力学与结构_04杆件的应力、强度和刚度

1、 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.1第4章 杆件的应力、强度和刚度 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.2截面的几何性质截面的几何性质轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转 梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算杆件的组合变形杆件的组合变形习习 题题本章内容本章内容 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.3 教学要求教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变等基本性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变等基本概念；了解材料在轴向拉、压时的力学

2、性能；掌握虎克定律及其应用；概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用；熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。 第4章 杆件的应力、强度和刚

3、度3.4 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。一、一、 静矩和形心静矩

4、和形心 1. 静矩静矩 如图如图4.1所示，一任意形状的平面图形，面积为所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系平面坐标系zoy，在坐标，在坐标(z,y)处取微面积处取微面积dA，则微面积，则微面积dA与坐标与坐标y(或坐标或坐标z)的乘积称为微面积的乘积称为微面积dA对对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩，记作的静矩，记作dSz(或或dSy)。即。即 截面的几何性质截面的几何性质ddzSy AddySz A 平面图形上所有微面积对平面图形上所有微面积对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩之和，称为平面图形对的静矩之和，称为平

5、面图形对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩，的静矩，用用Sz(或或Sy)表示，即表示，即 ddzzAASSy A(4-1a)ddyyAASSz AddyyAASSz AddyyAASSz AddyyAASSz A(4-1b) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.5 从静矩的定义可以看出，静矩是对特定的坐标轴而言的。选择不同的坐标轴，静矩也不同。从静矩的定义可以看出，静矩是对特定的坐标轴而言的。选择不同的坐标轴，静矩也不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是m3或或mm3。若若 则则 截面的几何性质截面的几何性质 2

6、. 形心形心 现设平面图形的形心现设平面图形的形心C的坐标为的坐标为(Zc，Yc)。 均质等厚薄板的形心在板平面均质等厚薄板的形心在板平面zoy中的坐标为中的坐标为dAcy AyA(4-2a)dAcz AzA(4-2b)0,cy d0Ay A则则 0,cz d0Az A 由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。 若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平面图形有两个或以上的对称轴，则

7、形心在对称轴的交点上。面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.6 【例【例4.1】 矩形截面尺寸如图矩形截面尺寸如图4.2所示，以矩形的形心为原点建立坐标系所示，以矩形的形心为原点建立坐标系zoy，z1通过矩形的底通过矩形的底边。试求该矩形对边。试求该矩形对z轴的静矩和对轴的静矩和对z1轴的静矩。轴的静矩。图图4.2 矩形截面矩形截面 截面的几何性质截面的几何性质解解 : (1) 计算矩形截面对计算矩形截面对z轴的静矩。由于轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴是矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形对轴，通过截面形心，所以矩形对z轴的静矩等于零

8、，即轴的静矩等于零，即 。 (2) 计算矩形截面对计算矩形截面对Z1轴的静矩。轴的静矩。0zS 2122zchbhSy Abh 【例【例4.2】 试确定如图试确定如图4.3所示的组合截面的形心位置，长度单所示的组合截面的形心位置，长度单位为位为cm。图图4.3 组合截面组合截面解解: 取坐标取坐标zoy，因为，因为y为截面的对称轴，所以形心必在为截面的对称轴，所以形心必在y轴上，轴上， 即。故只需确定即。故只需确定yc。该截面可视为由矩形该截面可视为由矩形和矩形和矩形组合而成。组合而成。矩形矩形的面积的面积 ，形心纵坐标，形心纵坐标 。矩形矩形的面积的面积 ，形心纵坐标，形心纵坐标 。0cz

9、218 1.512cmA 118/25cmcy 221 1010cmA 20.5cmcy20.5cmcy1125100.52.95cm1012niciicA yyA 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.7一、惯性矩、惯性积和惯性半径一、惯性矩、惯性积和惯性半径 1. 惯性矩惯性矩图图4.4 惯性矩惯性矩 如图如图4.4所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。微面积微面积dA与坐标与坐标y(或坐标或坐标z)平方的乘积平方的乘积y2dA或或(Z2dA)称为微面称为微面积积dA对对z轴轴(或对或对y轴轴)的惯性矩。整个平面图形上所有微面积对的惯性矩。

10、整个平面图形上所有微面积对z轴轴(或对或对y轴轴)的惯性矩之和，称为平面图形对的惯性矩之和，称为平面图形对z轴轴(或对或对y轴轴)的的惯性矩，用惯性矩，用Iz(或或Iy)表示，即表示，即 截面的几何性质截面的几何性质21dnziIyA21dnyiIzA用积分精确表示为用积分精确表示为2dzAIyA2dzAIyA(4-3a)2dyAIzA(4-3b) 微面积微面积dA与坐标原点与坐标原点O的距离的距离的平方的乘积的平方的乘积2 2dAdA称为微面积称为微面积dA对坐标原点对坐标原点O的的极惯性矩，整个图形对坐标原点极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为的极惯性矩用积分表达为 第4章

11、 杆件的应力、强度和刚度3.8所以所以由于存在几何关系：由于存在几何关系： 即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。 由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中，中，z2和和y2恒恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是为正值，故惯性矩也恒为

12、正值，惯性矩常用的单位是m4或或mm4。简单图形的惯性矩可以直。简单图形的惯性矩可以直接由式接由式(4-5)计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。的惯性矩可在型钢表中查找。 2. 惯性积惯性积 如图如图4.4所示，微面积所示，微面积dA与坐标与坐标y和坐标和坐标z的乘积的乘积zydA称为微面积称为微面积dA对对y和和z两轴的惯性两轴的惯性积，记为积，记为zydA。整个图形上所有的微面积对。整个图形上所有的微面积对z和和y两轴的惯性积之和称为该图形对两轴的惯性积之和称为该图

13、形对z和和y轴的轴的惯性积，用表示惯性积，用表示Izy，即，即 截面的几何性质截面的几何性质2dAIA(4-4)222zy222dddzyAAAIAzAyAII(4-5)dzyAIzy A (4-6) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.9 惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或或mm4。 如图如图4.4所示，微面积所示，

14、微面积dA与坐标与坐标y和坐标和坐标z的乘积的乘积yzdA称为微面积称为微面积dA对对z和和y两轴的惯性积，两轴的惯性积，记为记为yzdA。整个图形上所有的微面积对。整个图形上所有的微面积对z和和y两轴的惯性积之和称为该图形对两轴的惯性积之和称为该图形对z和和y轴的惯性积，轴的惯性积，用用Izy表示，即表示，即 截面的几何性质截面的几何性质dzyAIzy A(4-6) 惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯

15、性积的常用单有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是位是m4或或mm4。 如图如图4.5所示，所示，y轴是图形的对称轴，在轴是图形的对称轴，在y轴两侧各取一相同的微面积轴两侧各取一相同的微面积dA，显然，两者的，显然，两者的y坐标相等，而坐标相等，而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即d0zyAIzy A 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.10如果如果z轴是图形

16、的对称轴，同理可得，轴是图形的对称轴，同理可得， 3. 惯性半径惯性半径 在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯性矩表示为图形面积性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即与某一长度平方的乘积，即 截面的几何性质截面的几何性质0zyI222zzyyIi AIi AIi A(4-7)或写成或写成zzyyIiAIiAIiA(4-8) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.11 截面的几何性质截面的几何性质 式中，式中，iz、iy、i分别称为平面图形对分别称为平面图形对z轴、轴、y轴和极点的惯性半径，也叫回转半径，单轴和极点的惯性半径，也叫回转半径

17、，单位为位为m或或mm。在建筑力学中，分析组合截面压杆的稳定性时，常用惯性半径来表示组合。在建筑力学中，分析组合截面压杆的稳定性时，常用惯性半径来表示组合图形截面的几何特征。图形截面的几何特征。 规则图形的惯性半径可用公式直接计算，或查相关的图表，常用组合截面规则图形的惯性半径可用公式直接计算，或查相关的图表，常用组合截面(如如T形、形、L形截面形截面)的惯性半径可查相关计算手册，也可直接由式的惯性半径可查相关计算手册，也可直接由式(4-8)计算；型钢的惯性半径可查型计算；型钢的惯性半径可查型 钢表。钢表。 4. 抗弯截面模量抗弯截面模量W 在计算抗弯构件的应力时，经常用到抗弯截面模量的概念，

18、抗弯截面模量用表示，用在计算抗弯构件的应力时，经常用到抗弯截面模量的概念，抗弯截面模量用表示，用下面公式计算：下面公式计算：maxIWy(4-9) 式式(4-9)中是截面关于形心轴的惯性矩，中是截面关于形心轴的惯性矩，ymax是截面上垂直并距离形心轴最远的点是截面上垂直并距离形心轴最远的点到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大，抗弯到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大，抗弯截面模量截面模量w只有一个值，而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大，抗弯截只有一个值，而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大，抗弯截面模量面模量

19、w有两个值，就是式有两个值，就是式(4-9)中的中的ymax分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴的距离。的距离。 【例【例4.3】 矩形截面尺寸如图矩形截面尺寸如图4.6所示。试计算矩形截面对形心轴所示。试计算矩形截面对形心轴z、y的惯性矩、的惯性矩、惯性半径、惯性积和抗弯截面模量。惯性半径、惯性积和抗弯截面模量。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.12图图4.6 矩形截面矩形截面 解解: (1) 计算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性矩。取平行于轴的惯性矩。取平行于z轴的微面积轴的微面积dA，dA到到z轴的距离为轴的距离为y，则，则 截面

20、的几何性质截面的几何性质ddAb y32222dd12hhzAbhIyAy b y同理可得，矩形截面对同理可得，矩形截面对y轴的惯性矩：轴的惯性矩：32222dd12bbyAb hIzAz b x(2) 计算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性半径：轴的惯性半径：3/12122 3zzIbhhhiAbh3/12122 3yyIb hbbiAbh 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.13(3) 计算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性积。因为轴的惯性积。因为z轴和轴和y轴均是矩形的对称轴，所以：轴均是矩形的对称轴，所以：(4) 抗弯截面模量：抗弯截面模量： 【例【例4.4】 直径为

21、直径为D的圆形截面，如图的圆形截面，如图4.7所示。所示。(1) 试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和惯性半径；惯性半径；(2) 计算抗弯截面模量。计算抗弯截面模量。解解: (1) 以圆心为原点，建立平面坐标系以圆心为原点，建立平面坐标系yOz。 (2) 计算圆截面对原点计算圆截面对原点O的极惯性矩，圆的直径为的极惯性矩，圆的直径为D，取圆的半径，取圆的半径 ，为截面上为截面上任一点到原点的距离，则截面对原点任一点到原点的距离，则截面对原点O的极惯性矩为：的极惯性矩为：d0zyAIzy A32max1226IbhbhWyh 截面的几何性质截面的几何性质/2RD2

22、dAIA微面积微面积(图中阴影部分图中阴影部分)为：为：d2 dA 44220d2 d232RARDIA 由于由于 ，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 zyIIIzyII 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.14可得：可得： (3) 计算惯性半径计算惯性半径 (4) 计算抗弯截面模量：计算抗弯截面模量： 截面的几何性质截面的几何性质4/264zyDIII图图4.7 圆形截面圆形截面4264442zzyIDRDDiiA4264442zzyIDRDDiiA43max64232IDDWyD 5. 惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式 前面我们介绍的惯性矩和惯性

23、积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的，实际上，前面我们介绍的惯性矩和惯性积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的，实际上，惯性矩和惯性积可以针对平面内任意轴。惯性矩和惯性积可以针对平面内任意轴。图图4.8 惯性矩的平行移轴惯性矩的平行移轴 如图如图4.8所示所示C点是截面的形心。点是截面的形心。zc轴和轴和yc轴通过截面形轴通过截面形心。心。z轴和轴和y轴是分别和轴是分别和zc轴和轴和yc轴平行的坐标轴且轴平行的坐标轴且y轴与轴与yc轴相距为轴相距为b，z轴与轴与zc轴相距为轴相距为a。若图形对通过形心的坐标。若图形对通过形心的坐标轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为Izc、Iyc

24、及及Izyc，下面计算图形对，下面计算图形对z轴和轴和y轴的惯性矩。轴的惯性矩。 微面积微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系：在两个坐标系中的坐标有如下关系： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.15 截面的几何性质截面的几何性质czzbcyya根据惯性矩定义，图形对根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：2222d() dd2ddzcccccAAAAAIyAyaAyAayAaA式中：式中： 2dczcAyAId0czAyAS(截面面积对自身形心轴的静矩为零截面面积对自身形心轴的静矩为零) 于是得到于是得到 2zzcIIa A(4-10a) 同理可得：同理可得：2yycIIb A

25、(4-10b) 式式(4-10a)、式、式(4-10b)分别为惯性矩的平行移轴公式。式中分别为惯性矩的平行移轴公式。式中Izc和和Iyc是对平面图形形心轴是对平面图形形心轴的惯性矩。式的惯性矩。式(4-10a)、式、式(4-10b)分别表明：图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平分别表明：图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于a2 (或或b2)恒为正值，恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。 第4章 杆件

26、的应力、强度和刚度3.16【例【例4.5】 用平移轴公式计算图用平移轴公式计算图4.2中矩形截面对底边的惯性矩。中矩形截面对底边的惯性矩。 解：解： (1) 计算截面对计算截面对z的惯性矩：的惯性矩：(2) 根据惯性矩的平移轴公式，得：根据惯性矩的平移轴公式，得： 截面的几何性质截面的几何性质312zcbhI2333121243zzchbhbhbhIIA 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.17轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩一、一、 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一，在工程中经常见到。如图轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一，在工程

27、中经常见到。如图4.9(a)所示三角形托架中的斜杆，在荷载作用下就发生轴向压缩变形；还有桁架中的所有杆件所示三角形托架中的斜杆，在荷载作用下就发生轴向压缩变形；还有桁架中的所有杆件(如如图图4.9(b)所示所示)，发生的都是轴向变形，发生的都是轴向变形(拉伸或压缩拉伸或压缩)；屋架中的水平拉杆；屋架中的水平拉杆(图图4.9(c)AB线上各线上各杆杆)，发生轴向拉伸变形；建筑结构中的柱子，发生轴向拉伸变形；建筑结构中的柱子(如图如图4.9(d)所示所示)发生轴向压缩变形等。这些杆发生轴向压缩变形等。这些杆件受力的共同特点是：作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合，杆件的主要变形是轴件受力的共同特

28、点是：作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合，杆件的主要变形是轴向伸长或缩短。这类构件称为拉向伸长或缩短。这类构件称为拉(压压)杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩变杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩变形，如图形，如图4.10所示。所示。图图4.9 轴向拉轴向拉(压压)杆杆 图图4.10 轴向拉伸轴向拉伸(压缩压缩)变变 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.18图图4.11 截面法截面法二、二、 轴向受拉轴向受拉( (压压) )杆的内力杆的内力 1. 内力的概念内力的概念 杆件的内力是指杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻两部分的相对位置发生变化，杆件的内力是指杆件在外力作用

29、下发生变形，引起内部相邻两部分的相对位置发生变化，从而产生附加内力，简称内力。从而产生附加内力，简称内力。 荷载作用荷载作用F，杆件内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时，杆件内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时，变形也越大。内力与杆件的强度、刚度有密切的关系。讨论杆件的强度、刚度和稳定问题时，变形也越大。内力与杆件的强度、刚度有密切的关系。讨论杆件的强度、刚度和稳定问题时，必须先求出杆件的内力。必须先求出杆件的内力。 2. 求杆件内力的方法求杆件内力的方法截面法截面法 为了确定外力作用下杆件所产生内力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一个假

30、想的为了确定外力作用下杆件所产生内力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一个假想的平面将杆件平面将杆件“截开截开”，使杆件在被截开处的内力显示出来；然后取杆件的任一部分作为研究对，使杆件在被截开处的内力显示出来；然后取杆件的任一部分作为研究对象，将另外部分对它的的作用以截面的内力代替；利用平衡条件求出杆件在被截断处的内力，象，将另外部分对它的的作用以截面的内力代替；利用平衡条件求出杆件在被截断处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。 如图如图4.11(a)所示，杆件受一对轴向拉力作用而产生轴向拉伸，计算杆上任

31、一截面所示，杆件受一对轴向拉力作用而产生轴向拉伸，计算杆上任一截面C上的内上的内力。力。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.19 (1) 截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。如图截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。如图4.11(b)、(c)所示，在所示，在C-C处用假想面把杆截断。处用假想面把杆截断。 (2) 代替：取截开后的任一部分作为研究对象，画受力图。现以左部分为研究对象，在截开代替：取截开后的任一部分作为研究对象，画受力图。现以左部分为研究对象，在截开截面处用该截面上的内力代替右部分对它的的作用

32、，如图截面处用该截面上的内力代替右部分对它的的作用，如图4.11(d)所示，用所示，用FN、FN来表示两部分来表示两部分的相互作用力。的相互作用力。 (3) 平衡：由于整体杆件本身处于平衡状态，因此被平衡：由于整体杆件本身处于平衡状态，因此被“截开截开”后。任一部分都处于平衡状态。后。任一部分都处于平衡状态。对如图对如图4.11(d)所示的杆件，列方程所示的杆件，列方程 ，得，得 ，内力方向如图，内力方向如图4.11(d)图图4.11(e)所示。所示。 3. 轴向拉轴向拉(压压)杆的内力杆的内力轴力轴力 轴向拉压杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的内力，习惯上称为轴力，用符号轴向拉压杆的内力是

33、一个作用线与杆件轴线重合的内力，习惯上称为轴力，用符号FN表表示。通常规定，拉力示。通常规定，拉力(轴力轴力FN的作用方向背离该力作用的截面的作用方向背离该力作用的截面)为正，压力为正，压力(轴力轴力FN的作用方向指的作用方向指向该力作用的截面向该力作用的截面)为负。轴力的常用单位是为负。轴力的常用单位是N(牛牛顿顿)或或kN(千牛千牛)。说明：说明：(1) 截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力，在列平衡方程时，把截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力，在列平衡方程时，把FN作为正值来看待，作为正值来看待，这样如果计算结果为正，表示假设与实际相符，轴力为拉力；如果计算结果为负，表示假设与这样如果

34、计算结果为正，表示假设与实际相符，轴力为拉力；如果计算结果为负，表示假设与实际相反，轴力为压力。实际相反，轴力为压力。 (2) 列平衡方程时，轴力及外力在平衡方程中的正、负号由其投影的正负决定，与轴力本列平衡方程时，轴力及外力在平衡方程中的正、负号由其投影的正负决定，与轴力本身正负无关。身正负无关。 (3) 计算轴力时，可以取被截开处截面的任意一侧研究，计算结果相同，但为了简化计算计算轴力时，可以取被截开处截面的任意一侧研究，计算结果相同，但为了简化计算过程，通常取杆件上外力较少的一侧研究。过程，通常取杆件上外力较少的一侧研究。 (4) 在计算杆件内力时，在将杆件截开之前，不能用合力来代替力系

35、的作用，也不能使用在计算杆件内力时，在将杆件截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用力的可传性原理，因为这样会改变杆件内部的内力及变形。力的可传性原理，因为这样会改变杆件内部的内力及变形。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩0 xF NFF 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.20 4. 轴力图轴力图 工程中有些拉工程中有些拉(压压)杆件受多个轴向外力而平衡，随着外力的变化，各段轴力也在变化。为杆件受多个轴向外力而平衡，随着外力的变化，各段轴力也在变化。为了形象地表示杆的轴力随横截面位置而变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标表示横截面的了形象地表示杆的轴力随横截面位置而变化的规律，通常以平行于杆

36、轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情位置，以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置而变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直况画成图形，这种表明轴力随横截面位置而变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直观地看出最大轴力所在位置及大小、正负。习惯上将正轴力观地看出最大轴力所在位置及大小、正负。习惯上将正轴力(拉力拉力)画在画在x轴上方，负轴力轴上方，负轴力(压力压力)画在画在x轴下方。轴下方。 【例【例4.6】 一个杆件受力经简化后，其计算简图如图一

37、个杆件受力经简化后，其计算简图如图4.12(a)所示。试求杆件的轴力并画出轴所示。试求杆件的轴力并画出轴力图。力图。 解：解： (1) 在第一段内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，假设轴力为拉力，在截开处在第一段内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，假设轴力为拉力，在截开处施加方向向右的力施加方向向右的力FNI，如图，如图4.12(b)所示。由平衡条件：所示。由平衡条件： ， ，得，得 ，故，故假设轴力为拉力是正确的。假设轴力为拉力是正确的。 (2) 在第二段范围内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，同样假设轴力为拉力，在在第二段范围内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，同样假设轴力

38、为拉力，在截开处施加方向向右的力截开处施加方向向右的力FN2，如图，如图4.12(c)所示由平衡条件：所示由平衡条件： ， ，得，得 ，如图如图4.12(d)所示。所示。 (3) 用同样的方法可以得到用同样的方法可以得到 ，如图，如图4.12(d)所示。所示。 (4) 杆件的全部轴力已经求出来了，可根据前述方法作杆件的轴力图，如图杆件的全部轴力已经求出来了，可根据前述方法作杆件的轴力图，如图4.12(e)所示所示 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩0 xF N150FN15kNF0 xF N2530FN28kNFN313kNF 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.21 1. 应力的概念应力的概念 在确

39、定了杆件的内力后，还不能解决工程中的强度问在确定了杆件的内力后，还不能解决工程中的强度问题。例如两根同种材料制成的但横截面积不同的拉杆，承题。例如两根同种材料制成的但横截面积不同的拉杆，承受同样的拉力。显然二者的轴力相同。但当拉力逐渐增大受同样的拉力。显然二者的轴力相同。但当拉力逐渐增大时，截面积小的杆必定首先被拉断。这说明，杆的强度不时，截面积小的杆必定首先被拉断。这说明，杆的强度不仅与杆件上的内力有关，还与横截面的面积有关。要解决仅与杆件上的内力有关，还与横截面的面积有关。要解决强度问题，仅研究内力的合力是不够的，还要研究分布内强度问题，仅研究内力的合力是不够的，还要研究分布内力在横截面上

40、各点的集度。截面上的分布内力在某一点的力在横截面上各点的集度。截面上的分布内力在某一点的集度，称为截面上这一点的应力。集度，称为截面上这一点的应力。 如图如图4.13所示，在受力杆件横截面上任一点所示，在受力杆件横截面上任一点C的周围取的周围取一微面积一微面积A (图中阴影图中阴影)，设作用在微面积，设作用在微面积A上的分布内力上的分布内力的合力为的合力为F，取，取F和和A的比值为的比值为A上的平均应力。一般上的平均应力。一般来说，杆件横截面上的应力不是均匀分布的，因此，习惯来说，杆件横截面上的应力不是均匀分布的，因此，习惯上将微面积上将微面积A无限缩小而趋向于零时平均应力的极限值称无限缩小而

41、趋向于零时平均应力的极限值称为为C点的内力集度，即点的内力集度，即C点的总应力，用点的总应力，用p表示：表示：一、一、轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力图图4.12 杆件轴力图杆件轴力图轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.22 总应力总应力p是一个矢量，通常情况下，既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问是一个矢量，通常情况下，既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上将它分解为与截面垂直的分量题时方便，习惯上将它分解为与截面垂直的分量和与截面相切的分量和与截面相切的分量，如图，如图4.13(b)所所示。示。称为正应力，称为正应力，称为切应力。称为切

42、应力。 应力的常用单位为应力的常用单位为Pa(帕帕)，MP(兆帕兆帕)，换算关系为，换算关系为图图4.13 应力应力轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩dlimdnnFFpAA(4-11)21Pa1N/m21MPa1N/mm 关于应力的几点说明。关于应力的几点说明。 (1) 应力是针对某杆件的某一截面上的某点而言的，所以提及应应力是针对某杆件的某一截面上的某点而言的，所以提及应力时，必须指明杆件、截面和点的位置。力时，必须指明杆件、截面和点的位置。 (2) 应力是矢量，不仅有大小，还有方向。对于正应力，通常规应力是矢量，不仅有大小，还有方向。对于正应力，通常规定拉应力为正，压应力为负，对于切应力定拉应

43、力为正，压应力为负，对于切应力，通常规定使研究对象内，通常规定使研究对象内部顺时针抟动为正，反之为负。部顺时针抟动为正，反之为负。 (3) 内力与应力的关系。内力是对杆件的整个截面而言，是整个内力与应力的关系。内力是对杆件的整个截面而言，是整个截面上各点处的应力总和；应力是对截面上一点而言的，是内力在截截面上各点处的应力总和；应力是对截面上一点而言的，是内力在截面某一点的集度。面某一点的集度。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.23 2. 轴向拉压杆上的应力轴向拉压杆上的应力 轴向拉压杆上的内力只有轴力，截面上的应力只能是与横截面垂直的正应力。通过实验证轴向拉压杆上的内力只有轴力，截面上的应力

44、只能是与横截面垂直的正应力。通过实验证明正应力在杆件横截面上均匀分布，由此可导出轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。明正应力在杆件横截面上均匀分布，由此可导出轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。 若用若用A表示拉表示拉(压压)杆横截面的面积，则拉杆横截面的面积，则拉(压压)杆横截面上的正应力为杆横截面上的正应力为轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩NFA(4-12) 正应力的正负号规定与轴力正应力的正负号规定与轴力FN一致，拉应力为正，压应力为负。一致，拉应力为正，压应力为负。 对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。 Nmaxmax

45、FA 习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力称为工作应力，并且通常把产生最大工作应习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力称为工作应力，并且通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。可见，对于产生轴向拉压力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。可见，对于产生轴向拉压变形的等截面直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。变形的等截面直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.24【例【例4.7】 某轴向受力柱如图某轴向受力柱如图4.14(a)所示，柱子顶部所受压力为所示，柱子顶部所受压力

46、为Fp，柱子材料的重度为，柱子材料的重度为，横截，横截面为矩形，尺寸为面为矩形，尺寸为 ，柱高为，柱高为H，求柱子的最大工作应力。，求柱子的最大工作应力。由由 可得可得 解解: (1) 求轴力。该柱需要考虑自重，在距柱顶处用求轴力。该柱需要考虑自重，在距柱顶处用m-m截面把柱子截面把柱子截开，截开，m-m截面处的轴力用截面处的轴力用FN(x)表示，取表示，取m-m截面以上部分研究，画截面以上部分研究，画出受力图，列平衡方程。出受力图，列平衡方程。 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩ab图图4.14 轴向受力柱轴向受力柱0 xF NP( )0FxFabxNP( )FxFabx 由此可见，柱子各横截面上

47、的轴力随由此可见，柱子各横截面上的轴力随x位置变化而变化，轴力随位置变化而变化，轴力随x位置变化的函数称为轴力方程位置变化的函数称为轴力方程当当x=0时，时， NP( )FxF 当当x=H时，时， NP( )FxFabH (2) 求应力。该柱为等截面柱，柱子底部截面的内力和应力最大，是危险截面。其应求应力。该柱为等截面柱，柱子底部截面的内力和应力最大，是危险截面。其应力值为：力值为：NBPPmaxFFabHFHAabab 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.25四、四、 轴向拉压杆的变形及虎克定律轴向拉压杆的变形及虎克定律 实验结果表明，直杆在轴向荷载作用下既产生沿轴线方向的纵向变形。也产生垂直

48、于轴实验结果表明，直杆在轴向荷载作用下既产生沿轴线方向的纵向变形。也产生垂直于轴线方向的横向变形。杆的变形量与所受外力有关，也与杆件尺寸与选用材料有关。线方向的横向变形。杆的变形量与所受外力有关，也与杆件尺寸与选用材料有关。 1. 杆的纵杆的纵(横横)向变形向变形 如图如图4.15所示正方形截面杆，受轴向力作用，产生轴向拉伸和压缩变形，设杆变形前的所示正方形截面杆，受轴向力作用，产生轴向拉伸和压缩变形，设杆变形前的长度为，其横截面的边长为长度为，其横截面的边长为a，变形后长度为，变形后长度为l1，横截面边长为，横截面边长为a1。则杆的纵向变形量。则杆的纵向变形量为为 ，杆在轴向拉伸时为正值，压

49、缩时为负值。杆的横向变形量为，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。杆的横向变形量为 ，杆在，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1lll 1aaa 图图4.15 杆的纵、横向变形杆的纵、横向变形 杆件的纵向变形量和横向变形量只能说明纵向和横向总杆件的纵向变形量和横向变形量只能说明纵向和横向总的变形量，不能说明变形程度。为了消除杆件尺寸对杆件变的变形量，不能说明变形程度。为了消除杆件尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量量l除以杆的原始长度除以杆的原始长度l

50、，得到杆件单位长度的纵向变形，得到杆件单位长度的纵向变形ll(4-13a) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.26 称为纵向线应变，简称线应变。称为纵向线应变，简称线应变。的正负号与的正负号与l相同，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负相同，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。值。是一个无量纲的量。同理，将杆的横向变形量是一个无量纲的量。同理，将杆的横向变形量a除以杆的截面原边长除以杆的截面原边长a，得到杆件单位长，得到杆件单位长度的横向变形度的横向变形轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩aa (4-13b) 称为横向线应变。称为横向线应变。的正负号与的正负号与a相同，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。

51、相同，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。也也是一个无量纲的量。是一个无量纲的量。 2. 泊松比泊松比 从上述分析可知，杆件在轴向拉压变形时，纵向线应变从上述分析可知，杆件在轴向拉压变形时，纵向线应变与横向线应变与横向线应变总是正负相反的。总是正负相反的。 通过试验表明：当轴向拉压杆的应力不超过材料的比例极限时，对同一材料，横向线应通过试验表明：当轴向拉压杆的应力不超过材料的比例极限时，对同一材料，横向线应变变与纵向线应变与纵向线应变的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数，的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数，用用表示。表示。(4-14) 泊松

52、比是一个无量纲的量，它的值与材料有关，可由实验测出。建筑工程中常用材料的泊松比是一个无量纲的量，它的值与材料有关，可由实验测出。建筑工程中常用材料的泊松比见表泊松比见表4-1。 泊松比建立了某种材料的横向线应变与纵向线应变之间的关系。在工程中，一般先根据泊松比建立了某种材料的横向线应变与纵向线应变之间的关系。在工程中，一般先根据受力情况计算纵向线应变，然后通过泊松比确定横向变形。受力情况计算纵向线应变，然后通过泊松比确定横向变形。 由于杆件的横向线应变由于杆件的横向线应变与纵向线应变与纵向线应变总是符号相反，所以总是符号相反，所以 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.27 3. 虎克定律虎克定律

53、 计算杆件变形时，关键是计算杆件的纵向变形量。试验表明，工程中使用的材料都有一个计算杆件变形时，关键是计算杆件的纵向变形量。试验表明，工程中使用的材料都有一个弹性范围，在弹性范围内杆的变形量与杆所受的轴力成正比，与杆的横截面积成反比，用公式弹性范围，在弹性范围内杆的变形量与杆所受的轴力成正比，与杆的横截面积成反比，用公式表示为：表示为： 引进比例常数引进比例常数E后，得后，得 这一公式是英国科学家虎克提出来的，故称为虎克定律。对于长度相同，所受轴力相等的这一公式是英国科学家虎克提出来的，故称为虎克定律。对于长度相同，所受轴力相等的构件，分母构件，分母EA越大，则杆的纵向变形越小；分母越大，则杆

54、的纵向变形越小；分母EA越小，则杆的纵向变形越大。由此可见，越小，则杆的纵向变形越大。由此可见，EA反映了拉压杆抵抗变形的能力，所以称为拉压杆的抗拉压刚度。反映了拉压杆抵抗变形的能力，所以称为拉压杆的抗拉压刚度。将式将式(4-16)两边除以两边除以l，并把，并把 和和 代入，于是得代入，于是得(4-15)(4-16)轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 NF llA NF llEA llNFAE(4-17) 式式(4.17)是虎克定律的另一种表达方式，它表明在线弹性范围内，正应力与线应变成正是虎克定律的另一种表达方式，它表明在线弹性范围内，正应力与线应变成正比，比例系数即为材料的弹性模量比，比例系数即

55、为材料的弹性模量E。工程中常用的材料的弹性模量。工程中常用的材料的弹性模量E见表见表4-1。 弹性模量弹性模量En5应力应力有相同的量纲，单位为有相同的量纲，单位为Pa、MPa和和GPa。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.28轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩表表4-1 常用工程材料的弹性模量和泊松比常用工程材料的弹性模量和泊松比 【例【例4.8】 试计算如图试计算如图4.16所示柱子顶点的位移。已知柱子材料的弹性模量为所示柱子顶点的位移。已知柱子材料的弹性模量为E，重，重度为度为。图图4.16 求柱子顶点位移求柱子顶点位移解解 ： 例例4.7已计算出柱子任意高度已计算出柱子任意高度x处的轴力为：

56、处的轴力为：NP( )FxFabx (0 xH) 则高度则高度x处的正应力为处的正应力为P( )/()xFabx (0 xH) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.29根据虎克定律，高度根据虎克定律，高度x处的应变为处的应变为图图4.17 杆的轴力图杆的轴力图轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩P( )/()/xFEabx E P( )/()/xFEabx E (0 xH) 则应变在高度则应变在高度H上积分，可得柱子顶点处的位移上积分，可得柱子顶点处的位移2PP000( )d/()dd2HHHAYF HxHxxFEabxxEEabE 2PP000( )d/()dd2HHHAYF HxHxxFEabxxE

57、EabE (方向向下方向向下) 顶点位移由两部分组成，顶点位移由两部分组成， 部分是由顶点集中力部分是由顶点集中力FP引起的，引起的， 部分是由柱子自重引部分是由柱子自重引起的。起的。PF HEab22HE 【例【例4.9】 如图如图4.17所示，杆受轴向力作用，所示，杆受轴向力作用， ， ，材料为钢材，弹性模量，材料为钢材，弹性模量为为 ，杆件的截面面积，杆件的截面面积 ，求杆的总的纵向变形。，求杆的总的纵向变形。P20kNF 1ma 200GPaE 2396mmF 解解: 杆的总的纵向变形就是沿着杆的长度方向各段纵向变形之杆的总的纵向变形就是沿着杆的长度方向各段纵向变形之和。和。 (1)

58、求轴力，并做出轴力图，如图求轴力，并做出轴力图，如图4.17(b)所示。该杆可分三所示。该杆可分三段计算轴力。段计算轴力。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.30AB段：段： FNAB=FP=20KNBC段：段： FNBC=0KNCD段：段： FNCD=-20KN(2) 求杆总的纵向变形。求杆总的纵向变形。总的变形：总的变形： 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩AB段：段： 33NAB AB320 101 100.25200 10396ABFllmmEA BC段：段： NBC BC0.BCFllmmEACD段：段： 33NCD CDCD320 101 100.25200 10396FllmmEA A

59、BBCCD0mmllll 【例【例4.10】 一个矩形截面杆件如图一个矩形截面杆件如图4.18所示，其截面尺寸为所示，其截面尺寸为 ，材料的弹，材料的弹性模量性模量 。杆件两端受拉力。杆件两端受拉力FP作用，在纵向作用，在纵向100的长度内，杆伸长了的长度内，杆伸长了0.05，在横向，在横向60范围内，杆的尺寸缩小了范围内，杆的尺寸缩小了0.0093，试求：，试求：(1)该钢材的泊松比；该钢材的泊松比；(2)杆件所受的轴向拉力杆件所受的轴向拉力FP。23060mmbh23060mmbh200GPaE 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.31轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩图图4.18 矩形截面杆矩形

60、截面杆解解 : (1) 求泊松比。要想通过上述试验测出的数值求泊松比。要想通过上述试验测出的数值计算泊松比，首先要计算出纵向线应变及横向线应计算泊松比，首先要计算出纵向线应变及横向线应变。变。 杆件的纵向线应变杆件的纵向线应变 40.055 10100ll杆件的横向线应变杆件的横向线应变40.00931.55 1060aa 求泊松比求泊松比441.55 100.315 10 (2) 计算杆受到的轴向拉力。由虎克定律计算杆受到的轴向拉力。由虎克定律 ，计算图示杆件在作用下任一，计算图示杆件在作用下任一横截面上的正应力横截面上的正应力E43(5 10200 10 )MPa100MPaE又按照应力的