杨辉三角的规律以及推导公式-杨辉三角规律

1、杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理2杨辉三角我们首先从一个二次多项式的展开式来探讨。由上式得出：(a+b) = a+2ab+b 此代数式的系数为：1 2 133223则(a+b)的展开式是什么呢？答案为：a +3a b+3ab+b 由此可发现，此代数式的系数为：1 3 3 1 但4展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4似乎没有什么规律，所以让我们再来看看的展开式。1(110)1 1(111)1 2 1(112)1 3 3 1(113)1 4 6 4 1(114)1 5 10 10 5 1(115)1 6 1

2、5 20 15 6 1(116)杨辉三角形的系数分别为：1, (1,1 ) , (1,2,1 ),(1,3,3,1 ),(1,4,6,4,1) (1,5,10,10,5,1),(1,6,15,20,15,6,1(1,7,21,35,35,21,7,1)所以：(a+b) 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7o由此又可发现，代数式的系数为:1 4 6 4 1似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列:由上式可以看出，(a+b) n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2n-n，b的次数依次上升，0、1、2n次方。系数是 杨辉三角里的系数。2

3、杨辉三角的幕的关系11 11 2 11 3 3 1首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下:(1 )(1+1=2 )(1+2+1=4 )(1+3+3+仁8 )(1+4+6+4+ 仁16 )1 5 10 10 5 1(1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1(1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，n次幕，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幕3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系1 6 15把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行

4、之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。将上面得到的数字与杨辉三角中的第中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、第n行的数字有n+1项。4、 第n行数字和为2 (n-1)。( 2的(n-1)次方)5(a+b) n的展开式中的各项系数