中学趣味数学：巧分乳酪

1、.中学兴趣数学：巧分乳酪乔记餐馆虽说吃食不算最好，但却以美味乳酪而远近出名。块块乳酪状如圆盘，绕有幽默。一刀下去，就把一块乳酪一切为二。连切两刀，不难将其分成四块，三刀那么切成六块。一天，女招待罗西请乔把乳酪切成八块。乔：好，罗西。很简单，我只要这样切四刀就成了。罗西把切好的乳酪往桌子上送时，突然悟到乔只需要切三刀便可以把乳酪分成八块。罗西想出了什么妙主意？罗西豁然开朗，悟到圆柱形乳酪是一个立体图形，可以在中线处横截一刀将其一切为二。假如允许挪动切开的部分，那么连切三刀也行。可以把第一次切开的两块迭放在一起，切第二刀成四块，再把四块跌放在一起，最后一刀切成八块。罗西的解法是如此简单，几乎可以说

2、是平凡的。然而它给人以明确的启示：对于有意义的切分问题，可以用有限差分演算进展研究并用数学归纳法加以证明。有限差分演算是发现数字序列普通项公式的有力工具。今天，数字序列日益引起人们的兴趣，因为它具有极其广泛的实际应用范围，还因为计算机可以以极快的速度执行序列的运算。罗西第一次切乳酪的方法是在乳酪顶面的假设干中线同时切数刀。乳酪具有如同薄饼那样平坦的顶面。让我们来观察一下，根据在一张薄饼上切数刀的过程，可以生成一些什么数字序列。假设沿着薄饼假设干中线同时切数刀，显然，同时切n刀至多可以切出2n块。假设在其边沿为一条简单闭合曲线的任意平面上同时切下n刀，这种方法所切成的块数，是否最多也是2n块呢？

3、否。可以随意画出许多既非凸面，并且形状各异的平面，即使一刀也可切成你所希望的块数。能否画出一种图形，仅切一刀便可以切出任何有限数目的全等的块？假设能办到，这种图形的周长应具有什么特性，才能确保只需要一刀便可以切成全等的n块？假设不同时进展切分，薄饼的切分将更为有趣。你很快会发现：仅当n=3时，切n刀方可切成不止2n块。这里，我们并不考虑所切成的块是否全等或面积一样。当n=1，2，3，4。时，可以切成的最多块数分别是2，4，7，11。这一大家所熟悉的序列是根据以下公式求得的：1+nn+1/2其中，n是所切的刀数。此序列的前10项n自0开场是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。请注

4、意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，。这强烈地暗示着此序列的普通项是一个二次项。为什么说强烈暗示呢？因为虽然可以用有限差分演算找到一个公式，但是并不能保证该公式对于无限序列也成立。这一点尚需证明。在薄饼公式这一例子中，不难通过数学归纳法做出一个简单的证明。从这点出发，你可以发现大量的引人入胜的研究方向，其中有许多将导致非同寻常的数字序列，公式以及数学归纳法证明。这里有一些问题可供你作为初步尝试。采用以下各种方法，最多可以切成几块？1。在马蹄形的薄饼上切n刀。2。在球形或罗西所切的那种圆柱形乳酪上切n刀。3。用切小圆甜饼的刀在薄饼上

5、切n刀。4。在状如烛环状即中心有一个圆孔的薄饼上切n刀。5。在油炸圈圆环上切n刀。我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文程度低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别

6、是写议论文,初中程度以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的根本构造:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背的重要性,让学生积累足够的“米。老师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我