中南大学系统可靠性分析与评价作业答案

1、精选课件1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：0.25( )0.25()8f tt式中：式中：t为年。为年。求：累积失效概率求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率(t)，平均寿命，平均寿命MTTF，中位寿命中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。精选课件习题习题2：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，(t)=0.25(t)=0.251010-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均的可靠寿命，平均寿命寿命MTTF，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿和特征寿命命T(e-1)。精选课件习题习

2、题3：50个在恒定载荷运行的零件，个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累积失效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效时的失效概率密度；概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。时间时间h1025501001502504003000失效数失效数n(t)42375343累积失效数累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数仍旧工作数N-n(t) 4644413429262219精选课件习题习题1 1：一组元件的故障密度函数为：一组元件

3、的故障密度函数为：0.25( )0.25()8f tt式中：式中：t为年。求：累积失效概率为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率(t)，平均寿命，平均寿命 ，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。答案解：解：20222000.25( )( )0.25()160.25( )1( )1 0.2516( )2 0.25( )( )8 20.1250.25( )(1 0.25)16tF tf x dxttR tF tttf tttR tttR t dttt dt 8200.25(1 0.25)2.66716tt dt年上式中不知道上式中

4、不知道是多少，但有是多少，但有R()=0R()=0，即：，即： 20.251 0.25016tt解得解得t t1 1=t=t2 2=8=8年，表明年，表明8 8年后元件将全年后元件将全部失效部失效20.5Rr为中位寿命，即：0.250.5=1-0.25r+16解得解得r r1 1=2.243=2.243年年(r(r2 2=13.66=13.66年年88年舍去年舍去) )。20.368Rr为特征寿命，即：0.250.368=1-0.25r+16解得解得r r1 1=3.147=3.147年年(r(r2 2=12.85=12.85年年88舍去舍去) )。精选课件习题习题2 2：已知某产品的失效率为

5、常数，已知某产品的失效率为常数，(t)=0.25(t)=0.251010-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命的可靠寿命，平均寿命 ，中，中位寿命位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。解：解：0( )( )1ln( )tt dttR teetR t 4414001(0.99)ln(0.99)4020.25 101(0.5)ln(0.5)27725.60.25 101()ln(0.368)400000.25 101( )40000tththt ehR t dtedth 可靠性寿命中位寿命特征寿命平均寿命：精选课件习题习题3 3：5050个在恒定载荷运行

6、的零件，运行记录如下表：个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累积失效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效概率密度；时的失效概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。时间h1025501001502504003000失效数n(t)42375343累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数N-n(t) 4644413429262219解：解：(100)34(100)0.6850( 400)22(400)0.4450(100)(100)16/500

7、.32(400)(400)28/500.56Nn tRNNn tRNnFNnFN3333(10)2(10)2.67 10 /50(25 10)(25)3(25)2.4 10 /50(50 25)(25)3(25)2.7 10 /(25)44(50 25)(100)5(100)2.9 10 /(100)34(150 100)nfhN tnfhN tnhNntnhNnt要点：要点：f(t)f(t)、 (t)(t)是研究是研究t t时间后单位时间的失效产品数，时间后单位时间的失效产品数， f(t) f(t) 是除是除以试验产品总数，以试验产品总数，(t)(t)是除以是除以t t时仍正常工作的产品数。

8、注意单位。时仍正常工作的产品数。注意单位。 精选课件习题习题4：一设备从以往的经验知道，平均无故障时一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为间为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少该设备的稳态有效度为多少?1MTTR如果维修时间服从指数分布，有0( ),1( )tR teMTBFR t dt如果服从指数分布提示：提示：精选课件习题习题4答案：答案：一设备从以往的经验

9、知道，平均无故障时间一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。故障时间及修复时间服从指数分布。求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设备该设备的稳态有效度为多少的稳态有效度为多少?解：解：(1)该设备平均无故障时间时间为该设备平均无故障时间时间为20天，即天，即MTBF=20因因MTBF=1/，=1/20；同理平均修复时间为同理平均修复时间为2天，天，MTTR=1/，=1/2R(5)=exp(- t)=exp(-5/20

10、)=0.779R(15)=exp(- t)= exp(-15/20)=0.472(2)A= /(+)=0.909或或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 稳态有效度定义稳态有效度定义( )UMTBFAAUDMTBFMTTR 可工作时间可工作时间不能工作时间精选课件习题习题6 61knXbaaqqknn=0设离散型随机变量 的分布律为P(X=k)=pk=1,2,3, ，则b, 必须满足什么条件？提示：等比级数：(aq)习题习题7 711212311()(1),1,2,3,(01)()()11,| 1,| 1(1)(1)knnnnXP XkppkpE XD Xxnxxn x

11、xxx设随机变量 的分布律为：求：均值和方差。精选课件习题习题6 61knXbaaqqknn=0设 离 散 型 随 机 变 量的 分 布 律 为 P(X=k)=pk=1,2,3,， 则 b, 必 须 满 足 什 么 条 件 ？提 示 ： 等 比 级 数 ： (aq)解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件: (1)pk 0； (2)1kkp 01,2,3,0(1)11111kkkkpbkbbbbki=1i=1i=0因对所有的成立，故必须b0且。又1=pb且必须0 1故和0 1为该分布律的满足条件精选课件习题习题7 711212311()(1),1,2,3,(01)()()11,| 1,| 1(

12、1)(1)knnnnXP XkppkpE XD Xxnxxn xxxx设随机变量 的分布律为：求：均值和方差。1111212221112132122222()()(1)11(1)(1 (1)()()(1)1 12(1)(1 (1)211()() ()kkkkkkkkkkE XkP XkkpppkppppE Xk P Xkk pppppkppppppD XE XE Xppp 解：解：精选课件习题习题8 81233xxxxxX已知离散型随机变量X的分布函数为：0, 0.2, 1F( )=0.5, 21, 求 的分布律。习题习题9 9 一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，一架飞机有三个着

13、陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。习题习题1010 某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率。次以上故障的概率。精选课件习题习题8 81233xxxxxX已知离散型随机变量X的分布函数为：0, 0.2, 1F( )=0.5, 21, 求 的分布律。解：解：X的可能取值为的可能取值为F(x)分段点

14、，由分布函数分段点，由分布函数F(x)的表达式的表达式可知，可知，X的可能取值为的可能取值为1,2,3；而；而F(x)是一跳跃函数，是一跳跃函数，X的分的分布律为：布律为：P(X=1)=F(1)-F(0)=0.2-0=0.2P(X=2)=F(2)-F(1)=0.5-0.2=0.3P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.5=0.5精选课件习题习题9 9 一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一个轮飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一个轮胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。胎爆破。用二

15、项分布求飞机安全着陆的概率。解：解：333321/10000.001()(1)0.001 0.999()()()0.9993 0.001 0.9990.99999kkn kkkkpP XkC ppCPPP安全着陆没有一个轮胎爆破一个轮胎爆破精选课件习题习题1010 某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率。次以上故障的概率。解：=4 /年，有：一年发生5次故障的概率是：1-F(5)=1-P(X5) =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X

16、=4)-P(X=5) =1-e-4-4e-4-42e-4/2-43e-4/3!- 44e-4/4!-45e-4/5! =1-0.01832-0.07326-0.14653-0.19537- =1-0.78514=0.2148644()!kP Xkek精选课件解解习题习题1111 彩色电视机的平均寿命为彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用数分布，如果我们每天使用2小时，小时，5年的可靠度和年的可靠度和10年年的可靠度各为多少？的可靠度各为多少？ 1150003650730052 365 536500.7840.6147te - t1-150

17、001-15000彩色电视机平均寿命 =15000小时，且服从指数分布，其失效率 =1/15000可靠度为R=e年工作时间为：小时10年工作时间为：7300小时5年可靠度R(36500)=e10年可靠度R(7300)=e精选课件习题习题12122已知随机变量X的服从N(5,10 )的正态分布。(1)写出该随机变量的分布密度函数，可靠度函数和失效率函数；(2)计算P(0X20)正交表： (0.5)=0.6915； (1.5)=0.93322220.005(5)20.005(5)1()(1)( )exp0.0422( )1()1(0.10.5)( )0.04( )( )1(0.10.5)(2)()

18、( )( )()()205(20)()(1.5)0.933210(0)tttf tetR ttf tetR ttP aXbbaxX 分布密度函数可靠度函数失效率函数05()( 0.5)1(0.5)10.69150.308510(020)(20)(0)0.99320.30850.6247PX 解解精选课件习题习题1313 某城市日电能供应服从对数正态分布，某城市日电能供应服从对数正态分布，=1.2，=0.5，供应量以供应量以GWh计算。该城市发电厂最大供电量为计算。该城市发电厂最大供电量为9GWh/d。求该城市电力供应不足的概率。求该城市电力供应不足的概率。 (1.99)=0.97671.999

19、 1.21.990.5( )1.99+ )11(1.99)1 0.97670.0233xf xf xxf xx +1.99-解：城市电力供应不足就是用电负何超过9GWh/d的概率，lnln令z=设城市日用电分布密度函数为在正态分布图上所围成的面积就是电力供应不足的概率。电力供应不足概率为：( )d( )d精选课件设随机变量设随机变量X服从均值为服从均值为1，方差为，方差为4的正态分布，的正态分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)。习题习题14 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8

20、11.2 13.6求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。阶原点矩，偏度系数和峰度系数。习题习题15 精选课件设随机变量设随机变量X服从均值为服从均值为1，方差为，方差为4的正态分布，的正态分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)。习题习题14 2()( )( )()( )()( )( )()( )E X YE XEYEkX ckE XcDX YDXDYDkX ck Dx 2()1()4( )(1 3)1 3 ()1 32( )(1 3)3()9 436XE XD XE YEXE XD YDX

21、D X 解：因 服从均值为1，方差为4的正态分布，故，精选课件习题习题15 经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6 求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。阶原点矩，偏度系数和峰度系数。28811282213833133111(1) ()12.15(2)()()11.1388(3)()3.3362(4)/()3.3362/12.150.27461(5)()() =158.7581(6)

22、c( )() =18.15,8/1iiiixxxiiiixE XxD XxE XD XE XmE xxE xE xxE Xc解：二阶原点矩:偏度系数:34844144428.15/3.33620.491(7)c( )()285.658/285.65/3.33622.3058iixE xE xxE Xc峰度系数:精选课件习题习题16:16:现有现有n n个相同的元件，其寿命为个相同的元件，其寿命为F(t)=1-eF(t)=1-e- -t t，组成并联系统，试求该，组成并联系统，试求该系统的故障率。系统的故障率。习题习题17:17:假设一串联系统由假设一串联系统由n n个个MTTF=1000h(M

23、TTF=1000h(指数分布指数分布) )的相同元件组的相同元件组成，试求当成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，时，系统的系统的MTTFMTTF，并画出元件个数与平均，并画出元件个数与平均寿命的关系图。寿命的关系图。精选课件习题习题16:16:现有现有n个相同的单元，其寿命不可靠度函数为个相同的单元，其寿命不可靠度函数为F(t)=1-e-t，组成并联系统，试求系统的故障率。，组成并联系统，试求系统的故障率。11( )(1)( )( )(1)( )(1)( )1( )1 (1)t ntt ntt nt nnF tef tF tn eef

24、tn eetF te解：组成 个并联系统后，寿命的累积失效概率为失效概率密度为：系统故障率为：精选课件习题习题17:17:假设一串联系统由假设一串联系统由n n个个MTTF=1000h(MTTF=1000h(指数分布指数分布) )的相同元件组成，试求当的相同元件组成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，时，系统的系统的MTTFMTTF，并画出元件个数与平均寿命的关系图。，并画出元件个数与平均寿命的关系图。111(1)1000(2)500(3)333(5)200(10)100niinnhnhnhnhnh1解 ： 由 MTTF=1000=， 得

25、=0.001/h串 联 系 统 的 平 均 寿 命 为 ：精选课件习题习题18:18:试比较下列五个系统的可靠度，设备单元的可试比较下列五个系统的可靠度，设备单元的可靠度相同，均为靠度相同，均为R R0 0=0.99=0.99(1)(1)四个单元构成的串联系统；四个单元构成的串联系统；(2)(2)四个单元构成的并联系统；四个单元构成的并联系统；(3)(3)四中取三储备系统；四中取三储备系统；(4)(4)串串- -并联系统并联系统(N=2(N=2，n=2)n=2)(5)(5)并并- -串联系统串联系统(N=2(N=2，n=2)n=2)习题习题19:系统的可靠性框图如下图所示，系统的可靠性框图如下

26、图所示，R1=R2=0.9，R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6求系统的可靠度。求系统的可靠度。56172348精选课件习题习题18:18:设各单元可靠度相同，均为设各单元可靠度相同，均为R R0 0=0.99=0.990444144041443/4()004003334 3400(1)( )( )0.9606(2)( )11( )1 (1)1(3)( )( )1( )( )1( )( ) 1( )iiiiniin iiiiGni miRtR tRRtR tRRtC R tR tC R tR tC R tR t 个串联个并联四个单元串联构成的串联系统四个单元构成的并联系统

27、四中取三储备系统444 4400342 20220( ) 1( )4 0.99 (1 0.99) 1 0.991.9994(4)(2,2)( )1 1( )1 1 0.99 0.9996(5)(2,2)( )1 1( ) 1 1 0.99 0.9998mnmnCR tR tmnRtRtmnRtR t 串-并联并-串联串并联系统并串联系统(6)比较:(略)精选课件习题习题19:系统的可靠性框图如下图所示，系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9，R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6求系统的可靠度。求系统的可靠度。56172348解：R78=1-(1-R7) (1-R8

28、)=1-0.4*0.4=0.84 R34=R3*R4=0.8*0.8=0.64 R56=R5*R6=0.7*0.7=0.49 R3456=1-(1-R34)*(1-R56)=1-(1-0.64)*(1-0.49)=0.8164R总= R78*R3456*R2*R1=0.84*0.8164*0.9*0.9=0.5555精选课件习题习题20 一台机械设备上的某一零件，经长期使用一台机械设备上的某一零件，经长期使用表明，平均失效率为常数表明，平均失效率为常数=0.00001/小时，但这小时，但这种零件库存仅一件种零件库存仅一件(库存期间不失效库存期间不失效)，若希望，若希望继续工作继续工作50000

29、小时，试求其成功的概率。小时，试求其成功的概率。精选课件习题习题2020 一台机械设备上的某一零件，经长期使用一台机械设备上的某一零件，经长期使用表明，平均失效率为常数表明，平均失效率为常数=0.00001/小时，但这小时，但这种零件库存仅一件种零件库存仅一件(库存期间不失效库存期间不失效)，若希望，若希望继续工作继续工作50000小时，试求其成功的概率。小时，试求其成功的概率。0.000010.00001 50000( )( )(1)50000(50000)(1)(10.00001*50000)0.9098ttttR teeR tt eRt ee解：该零件失效率为常数，其可靠度函数为：根据两

30、个相同单元完全可靠的旁联系统计算公式：小时的可靠度为：精选课件习题习题21ABDCFE已知下图中每个部件的可靠度为已知下图中每个部件的可靠度为R，求，求系统的可靠度。系统的可靠度。精选课件习题习题21已知下图中每个部件的可靠度为已知下图中每个部件的可靠度为R，求，求系统的可靠度。系统的可靠度。解：(1)当单元C正常时，系统的可靠性与D无关，相当于AB、EF并联再串联，形成一个K系统。此时系统可靠度为：P(K|C)=RABREF=1-(1-R)2 1-(1-R)2 (2)当C单元失效时，系统相当于BDF组成一个串联系统，此时系统可靠度为：P(K|C)=RBRDRF=R3 系统可靠度为：P(K)= P(K|C)RC+ P(K|C)(1-RC)= 1-(1-R)22R+ R3(1-R)ABDCFE精选课件习题习题22ABCB图图(a)和和(b)所