数学建模：高考志愿选取的层次分析

1、高考志愿选取的层次分析一 . 引言大学是广大中学生心目中神圣的知识殿堂,对于每个拥有“大学梦”的中学毕业生来说,填报 高考志愿是他们通向高等学府关键的一步。在填报高考志愿时,学生和家长往往要考虑各种因素来 权衡利弊以做出最优决策,但面对错综复杂的情况在紧迫的时间里又很难做出正确的选择,而如果 他们填报志愿不得当,又势必会对今后的发展有所影响,甚至于终生遗憾。因此在这里,我将综合 学生在报考时最关心的几个因素,帮助他们进行定量分析,以便更合理地填报高考志愿。二 . 问题的分析对于填报高考志愿这一事件,要想做出最优决策,需要考虑的因素很多,而在这些因素中有些 可以定量化,有些只有定性关系。为将半定

2、性、半定量问题转化为定量问题,可以采用层次分析法。 这种方法可以将各种有关因素层次化,并逐层比较多种关联因素,为决策提供可比较的定量依据, 所以针对填报高考志愿这一事件,我们将采取层次分析法。首先,我们确定目标为:填报高考志愿(A ,这里考虑的主要因素有:学校声誉(B1、教学水平(B 2 、学校环境(B3、兴趣爱好(B4、报考风险(B5、毕业后出路(B6、地理位置(B7,同时在教学水平(B2中我们还要同时考虑教师水平(C1 、学生水平(C2 、教学设备(C3这三个子 因素。最后我们将从学生提出的八个志愿中,选择出最佳的四个。为了形象地表示出它们的关系,我们列出了它们之间的关系,如图 三 . 建

3、立模型(一构造成对比较阵面临的决策问题是:要比较 n 个因素 x 1, x 2, x n ,对目标 A 的影响,我们要确定它们在 A 中所 占的比重,即这 n 个因素对目标 A 的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部 分数量化。设有因素 x 1, x 2, x n 每次取两个因素 x i x j ,用正数 a ij 表示 x i 与 x j 的重要性之比。由全部比较 结果得到矩阵 A=(a ij ,称作成对比较阵 A 。nm n n nn a a a a a a a a a , , , , , 212, 2221112, 11 显然有 n j i a a a ij ijij

4、>=, 1, 0, 1。然后求出成对比较矩阵 A 的最大特征值及其对应的特征向量 Y=(y1,y 2, ,y n T , 定义标准化向量Tn i inn i in i i Y Y Y YY Y Y =11211, , , ' 。 用标准化向量 Y 来反应 n x x x x , , , 21 = 这 n 个因素对目标 A 的相对重要性, Y 为同一层 次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。 (二权向量对于已知的成对比较阵 A 来说,有 A Y=Y max 。由矩阵运算法则可知:当 n 较大时,精确地 计算成对比较 A=(a ij 的最大特征值 max 和特征向量

5、比较麻烦,而又由于 A 中的元素 a ij 是重要性 的比值,而重要性是人们根据目标推测出来的,精确度并不高,所以没有必要十分精确地计算出max 和特征向量。因此,可以采用下述方法来近似计算 max 和相应的特征向量。对成对比较阵 A=(a ij ,令, , , 2, 1(111n k aaU ni n j ijnj kjk = (*称 U=(U 1, U 2, U n T为 X=x1, x 2, x n 的权向量,它反映 n 个因素对目标 A 的相对重要 性。经验证, U 与 Y 误差很小,所以一般都用 U 代替 Y 。对于公式(* , 对于一致性矩阵, , ii ij y x a =即满足

6、 a ij a jk =aikU k 可以简化为, 1111=ni iknj jn i inj jk k xx xx x x U则, , 2, 1(, , , 11211n i x x x xx x U Tn i inn i in i i =. X i 代表第 i 项因素的重要性指标。四 . 实际计算下面将调查两名学生(A 1, A 2 ,根据他们所提供的情况,建立一致性矩阵,帮助他们填报志愿。 设七种因素学校声誉、教学水平、学校环境、兴趣爱好、报考风险、毕业后出路、地理位置分 别为 B 1, B 2, B 7。在七种因素教学水平中设有三个子因素教师水平 C 1、学生水平 C 2、教学设备 C

7、 3。学生所要报考 的八个志愿分别为 K 1, K 2, K 8。同时,设重要性指标为 110,其中 10为最重要的, 1为最不重要的。 (一考查学生 A1(目标 A1(1考虑 B=B1, B 2, B 7这七个因素对目标 A 1的相对重要性。 U (x =(0.189,0.170,0.094,0.132,0.189,0.189,0.037 。 (2考虑 C=C1, C 2, C 3这三个因素对目标 A 1的相对重要性。 U (y =(0.348,0.391,0.261T。经调查学生 A 1所要选报的八个志愿为:北大国际金融、北大临床医学、北大生化、清华建筑、 南开机电、北京体院、复旦物理、清

8、华数学,分别设这八个志愿为 K 1, K 2, K 8。(3考虑对于因素 C 1, C 2, C 3,比较 K 1, K 2, K 8的相对差异。 Wc1(K =(0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0.127,0.127 ,Wc2(K=(0.137,0.137,0.137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137T ,Wc3(K=(0.122,0.122,0.134,0.134,0.122,0.122,0.122,0.122T 。(4考虑对于因素 B 1 , B3, B4, B7,比较 K1, K2, K8的相对差异。 B1WB3(K

9、=(0.128,0.128,0.128,0.128,0.128,0.116,0.116,0.128T ,WB4(K=(0.192,0.173,0.135,0.096,0.077,0.135,0.135,0.057T ,WB5(K=(0.022,0.044,0.022,0.156,0.178,0.222,0.222,0.134T ,WB6(K=(0.152,0.152,0.152,0.152,0.106,0.074,0.106,0.106T ,WB7(K=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.116,0.130,0.104,0.130T最后再计算学生 A1所选报的八个志愿的得分:

10、W A1 (K1=U(x1 WB1(K1+=+ =733121(j iiCiiBjjKWyUxUKWxU 0.189×0.137+0.094×0.128+0.132×0.192+0.189×0.022+0.189×0.152+0.037×0.130+0.170×(0.348×0.127+0.391×0.137+0.261×0.122=0.123 12.W A1 (K2=0.122 13, WA1(K3=0.116 18, WA1(K4=0.136 36,W A1 (K5=0.124 67, WA

11、1(K6=0.122 99, WA1(K7=0.138 06,W A1 (K8=0.117 72很显然,得分排在前四位的志愿为 K 7 , K4, K5, K1,也就是说复旦物理、清华建筑、南开机电、北大国际金融这四个志愿最适合 A1报考。 (二 考查学生 A2(目标 A2(1考虑 B=B1U (x =(2考虑 C=C 1 , C2, C3这三个因素对目标 A2的相对重要性。U (y =(经调查,学生 A2所要选报的八个志愿为:清华金融、清华精密仪器、北大计算机、北大物理、北大环境、厦门数学、厦门法学、北航计算机,分别设这八个志愿为 K 1 , K2, K 8。(3考虑对于因素 C 1 , C

12、2, C3,比较 K1, K2, K8的相对差异。 Wc1Wc2(K= (0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104T , Wc3(K= (0.118,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.118T 。(4考虑对于因素 B 1 , B3, B4, B7,比较 K1, K2, K8的相对差异。 B1WB3WB4(K=(0.164,0.115,0.131,0.115,0.082,0.131,0.131,0.131,T ,WB5WB6(K=(0.137,0.123,0.137,0.096,0.137,0.096

13、,0.137,0.137T ,WB7(K=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.130,0.123,0.123,0.123T 。最后再计算学生 A2所选报的八个志愿的得分:W A2 (K1=U(x1 WB1(K1+=+=733121(j iiCiiBjjKWyUxUKWxU 0.204×0.132+0.082×0.127+0.163×0.164+0.204×0.024+0.143×0.137+0.041×0.13+0.163×(0.28×0.127+0.4×0.132+0.32×

14、0.118 =0.114 45W A2 (K2=0.110 29, WA2(K3=0.139 79, WA2(K4=0.101 33,W A2 (K5=0.116 91, WA2(K6=0.144 03, WA2(K7=0.149 89,W A2 (K8=0.125 15很显然,得分拓在前四位的志愿是 K 7 , K6, K3, K8,也就是厦门法学、厦门数学、北大计算机、北航计算机这四个志愿最适合 A2报考。五 . 模型的改进与推广(1通过上面的分析与计算,我们已经将填报高考志愿这一问题,由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为两位学生各选择了四所最有希望考上的学校。但

15、这只是 在理想状况下的结果，有很多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如在填报志愿时所 报考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相差较大的第二志愿会有 更大希望被录取。我们前面所做出的模型，只是将学生所选择的八个学校定量地排了个名次，所以 学生在填报志愿时不能将得分前四名的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实 际情况和侧重点。 ， （2） 在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即 aij） 而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性指标， 然后再用 xi 做出矩阵。 这样做是因为直接询问 xj 高三学生每两个因素之

16、间的重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的 数字之比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比较容易） 。 ，而将其所构成的成对比较 如果我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即 aij） 阵就可能会出现一致性问题。 下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。 对于成对比较阵 A 来说，其中的关系应满足 a ij a jk = a ik ,1 i, j , k n, 这样的成对比较阵 A 为一致矩阵。 而 由 于 人 的 思 维 活 动 的 原 因 ， 人 们 用 a ij 构 成 的 成 对 比 较 阵 A 往 往 不 是 一 致 矩 阵 ，

17、即 a ij a jk a ik ,所以在分析 X=x1,x2,xn对目标 A 的影响时，必须对 A 进行一致性检验。 因为 n 阶成对比较阵 A 是一致矩阵， 当且仅当 A 的最大特征值 性，则 max n 。于是我们引入一致性指标 max = n ，所以若 A 不具有一致 CI = max ( A n n 1 。 将 CI 作为衡量成对比较阵 A 不致程度的标准， max ( A 稍大于 n 时， A 具有满意的一致性。 当 称 此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令这里 RI 为平均随机一致性指标 （查表可得） ，CR 称为随机一致性比率，可以用 CR 代替 CI 作为一致性检验的临界值。当 CR0.1 时，就认为 A 有满意的一致性，否则就必须重新调整成对比较阵 A，直到达到