应力状态分析和强度理论

1、第八章 应力状态和强度理论授课学时：8学时主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。$8.1应力状态概述单向拉伸时斜截面上的应力1.应力状态过构件上一点有无数的截面， 这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态2单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力N=A斜截面上的应力PaPAap二 COS JAcos 二Pa斜截面上的正应力和切应力为二a = Pa COS：二二 COS2 :aa = pa sin sin 2 二2可以得出:-=0 时maxJI时4max过A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，那么此平面称 为主平面。主平面上

2、的正应力称为主应力。主单元体假设单元体三个相互垂直的面皆为主平面，那么这样的单元体称为主单元体。个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。 三个主应力中有两个不为零，称为二向应力 状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数 值的大小排列，即为二1 _匚2 _匚3。$8.2二向应力状态下斜截面上的应力1.任意斜截面上的应力在根本单元体上取任一截面位置，截面的法线n。在外法线n和切线t上列平衡方程-adA ( xydAco s)si n -(；xdAco s)co s(yxdAsin ： )cos：-(二 ydAsin ： ) sin ： = 0adA - x

3、ydAcos： cos： - sdAcos： sin :二ydAsin ： cosj - yxdAsin: sin： = 0根据剪应力互等定理，xy二yx，并考虑到以下三角关系21 cos2j 21 - sin 2-：scos,sin :2 22si nrcos： = si n2_：i简化两个平衡方程，得2cos2：- 7xysin 2：x %si n2HxyCOs2a22.极值应力将正应力公式对a取导数，得d 石rx_by° = 一2y sin 2° + Txy COS2a如2_2d Q-假设- - - 0时，能使导数0，那么d«2sin 2 0xy COS2：

4、0= 0tg2 02 xy上式有两个解：即0和090。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为 max°x+Dy ° x y 22：-0代入剪力公式， 一0为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。d t将切应力公式对：求导，令二x - ；y cos2： -2. xy sin 2=0dad t假设二二时，能使导数0，那么在宀所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求da导可得；x -厂 ycos2 2 xy sin

5、2：“ = 0tg2： i2 xy求得剪应力的最大值和最小值是:TmaxT . min+ T2xy与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方 位的对应关系是：假设.xy 0，那么绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面。3. 主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系:-与：'i之间的关系为tg2 0 二1tg2 iji1 八 0-4这说明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45 o$8.3二向应力状态的应力圆1应力圆方程将公式-y2£xD x 口 y+cos2a ?：xysin 2c(2 ysin 2二2中的削掉，得/+CTy2-C

6、y甩-2J22-xy由上式确定的以二:.和.：.为变量的圆，这个圆称作应力圆。圆心的横坐标为圆的半径为TmaxCT -ff_ _r = maxmm"-_ 22. 应力圆的画法建立二-.应力坐标系注意选好比例尺在坐标系内画出点 D二x,xy和D'；y,.yxDD'与轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AD为半径画圆 应力圆。3单元体与应力圆的对应关系1圆上一点坐标等于微体一个截面应力值2圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍3对应夹角转向相同4. 在应力圆上标出极值应力T min$8.4三向应力状态1三个主应力二1 -匚2 -二32.三向应力圆的画法由二1,二2作应力圆

7、，决定了平行于 二3平面上的应力由二3,二1作应力圆，决定了平行于 二2平面上的应力由二2,二3作应力圆，决定了平行于 二1平面上的应力2.复杂状态下的应力一应变关系三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得勺-1卩2卩辽3.A=一 G t 一卩(CT 2EEEE1-十6】Eb2-呱3P)1 13 =E屯5+ cr2)3. 体积胡克定律单元体变形后的体积为V = dx *dy *dz单元体变形后的体积为V| = dx Mdx dy 2dy dz 3体积改变为1-2SEJ飞2+ S)=3(1-N)3 单元体正应力的极值为-max 二-T