专题：轴对称

1、第七章 图形与变换 图形的轴对称1. 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做这个图形就叫做 ，这条直线就是它的，这条直线就是它的 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做 ， 折叠后重合的点是对应点折叠后重合的点是对应点2. 图形轴对称的性质：图形轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所如果两个图形关

2、于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所 连线段的连线段的 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的的 要点梳理要点梳理轴对称图形轴对称图形对称轴对称轴对称轴对称轴垂直平分线垂直平分线垂直平分线垂直平分线3. 由一个平面图形可以得到它关于一条直线由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的的对称点；连接任意一对对应点的线段被对

3、称轴线段被对称轴 这样，由一个平面图形得到它的轴这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做对称图形叫做 一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成而成4. 几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点形中的一些特殊点(如线段的端点如线

4、段的端点)，连接这些对称点，就可以得，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形到原图形的轴对称图形垂直平分垂直平分轴对称变换轴对称变换1 1理解轴对称、轴对称图形与轴对称变换的关系理解轴对称、轴对称图形与轴对称变换的关系 (1)轴对称涉及两个图形，是描述两个图形的位置、形状、轴对称涉及两个图形，是描述两个图形的位置、形状、大小的关系；大小的关系； (2)轴对称变换是由一个平面图形得到它的轴对称图形；轴对称变换是由一个平面图形得到它的轴对称图形； (3)成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由一个图形成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由一个图形经过轴对称变换后得到的；一个轴对称图形也可以

5、看做是以经过轴对称变换后得到的；一个轴对称图形也可以看做是以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展成的它的一部分为基础，经轴对称变换扩展成的 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2 2轴对称图形和图形的轴对称之间的区别和联系轴对称图形和图形的轴对称之间的区别和联系 两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系轴对称是说两个图形之间的位置关系 两者的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它两者的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视就是一个轴

6、对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系因此，为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系因此，它是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地互相转化它是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地互相转化的的1(2011无锡无锡)一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是是() 解析：利用轴对称的定义，直接得出结果主要考查对轴对称图解析：利用轴对称的定义，直接得出结果主要考查对轴对称图形的

7、理解形的理解基础自测基础自测D2(2011黄石黄石)有如下图象：函数有如下图象：函数yx1的图象；函数的图象；函数y 的图象；一段弧；平行四边形其中一定是轴的图象；一段弧；平行四边形其中一定是轴对称图形的有对称图形的有() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 解析：只有平行四边形不是轴对称图形解析：只有平行四边形不是轴对称图形C3(2011广州广州)如图如图1所示，将矩形纸片先沿虚线所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是一个小三

8、角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是()D4(2010泉州泉州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点纸片，点D、E分别在边分别在边AB、AC上，将上，将ABC沿着沿着DE折叠压折叠压平，平，A与与A重合，若重合，若A70，则，则12() A. 140 B130 C110 D70 解析：解析：A70， AEDADE110， 由轴对称的性质得由轴对称的性质得 AEDADE110， 123602110140.A5(2011菏泽菏泽)如图所示，已知在三角形纸片如图所示，已知在三角形纸片ABC中，中，BC3, AB6，BCA90，在，在AC上取一点

9、上取一点E，以，以BE为折痕，为折痕，使使AB的一部分与的一部分与BC重合，重合，A与与BC延长线上的点延长线上的点D重合，则重合，则DE的长度为的长度为() A6 B3 C2 D. 解析：在解析：在RtABC中，中，BC3，AB6， 得得A30，ABC60， 由折叠的意义，得由折叠的意义，得ABEDBE30. 在在RtBCE中，中，CE ，BE2CE2 . DBEAD30，DEBE2 .CBC3 3 3 3 题型一识别轴对称图形题型一识别轴对称图形【例例1】 (2011淮安淮安)下列交通标志是轴对称图形的是下列交通标志是轴对称图形的是()题型分类题型分类 深度剖析深度剖析D探究提高探究提高

10、判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合若能找到，则是轴对这条直线对折后，两旁能够完全重合若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形称图形；若找不到，则不是轴对称图形知能迁移知能迁移1(1)(2011内江内江)下列几何图形中，一定是轴对称图下列几何图形中，一定是轴对称图形的有形的有() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 解析：上述几何图形一定是轴对称图形的是扇形、等腰梯形、解析：上述

11、几何图形一定是轴对称图形的是扇形、等腰梯形、菱形，故有三个菱形，故有三个C(2)(2011益阳益阳)小华将一张如图小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了 下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形 的是的是() 解析：图形解析：图形A是平行四边行，不是轴对称图形是平行四边行，不是轴对称图形A 题型二作已知图形的轴对称图形题型二作已知图形的轴对称图形【例例 2】 (2010枣庄枣庄)在在33的正方形格点图中，有格点的正方形格点图中，有格点AB

12、C和和DEF，且，且ABC和和DEF关于某直线成轴对称，请在下关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出面给出的图中画出4个这样的个这样的DEF.解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：下列图形供参考，每画对一个得解：下列图形供参考，每画对一个得2分分(画对画对4个即可个即可)探究提高探究提高 画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形线段端点、

13、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形知能迁移知能迁移2如图，在如图，在43的网格上，由个数相同的白色方块与黑的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案出符合要求的图案(注：不得与原图案相同；注：不得与原图案相同； 黑、白方块的个数要相同黑、白方块的个数要相同) (1)是轴对称图，又是中心对称图形是轴对称图，又是中心对称图形 (2)是轴对称图形，但不是中心对称图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 (3)是中收对称图形，但不是轴对称图形是中收对称图形，但不是轴对称图形解：设计方案

14、有多种，在设计时注意每一种图案的具体要求解：设计方案有多种，在设计时注意每一种图案的具体要求 (1)应该既关于中间轴对称，还应该关于中心点对称，有一定的应该既关于中间轴对称，还应该关于中心点对称，有一定的对称及审美要求；对称及审美要求； (2)可不受中心对称的限制，只要关于轴对称，且黑白数量相等可不受中心对称的限制，只要关于轴对称，且黑白数量相等即可；即可； (3)只关于中心对称，则对称的图形对称即可只关于中心对称，则对称的图形对称即可题型三轴对称性质的应用题型三轴对称性质的应用【例例3】 如图，如图，E为正方形为正方形ABCD的边的边AB上一点，上一点，AE3，BE1，P是是AC上的动点，则

15、上的动点，则PBPE的最小值是的最小值是_ 解析：连接解析：连接OP、DE，则，则PBPD，PBPEPDPEDE， 而在而在RtADE中，中，AD4，AE3，DE5. 故应填故应填5.5探究提高探究提高 求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短两点之间的线段，因为线段间的距离最短知能迁移知能迁移3如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，BAD120，BD90，AB1，AD2，在，在BC、CD上上 分别找一点分别找一点M、N，使得，使得AMN的周长最小，的周长最小， 则则AMN的最小周长是的最

16、小周长是_ 解析：分别画点解析：分别画点A关于关于BC、DC的轴对称的轴对称 点点A1、A2，连接，连接A1A2，分别交，分别交BC于于M，交，交CD于于N， 则则AMA1M，ANA2N. AMN的周长的周长AMANMN A1MA2NMNA1A2. 两点之间，线段最短，两点之间，线段最短， AMN的最小周长是线段的最小周长是线段A1A2的长度的长度27 在在AA1A2中，中，AA12AB2，AA22AD4，A1AA2120.过过A1画画A1HAA2，垂足为，垂足为H.在在RtA1AH中，中，A1AH60.AH AA11，A1H .在在RtA1A2H中，中，A2HAA2AH415.A1A2 2

17、.12 3 28 7 3 252 题型四折叠问题题型四折叠问题【例例4】 (2010吉林吉林)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB12 cm，BC6 cm，点，点E、F分别在分别在AB、CD上，将矩形上，将矩形ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点A、D分别落在矩形分别落在矩形ABCD外部的点外部的点A1、D1处，则整个阴影部分处，则整个阴影部分图形的周长为图形的周长为() A18cm B36cm C40cm D72cm 解析：本题考查矩形折叠问题，据题意，解析：本题考查矩形折叠问题，据题意， 得得AEA1E，FDFD1，ADA1D1， 从而阴影部分的周长从而阴影部分的周长CFFD1CB

18、BEEA1A1D1 CFFDCBBEEAAD2(ABBC)36(cm)，选，选B.B探究提高探究提高 折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等形，对应边相等，对应角相等前后的图形是全等形，对应边相等，对应角相等知能迁移知能迁移4(2010益阳益阳)如图，如图，ABC中，已知中，已知BAC45，ADBC于于D，BD2，DC3，求，求AD的长的长 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题解答了此题 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：请按照

19、小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以分别以AB、AC为对称轴，画出为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图的轴对称图形，形，D点的对称点为点的对称点为E、F，延长，延长EB、FC相交于相交于G，证明四边形，证明四边形AEGF是正方形；是正方形； (2)设设ADx，利用勾股定理，建立，利用勾股定理，建立 关于关于x的方程模型，求出的方程模型，求出x的值的值解：解：(1)ABE与与ABD关于关于AB对称，对称， ABE ABD， EADB90，BAEBAD，AEAD. 同理，同理，FADC90，CAFCAD，AFAD. EAF2BAD2CAD 2(BADCAD)24590. 四边形四边形A

20、EGF是矩形是矩形 AEAFAD， 矩形矩形AEGF是正方形是正方形(2)在正方形在正方形AEGF中，中，EGFGAEx，G90. BEBD2，CFCD3， BGx2，CGx3. 在在RtBCG中，中，(x2)2(x3)252， 解之，得解之，得x16，x21(舍去舍去)， x6.2020必须利用轴对称变换，求线段之和最小必须利用轴对称变换，求线段之和最小试题设试题设M是边长为是边长为2的正的正ABC的边的边AB上的中点，上的中点，P是边是边BC上上的任意一点，求的任意一点，求PAPM的最小值的最小值学生答案展示学生答案展示 当点当点P为为BC中点时，中点时，PAPM的和最小的和最小 M是是A

21、B的中点，的中点， PM是是ABC的中位线，且的中位线，且APBC. PM AC 21，PA ， PAPM1 .易错警示易错警示剖析剖析求两条线段之和为最小，应选用线段的垂直平分线、求两条线段之和为最小，应选用线段的垂直平分线、 角平分线、等腰三角形的高作为对称轴来解题角平分线、等腰三角形的高作为对称轴来解题正解正解 作正作正ABC关于关于BC的对称图形的对称图形ABC，M是是M的对称点，故的对称点，故M是是AB的中点，的中点，PMPM， PAPMPAPMAM. 连接连接CM,易知易知ACM90， AM .批阅笔记批阅笔记利用轴对称变换，以利用轴对称变换，以BC为对称轴，作出为对称轴，作出M的

22、的 对称点对称点M，连，连AM，两点之间，线段最短，两点之间，线段最短AC2 CM 2 22 3 2 7. 方法与技巧方法与技巧 1. 本章介绍了现实世界中图形对称的形式之一本章介绍了现实世界中图形对称的形式之一轴对称轴对称“两个图形成轴对称两个图形成轴对称”是反映图形与图形之间的关系，是反映图形与图形之间的关系，“轴对轴对称图形称图形”是反映一个图形的特征轴对称中的对应部分是反映一个图形的特征轴对称中的对应部分(如对如对应线段、对应角等应线段、对应角等)的形状、大小是完全一样的，并且对应点的形状、大小是完全一样的，并且对应点的连线被对称轴垂直平分我们今后要学到的许多图形都是轴的连线被对称轴垂直平分我们今后要学到的许多图形都是轴对称图形在空间中，也存在这样的对称形式，如照镜子、物对称图形在空间中，也存在这样的对称形式，如照镜子、物体和它在水中成的像等，我们习惯上称之为镜面对称体和它在水中成的像等，我们习惯上称之为镜面对称思想方法思想方法 感悟提