 KF_CE中CK乍CB的平分线BH贝 U EBCACACKHBCACEHBCHCBACEHCB 90即: BH CE例1:假设直角ABC中，CK是斜边上的高的延长作BC上的高EP，贝U: CK EPACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有C

2、D 胆 KF i DA EK FCEP BP BKAC BC BE即 KF _ BK FC _ BEABC的三边BC、CA、AB或它们CE是ACK的平分线，E点依分比定理有:KF _ BKKC _ KE在AK上,D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF / CEEBC为等腰三角形FKB CKEBF /CEAi Ci Ai DiBi Ci Bi Di定理2 :设P、Q、R分别是ABC的三边BC、 CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且【练习1从点K引四条直线，另两条直ADAC BD 和 A1 > Bi> Ci> Di,试证：-BC 线分别交这四条直线于 A、B、C、D

3、AR ARU : - L = R B RBP、Q、R三点中，位于 ABC边上的点的个数为 0或2,这时假设 聖CQ ARPC QA RB求证：P、Q、R三点共线;证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理BP CQ AR 'PC QA R' B又 BP CQ AR PC QA RB由于在同一直线上的=贝P、Q、R'三点中，位于ABC边上的点的个数也为 0或2,因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在 AB的延长线上;假设R与R'同在AB线段上，那么R与R'必定重合，不然的话，设AR AR',这时AB AR AB AR '

4、，即卩BR BR',于是可得AR AR'AR AR这与 =T矛盾BR BR类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时,综BR BR'R与R也重合上可得：P、Q、R三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要屡次使用再相乘;例2点P位于ABC的外接圆上；Ai> 证明点Ai> Bi> Ci共线；Ci是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足,BAiBPcosPBCCAiCPcosPCBCBiCPcosPCAABiAPcosPACACiAPcosPAB证：易得:BCi PB cos PBA将上面二条式子相乘，PCA PBA i80且 PAC

5、PBC , PAB PCB , BA i CBi ACi i , CA ABi BCi可得依梅涅劳斯定理可知 Ai> Bi> 6三点共线；下载可编辑【练习2】设不等腰 ABC的内切圆在三边 BC、CA、AB上的切点分别为 D、E、F，那么EF与BC , FD与CA , 与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上；【练习3】直线AAi，BB i，CCi相交于0,直线AB和A1B1的交点为 C2,直线BC与BiCi的交点是A2，直线AC与AiCi的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线;CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线练习1的证明证：假设AD

6、 / AiDi,结论显然成立；假设别用于AiAL和BiBL可得:AD与Ai Di相交与点L,那么把梅涅劳斯定理分ADLD j AiKLC AKAiCi【练习小在-1条直线上取B点E、AC AiKLCiLDBQBiK LDiC、BD刁耳 AD将上面四条式子相乘可得：ACBC AiCiBD AiDiAi Di即:也：女口AiCiBi DiBC BDBiCiBC LC l BiKBK iLC、FBiCi 记直线 AB 和口 ED，BD iBiCi证：ABC被直线XFE所截，由定理1可得：BXCEXCEA又 AE AF代人上式可得：BXFBXCCECYDCAZEA同理可得：YA AFZBBD将上面三条

7、式子相乘可得：BXCY AZd1得：XCYA ZB又 X、丫、Z都不在ABC的边上，由定理2可得练习2的证明、丫AFFBZ三点共线练习3的证明证：设A2、B2、C2分别是直线C BCAi®c们1边上的点:OAB AB和口 AiBi的交点，对所得的二角形和在它Ci ,A2 ),OAC 和(Ai,AAi OBi BC 21OAiBBi AC?将上面的二条式子相乘和(A" Ci,B2)应用梅涅劳斯定理b1 ,C2 ),OBC和(B 有：，OCi BBBBCAA21 OACCi OBi BA 2 可得：BC aAA1CA2AC 2 CB 2由梅涅劳斯1CCiAB 2 iOCiCB

8、2定理可知A2, B2 ,C2共线练习4的证明证：记直线 EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为 U、V、W，对 UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E ),( A,M ,F ),(B,C,N ),( A,C,E ),( B,D,F )，那么有,UN WC VB1VN UC WB1,点L,M ,N共线UE VL WD VE,VA UF WMWL UD WAWA VF YM,WB UD VF 1UC VE VA WCVB WD UFUE将上面五条式子相乘可得益晋赭平面几何的几个重要定理 塞瓦定理塞瓦定理：设P、Q、R分别是ABC的BC CA、AB边上的点，贝U AP、BQ、CR

9、三线共点的充要条件是：聖3塑1PC QA RBRCPBQV证：先证必要性：设 AP、BQ、CR相交于点M贝BMPSACP CMPSBCMSABMSACMSBCM以上三式相乘，得：C2竺=iPC QA RBBP S ABP S BMP S ABM PC S ACP S CMP S ACM同理：BQAARRBBP CQ AR再证充分性：假设 1,设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R,PC QA RB由塞瓦定理有：圧竺翌1,PC QA R B于是：竺=纯R B RB因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M；例1:证明：三角形的中线交于一点;证明：记ABC的中

10、线AA, BB, CC,，我们只须证明型-BAi1C, B A,C B, A而显然有：AC, C, B, BA, A1C,CB 1 B, AAC, BA, CB,即111 1成立， ABC父于一点;C, B A,C B, A【练习1】证明：三角形的角平分线交于一点C【练习2】证明：锐角三角形的 高交于一点;C1C的平分线交于AB于L,从L作边AC和BC的垂线，分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CP AB证：作CK AB下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，BM、AN三线共点，依塞瓦定理证CK、又MC即要证AM CN BK ,即要证:MC NB AKCN要BAMLAM BK AM A

11、L AK AKCACBNLBKCBK BCNB BL即要证AC匹1 BLAK NBANFCAELcd “CNCF共点于P,根据塞瓦定理可得：-BDDCFDA,DCAD BC 故 可得AMEAMCDMN /BC ,BDFAE AN CDE， Af，CE，BD于是AMAD、BE、AE CDCEAM ANEDAAF BDBFFDA【练习创CANBCMABC外有三点M、N、R,且BAR ,CBM ABR , ACN，证明:BN、CR三线共点；AM、AF BDBFCE AF ,1EA FB】依三角形的角平分线定 理可知：昱ACCK、BM、AN三线共点，且为P点CP ABP是AD上任一点，BP、CP分别与

12、例3.设AD是ABC的高，且D在BC边上，假设AC、AB 交于 E 禾口 F，贝 U EDA= FDA证：过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别 交于M、N。欲证EDA可以转化为证明AM AN例 4.在 ABC 的边 BC、CA、AB 上取点 A,、B,、C,证明 ACl BA CB1sin ACC , sin BAA sinsin CBBC,B A,C B,AC,CB sin A ,ACsin B, BA证：如图对 ACC，和 BCC,应用正弦定理，可得AC, sin ACC , CC,sin BC,Csin AC, B sin C ,CB即.AC,sin ACC, sin BC,Bsi

13、n C,CB sin A同理.BA sin BAA sin CA, C sin A,AC sin BCB, sin CBB, sin AB, A sin BBA sin CBi从而 JAC! .BAl CB, sin ACC , sin BAA, sin CBBGB A,C B, Asin GCB sin A AC sin B , BA【练习4】在ABC的边BC、CA、AB 上取点 A,、B,、C,使 AA,、BB,一点，证明，关于角平分线对称于这些直线的直线 AA2、BB2、CC,相交于CC2也相交练习,答案: 证：记 ABC的角平分线分别是 AA, BB,CCAC, b BA, c CB

14、, aC, B a' A,C b B,A cAC, BA, CB,C, B A)C B, A三角形的角平分线交于一点；练习2答案: 证：记锐角 ABC的角平分线分别是 AA, BB,CC,设 CB,=x，那么AB,=b x ，那么:c2 (bx)2BB,CB,2 a .2 b cx2b那么：B, Ac2 b2 a同理可得:2bACb2 2 c 2 aC,B2 2 a c b22cBA, -JA,C2a2c.2 2b a2aAC, BA, CB, C, B A, C B, A下载可编锐角三角形的三条高交于一点三个内角分别记为sin( B)sin( C)练习3的答案:BMSABMAB si

15、nBAMCM SACMAC sinCAMAB BMsin(A)AMAB sinAC CMsin(C)AMAC sin即：BMCMAB sinsi n(B )AC sinsi n(C )证：设AM与BC交于M ，BN与AC交于NCR与AB交于R, ABC的同理.CN _ BCsinsin( C)? AN BAs insi n( A)AR _ CAsin sin( A ) BR ' CBsi n sin( B )将以上三式子相乘可得：匹理ALCM AN BR根据塞瓦定理可知：AM 、BN '、CR 三点共线。练习4的答案:AC2BA2 CB2sin ACC2sinBAA 2 sin

16、CBB2C2BA2C B2 Asin C2CBsinA2 AC sinB2 BA又AA2、BB2、CC2关于角平分线对称于AA,、BB,、CC,贝 VACC 2C,CB , ACC ,C2CBsinACC 2 sin BAA 2 sinCBB2sinCiCB sinA, AC sinB, BAsinC2CB sinA2AC sinB2BAsinACC, sinBAA, sinCBB,证：A2、B2、C2位于4的结论有:ABC的边上，根据例G B A,C B,A , AC, BA, CB,从而AC2 BA2 CB222C2 B A2C B2 AAA2、BB2、CC2三线共点平面几何的几个重要定理

17、-托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积设四边形ABCD内接于圆，那么有AB CD AD BC AC BD :定理：在四边形 ABCD中，有：AB CD AD BC AC BD并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立;证：在四边形ABCD内取点E,使BAE贝U: ABE禾口 ACD相似CAD, ABE ACDAB BEAB CD AC BEAC CDAB AE 匚 又且BAC EADAC ADBABED和 AED 相似AD BC AC EDAC ADAB CD AD BC AC (B

18、E ED)AB CD AD BC AC BD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当 A、B、C、D四点共圆时成立;、直接应用托勒密定理例1如图2，P是正 ABC外接圆的劣弧EC上任一点不与B C重合，求证：PA=PB- PC.分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗假设借助托勒密定理论证，那么有 PA- BC=PB AC - PC- AB? AB=BC=AC 二 PA=PB+PC、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理：在 Rt ABC 中，/ B=90° ,求证：AC=AB + BC证明：如图，作以Rt ABC的斜边AC为一对角线的矩形 ABCD显然AB

19、CD是 圆内接四边形.由托勒密定理，有AC- BD=AB CM AD- BC 又？?？ ABCD!矩形，? AB=CD AD=BC AC=BD 把代人，得 AC=AB + BC.D,连结BD求证:例3如图，在 ABC中，Z A的平分 线交外接/圆于AD- BC=BDA 母 AC.证明：连结CD依托勒密定理，有 AD- BO AB- CM AC- BDvZ 1=Z 2，a BD=CD故 AD - BC=AB BD+ AC- BD=BD ( A 母 AC).三、构造图形借助托勒密定理例 4 假设 a、b、x、y 是实数，且 a2 + b2=1，x2 + y2=1.求证：ax + byv 1.证明：

20、如图作直径 AB=1的圆，在AB两边任作Rt ACB和Rt ADB使 AO a， BC=b BD= x，AD= y.由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理，有 AC- B? BC- AD=AB CDvCDc AB= 1 ， ?'? ax+ by< 1.四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5a、b、c是厶ABC的三边，且a2=b(b + c)，求证: Z A=2/ B.分析：将a2=b(b + c)变形为a - a=b - b + be，从而联想到托勒密定理，进而 构 造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c.证明：如图，作 ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D,连结BD DC DA? AD=BCAtb=BDC .?/ ABD BAC又?/ BDA" ACB 对同弧),?/ 仁/2.于是 BB=AC?贝9 B>AC=b .依托勒密定理，有 BC- AD=AB CDf BD- AC. 而 a2=b(b + c)，即 a - a=b ? c+ b2. 比拟、陽 CD 仆 BD * C