第一讲一元二次方程教师版

1、学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939第一讲一元二次方程一、 基础知识1. 一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.由一元二次方程的定义可知,只有同时满足三个条件:是整式方程;含有一个未知数;未知数的 最高次数是 2.这样的方程才是一元二次方程,否则,不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.2. 一元方程的一般形式一元二次方程的一般形式是: ax2 + bx + c = 0(a ? 0) .它的特征是:等式左边是一个关于未知数的二次多项式.等式右边是零.其中 ax2 叫做二次项, a 叫

2、做二次项系数; bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数; c 叫做常数项.3.全的一元二次方程我们把缺一次常数项的一元二次方程称为全的一元二次方程. 一元二次方程可分类如下:ìï ï ï完全的一元二次方程ax2 + bx + c = 0ïïïìï ïax2 +c=0(缺一次项)ax2 +bx=0(缺常数项)一元二次方程ïí全的一元二次方程ïíax2 + bx + c = 0(a ? 0)ïïï ï ï

3、39; ax2 =0(缺一次常数项)îïî4,一元二次方程的解法有:直接开平方法配方法因式分解法b2- b ?4ac2公式法 求根公式: x =(b - 4ac ? 0)2a5.一元二次方程的根的判别式与根的情况在其求根公式的推导中.我们可以知道,一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ? 0) 是否有实数根,完全取决于b2 - 4ac 的值的符号,因此我们把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示，即= b2 - 4ac .判别式定理及逆定理:D > 0 ?方程有两个不相等的实数根D 0 ?方程有两个相等的实数根D &l

4、t; 0 ?方程没有实数根1学而思教育06 年秋季班初三联赛班第一讲教师版学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939D 驰0方程有两个实数根6.一元二次方程根与系数的关系(定理)如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ? 0) 有两个实数根是 x , x ,12cax =那么1 2a定理的两个重要推论:推论 1:如果方程 x2 + px + q = 0 的两个根是 x , x ,那么x =-p, x x = q.1221 2推论 2:以两个数 x1 , x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是1 + x2 )x + x1 ?x20 .

5、7.二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系ax2 + bx + c = a(- x ) .2其中 x , x 是 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 的两个根.12二、 例题1选择题(2005.河南)三角形两边长分别是 8 和 6,第三边长是一元二次方程x2 - 16x + 60 = 0 的一个实数根,则该三角形的面积是：(B)B.24 或8 5D. 8 5A.24C.48点拨： x2 - 16x + 60 = 0 ， x= 6, x = 10 .两个三角形分别为 6,6,8 和 6,8,10.12则 m 的值为:） 方程 (m + 2)xm + 3mx + 1=0

6、是关于 x 的一元二次方程,（ 2006. 中考(B )A. m = ? 2B. m = 2C. m = - 2m = 2 .D. m 贡 2m = 2 且 m + 2 筡0点拨:(2005.杭州)若t 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ? 0) 的根,则判别式= b2 - 4ac 和完全平方式 M = (2at + b)2 的关系是:(A)A. D= MB. D> MC. D < MD.大小关系不能确定点拨:at2 + bt + c = 0, M = (2at + b)2 = 4a2t 2 + 4abt + b2 ,而:D = b2 - 4a(- at 2 -

7、 bt) = b2 + 4a2t2 + 4abt , D = M . 选 A.)已知 a、b、c 是 ABC 三条边的长,那么方程(2007.中考2学而思教育06 年秋季中考冲刺班初三第一讲教师版学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939c =4cx2 + (a + b)x +A.没有实数根0 的根的情况是:(C )B.有两个不相等的正实数根D.有两个异号实数根C.有两个不相等的负实数根点拨:结合a 、b 、c 为三角形的三边,可得: D > 0,> 0, x1 + x2 < 0 .选 C. (2005. 辽宁) 关于 x 的方程 x2

8、+(C )2 k x + 1=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围是:A. k > - 1B. k ?1C. k > 1k > 1.选 C.D. k ³ 0点拨:依题意得D> 0 且k ³ 0,的方程 x2 + (2005. 杭州 ) x , x 关于 xpx + q = 0 的两根, x + 1, x + 1 是关于 x 的方程1212x2 + qx +p = 0 的两根,则分别等于:(D )A.1, 3B. 1,- 3C. - 1, 3D. - 1,- 3ìï (x + 1) + (x + 1) = - qì

9、;ï - p + 2 = -点拨:由12得q可求出 p, q ,选 D.íïíï q - p + 1 = p(x + 1)?(x1) = pîî12(2005. 常德) 已知方程 x2 + (2k + 1)x + k 2 -2 = 0 的两实根的平方和等于 11,则 k 的取值是:(C )B. - 3C. 1D. 3A. 3 或 1k ?9 .选 C.4,那么 x +的值是: (xD. - 1或2点拨:由根与系数的关系k = 1 和 k = - 3 ,又由D? 01(2005.兰州)已知实数 x 满足B)A. 1或- 2B.

10、 - 2y ,方程可化为 y2 +C. 11 =xy = 1或 y = - 2 .当 x + 1 = 1时,x点拨:令 x +y -2 =0 ,x2 - x + 1= 0 , D < 0 无解, y = - 2 选 B.(2004.聊城)使一元二次方程 x2 + 7x + c =0 有实数根的最大整数c 是:(C)A. 8B.10C.12D.13点拨: D = 72 - 4c 常0, c12 1 .4)已知 x 为实数,) = 2 ,则 x2 + 3x 的值为:(2007.中考A )A.1C. 3D. -1或3B. 3 或 13学而思教育06 年秋季中考冲刺班初三第一讲教师版学习改变命运

11、，思考成就未来！： 6205943282356523620539393 -y点拨:令 x2 + 3x = y ,方程可化为:y = 2 ,y = 1或y = - 3, 但当 y = - 3 时,3x = - 3, x2 + 3x + 3 = 0, D < 0, 无解. x2 + 3x = 1.选 A.2.(2000.(a - 1)x2 -(b - 1)x2 -联赛)首次系数不相等的两个二次方程(a2 + 2)x + (a2 + 2a) = 0(b2 + 2)x + (b2 + 2b) = 0(1)ab + ba（其中 a、b 为正整数）有一个公共根，求值.(2)a- b + b- a分别

12、观察两个方程的系数,可利用因式分解法求得两个方程的解.解:由题意知: a > 1, b > 1且 a ¹ b .a + 2;a)(a -(a + 2)=由(1)得: (x -1)x -0, x = a, x =12a + 1b + 2.b)(b -(b + 2)=由(2)得: (x -1)x -0, x = b, x =12b + 1b +2或b =a +2.两式化简为: ab - a - b - 2 = 0, 即(a - 1)(a - 3) = 0a =由题意有:b + 1a + 1ìï a - 1 = 1 或ìï a -

13、6;ï a = 2 或ìï a =1 =3解之得:4,代入所求.原式=216 =65536 .íï b - 1 = 3íï b -íï b = 4íï b = 21 = 1îîïîïî"试题）已知关于 x 的方程(4- k)(8- k)x2 - (80- 12k)x + 32 = 0 的3.（2000."是整数，求整数k 的值.解:当 k = 4 时,原方程可化为- 32x + 32 = 0 此时有整数根

14、1;当 k = 8 时,原方程为16x + 32 = 0 ,此时有整数根- 2 ;8 时,原方程化为 轾(4- k )x -轾(8- k )x -当 k ¹ 4 且 k ¹84 =0 .可:臌臌84x =, x =.而 x , x 是整数根且 k 为整数.12124- k8- k4 - k = 北1,2, 4,? 8k = 3, 5, 2, 6, 0,- 4,128- k = 北1,2,? 4k = 7, 9, 6,10,12综上所述,当k = 4, 6,8,12 时,方程的是整数.4.(2000.重庆市竞赛)设方程 x2 -2x - 1 - 4 = 0, 求满足该方程的所

15、有根之和.解:若 x < 1 ,则 2x -20 ,原方程化为: x2 + 2x -1<5 = 0 x = - 1+6, x = - 1-6 ,121又 x < x = - 1-26 ;4学而思教育06 年秋季中考冲刺班初三第一讲教师版学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939若 x ³ 1 ,则 2x-1 ,21? 0 ,原方程化为: x2 -2x - 3 =0 . x = 3, x = -1 ,又x ³ x = 3则所122求的和为: - 1-6 + 3 = 2-6 .5.(2001.陕西省竞赛)已知矩形 A 的边

16、长分别是 a 和b ,如果总有另一矩形 B,使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ,试问: k 是否存在最小值?若存在,求出最小值,若不存在,说明理由.解: 设矩形 B 的边长分别是 x, y ， 由题意得： x +y = k(a + b), xy = kab 故 x, y 是关于 t 的方程t2 + k(a + b)t + kab = 0D = k 2 (a + b)2 - 4kab ? 0k0的 两 个 实 根 . 则 有 :,有 :故4abk(a + b)2 - 4ab ? 0 即 k ³,又 k(a + b) > 0, kab > 0 x &g

17、t; 0, y > 0 .(a + b)24ab所以k 的最小值为.(a + b)26.(2002.江苏竞赛)已知a, b 是方程 x2 - x - 1= 0 的两实根,求a 4 + 3b 的值.解:由根与系数的关系得a + b = 1又a 是方程 x2 - x - 1= 0 的根, a 2 = a + 1 所以:a 4 + 3b = (a + 1)2 + 3b = a 2 + 2a + 1+ 3b = (a + 1) + 2a + 1+ 3b = 3(a + b ) + 2 = 57.(2001.初中数学竞赛"创新杯"广西赛区)已知关于 x 的方程2骣x骣x(a2

18、- 1)珑鼢- (2a + 7)+ 1 = 0 有实数根.1鼢珑桫x -桫x - 1(1) 求 a 的取值范围.(2) 若原方程的两个实数根为 x1, x2 ,且x1x23+=,求 a 值.x1 - 1x2 - 111解：x= t ，当t = 1时无解，当t ¹ 1时，原方程可化为(a2 - 1)t 2 -(2a + 7)t + 1=0, 当 a2 -1 = 0 时(1)设x - 1x1x1或，x = 1 或 x = - 1 .故当a = ? 1 ，方程变为- 9t + 1= 0 或- 5t + 1= 0 即=x -19x - 15841时,原方程有实根.当 a2 -a = ? 1

19、?0 时, D? 0 ,即5328- (2a + 7)2 -时 ,(a2 - 1)-4(a2 -(2a + 7)+ 1 =,1) ? 0a ?. 又当 t = 10,535328a = 1? 2 2 .由于1?2 2-.综上:当 a ?28且 a 贡12 2 时,方程有实数根.x1x2(2a + 7)t + 1= 0, 的两根,即有 2a + 7 =3是方程(a2 - 1)t 2 -,(2)依题意,a2 - 111x - 1 x - 1125学而思教育06 年秋季中考冲刺班初三第一讲教师版学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939a = 10, a = -

20、 8 ,根据(1) a < - 53 (舍去),a = 10 .1223288.(2000.黄石市竞赛)大数学家在<<代数论>>里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目:两个农妇一共带有 100 个鸡蛋上市,两个所带蛋数不同,但是卖得的一样,一个农妇对第二个说:"20如果你的鸡蛋换给我,我可以卖得 15 个铜板."第二个农妇答道:"但是你的鸡蛋换给我,我只能卖得个铜3板."试问,这两个农妇各有多少个鸡蛋?解:设第一个农妇有 x 个鸡蛋,则第二个农妇有(100- x) 个鸡蛋.15x20(100- x)化简得 x2 + 160x - 80

21、00 = 0 , x = 40 或 x = - 200 ,经检验 x = 40 ,=依题意:(100- x)3x100- 40 = 60 .答:两个农妇分别带 40 个,60 个鸡蛋.三、练习题1.(2004.河南选拔赛)已知方程 x2 - 3x + 1= 0 的两根a, b 也是方程x4 - px2 + q = 0 的根,求 p,q.(3x - 1)2 =解： x2 = 3x - 1则9x2 - 6x + 1代入方程得9x2 -0 故 9- p = - 6 = q + 1 ，6x + 1- px2 + q = 0整理可得(9- p)x2 -6x + (q + 1) =： p =7, q =

22、1.1- 312.(2000.联赛预赛)已知方程 x2 + a x + a a = 0 与方程 x2 + a x + a a = 0 有且只有一个公12 321 3共根,求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程 x2 + a x + a a = 0 的根.31 2解：设 x2 + a x + a a = 0 的两根为a , b ，方程 x2 + a x + a a = 0 的两根为a , g ，其中a 为两个方程12 321 3的公共根，则：a 2 + a a + a a = 0 a 2 + a a + a a = 0 ，-得(a - a )a + a (a - a ) = 0.12 3

23、21 312321因为两个方程只有一个公共根， 所以 a1 ¹ a2 ，a = a3 . 由一元二次方程根与系数关系有得:a3 + b = - a1, a3b = a2a3 , a3g = a1a3 , b = a2 ,(a)=g = a , a + a + a = 0 .b 2 + a b + a a = a 2 + a a + a a = a+ a+ a0 ,112331 223 21 22123a (a)=g 2 + a g + a a = a 2 + a a + a a =+ a+ a0 ,31 213 11 21123 b , g 是方程 x2 + a x + a a =

24、0 的两根.31 23.(2002.山东省初中竞赛)关于 x 的方程kx2 - (k - 1)x + 1= 0 有有理根,求整数 k 的值.解:1)当 k = 0 时, x = - 1,符合题意.2)当 k ¹ 0 时, D = k 2 - 6k + 1= m2 (m 为正整数)即:6学而思教育06 年秋季中考冲刺班初三第一讲教师版学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939(k - 3)2 -m2 =8 故(k - 3+ m)(k -m)=3-8 ,因为k -3+ m, k - 3-m 同奇偶,又ì k -k - 3+ m > k

25、 - 3- m 只有ïm = 4ìï k - 3 + m = - 2或3 +k = 6(k = 0 舍去), 综合 1)2) 得:íï k -3- m = 2íï k - 3- m = - 4ïîïîk = 0 或 k = 6 .4.(江苏第 17 届初三数学竞赛)已知实数 a,b,c,满足a + b + c = 0 , a2 + b2 + c2 = 6则 a 的最大值为多少?a2 + b2 + - (a + b)2 = 6 即 b2 + ab + a2 -解:由题意得: c = -

26、(a + b) ,于是有:3 =0 ,从而 b 是方程b2 + ab + a2 - 3 = 0 的实数根.故有D = a2 - 4(a2 - 3) ? 0 得- 2 a足题意, a 的最大值是 2 .2 且当a = 2 时, b = c = - 1,满初中数赛) a 是大于零的实数,已知存在惟一的实数 k ,使得关于 x 的二次方程5.(2001.x2 + (k 2 + ak)x + 1999 + k 2 + ak = 0 的两根均为质数,求 a 的值.()解:设方程的两根为 x 、 x ，则有 x + x = -k + ak x x = 1999 + k 2 + ak 212121 2由+，

27、得x + x x = 1999 有: (x + 1)(x + 1)= 24 ? 53 由知 x 、 x 显然均不为 2,则必为奇21 21212x + 1 x + 1x + 1 x + 1数,故 1, 2必为整数,且 1? 222 ? 53 ,若 x1 + 1 为奇数,则必有 x1 + 1 = 5r (r = 1, 2, 3) ,222222x + 1x + 1x + 1 x + 1.因此,1必为偶数;同理,2必为偶数.所以 1, 2均为偶从而 x = 2? 5r1 为合数,122或 5. 当4时 ,4x2 + 1 =x1 + 1?x2 + 1x1 + 1 = 1x1 + 1 = 15353不

28、 妨 设 x £ x , 则数 , 且得1244444x = 19, x = 499 .当 x1 + 1 = 5 时,x2 + 1 =52 得 x = 19, x = 99 不合题意.故,把 x = 19, x = 499 代12121244入得:k 2 + ak + 502 = 0 此方程有唯一的实数解.所以: D = a2 - 4? 502 ,且前提a > 0a = 2502 .7学而思教育06 年秋季中考冲刺班初三第一讲教师版学习改变命运，思考成就未来！： 620594328235652362053939 人生的秘诀 30 年前，一个年轻人离开故乡，开始创造的前途.他动身

29、的第一站，是去拜访本族的族长，请求指点.老族长正在练字，他听说本族有位后辈开始踏上人生的旅途，就写了 3 个字：不要怕.然后抬起头来，望着年轻人说：“孩子，人生的秘诀只有 6 个字，今天先告诉你 3 个，供你半生受用.” 30 年后，这个从前的年轻人已是人到中年，有了一些成就，也添了很多伤心事。归程漫漫，到了家乡，他又去拜访那位族长.他到了族长家里，才知道老人家几年前已经，家人取出一个密封的信封对他说：“这是族长生前留给你的，他说有一天你会再来.”还乡的游子这才想起来，30 年前他在这里听到人生的一半秘诀，拆开信封，里面赫然又是 3 个大字：不要悔.补充：1、解关于 x 的方程： ax2 + bx + c = 0 ；（本题简单却不易得满，方法思想一定要提炼）- 2 +1 = 0 （数学美拾趣 P68）2、解方程3、