概率论 第三版 龙永红第一章习题及答案

1、 第一章 练 习一、填空题：（1）设A、B为随机事件，P（A）0.7，P（AB）0.3，则P（） 0.6 。 P（AB）=P（A）P（AB）P（AB）=0.4P（+）=1P（AB）=0.6（2）设A、B为随机事件，P（A）0.92，P（B）0.93，P（B/）0.85，则P（A/）=_ 0.829_，P（AB）=_ 0.988_。见课本习题20题（3）设事件A、B相互独立，已知P（A）0.5，P（AB）0.8，则P(A)= 0.2 , P（） 0.7 。P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）=0.8P（B）=0.6，P（）=0.4P（AB）=P（A）P（A）=0.50.2=0.3P（A）=

2、P（A）P（）=0.50.4=0.2（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。+=0.4（5）设两个独立事件A、B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A） 2/3 。P（A）=P（B）P（）=（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为 2/3 。P：不中的概率 1P=P=P=1P= (7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为： 3/7 、 (8) 事件A、B、C中

3、至少有两个不发生，可用运算符号表示为： ；而运算符号则表示事件 A或B至少一个发生而C不发生 。(9) A、B为相互独立的事件，P（A）=0.4，P（AB）=0.12，则P（B）= 0.3 ；P（）= 0.3 。 (10) 设A、B为互不相容事件，P（B）=0.4，P（A+B）=0.75，则P（A）= 0.35 ；P（）= 1 。（11）设A、B为互不相容事件，P（A）=0.35，P（A+B）=0.80，则P（B）= 0.45 ；P（）-P（）= - 0.35 （12）A、B为相互独立的事件，P（A）=0.4，P（AB）=0.12，则P（B）= 0.3 ；P（）= 0.3 。（13）某人射击时

4、，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为 3/64 （14）设每次试验成功的概率为：P（0P1），则3次重复试验中至少失败1次的概率为 其对立事件为三次都成功，故： 0.75 P（目标命中）=P（甲中或乙中）=0.6+0.5-0.60.5=0.8P（甲中|目标命中）=0.6/0.8=0.75二、计算题： 1、现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有3个红球，2个黄球；2号盒中有2个红球，3个黄球；3号盒中有1个红球，4个黄球。现掷3枚均匀骰子，若出现K个6点，则白K号盒中任取2个球（K0,1,2,3），求所取的2个球为一红一黄的概率。解：设AK ：出现K个6点，K=

5、0，1，2，3 设B：取得的2球为一红一黄 由全概率公式： 2、 某信息咨询部门三名调查员登录一批农业经济调查表。甲登录了38%，乙登录了40%，丙登录了22%。根据以往记录，甲出错率为1%，乙为1.5%，丙为0.8%。经理在这批表格中随机抽取一份检查，发现有错，问这张表内甲、乙、丙登录的可能性各是多大？解：根据贝叶斯公式： 3、在一次每题答案有4种选择的测验中，假设只有一种答案是正确的。如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。现已知：知道某题正确答案的学生占参加测验的学生的90%，若某学生对此题的回答是正确的，那么他是随机猜出的概率为多少？解：设 A=某学生对该题回答正确 =该生知

6、道该题的正确答案=该生不知道该题的正确答案， 依题意得 根据逆概率公式，有4、八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率. 解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=28, 设目 标被击毁为事件B, 各炮命中概率 p = 0.6, 则 5、设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B 表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：某患者首次检查反应为阳性, 试判断该患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为阳性呢？解： 6、设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含

7、有肝炎病毒的概率？解：100个人中至少有一个人含有肝炎病毒则混合液里就含有病毒，故用对立事件解，7、甲、 解：设 B表示飞机坠毁 表示恰好有个人射中， 由题设：由全概率公式： 第二章 练习题（解答）一、填空题：1设随机变量X的密度函数为：f(x)= 则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件(X)出现的次数，则P（Y2） 。解：ax+b 0xa)=P(xa)成立的常数a = ( A ) ABCD12设F1（X）与F2（X）分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F（X）aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） Aa=, b =Ba=, b=Ca=, b

8、=Da=, b=F(+)=a F1 (+)-BF2 (+)=13. 已知随机变量的分布函数为F（x）= A + B arctgx ，则：（ B ）A、A= B= B、A= B= C、 A= B= D、A= B= 本题为课堂例题4. 设离散型随机变量X仅取两个可能值X1和X2，而且X1 X2，X取值X1的概率为0.6，又已知E（X）1.4，D（X）0.24，则X的分布律为（ ） A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4 1.4=EX=0.6X1+0.4X2 DX=EX2-(EX)20.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42联系、

9、解得X1=1，X2=25现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）A6元B12元C7.8元D9元设表示得奖金额，则其分布律为： 6 9 12 P 故期望值为： 7.86. 随机变量X的概率分布是： X 1 2 3 4 P a b 则：（ D ）A、a=, b= B、a=, b= C、a=, b= D、a=, b= 7. 下列可作为密度函数的是：（ B ） A、 B、 C、 D、 依据密度函数的性质：进行判断得出：B为正确答案8. 设X的概率密度为，其分布函数F（），则（ D ）成立。 A、P（ B、 C、P D、P9. 如果，而

10、，则P（X）=（ C ） A、 B、 C、0.875 D、 解: 10. 若随机变量X的可能取值充满区间，那么Sinx可以作为一个随机变量的概率密度函数。（ B ） A0，B0.5, C0, 1.5D, 1.5解: 依据密度函数的性质：进行判断得出：B为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X为出现次品的个数，则EX （ D） A0.75B0.2375C0.487D0.25 此题X服从二项分布12. 设X服从二项分布，若（n1）P不是整数，则K取何值时，P（XK）最大？（ D ）AK（n1）PBK（n1）PiCKnPDK（n1）P 13设X服从泊松分布，若

11、不是整数，则K取何值时，P（XK）最大？（B）ABC1D114. ，Y=2X1，则Y（ C ） A、N（0，1） B、N（1，4） C、N（-1，4） D、N（-1，3） 15. 已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A2B1/4C1/2D 随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/2 16当满足下列（ D ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。 AnBCD17. 设,已知，则和的概率分别为 C A. 0.0228 , 0.1587 B. 0.3413 , 0.4772 C. 0.1587 , 0.0228 D. 0.8413 , 0.97725三、

12、计算题： 1. 设随机变量X的密度函数为：A+B=3f(x) = AX 0X1 BX 1X20 其它试求：（1）常数A、B。 （2）分布函数F（X） （3）P（）解：（1）由f(x)为连续的同时： ，又A+B=3解得：A=1，B=2 （2） 当 （3）2. 设已知X= ，求： P（） 解： 3. 设随机变量X的密度函数为： ax 0x2 f(x)= cx + b 2x40 其他 已知 EX2， P（1X 0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。解：设Xi表示第i个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X1X2X3独立

13、且同分布，分布函数为：设G（t）是T的分布函数。当t0时，G（t）=0t0时，G（t）=P(Tt)=1-P(Tt) =1-P(X1t,X2tX3t) =1-P(X1t)P(X 2t)p(X3t) =1-P(Xt)3=1-1-F(t)3 =1-e -12. 设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度XN（200，18），求： 取出的该材料的强度不低于180的概率； 若某项工程要求所用的材料强度要以99%的概率保证不低于150，问这批材料是否合乎要求？解： 大于0.99，故这批材料合要求。13. 生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，则这20件产品中，废品不少于3件

14、的概率为多大？ 解： =“20件产品中废品数目” “初步检查已发现有2件废品”=“2” “废品数不少于3件”=“ 3” p=0.1 q=0.9 n=20. 14. 某公司作信件广告，依以往经验每送出100封可收到一家定货。兹就80个城市中的每一城市发出200封信。求（1）无一家定货的城市数；（2）有三家定货的城市数。解：设发出200封信后有家定货，则B（200，0.01）近似服从参数为=2的泊松分布P（=0）0.1353 ，P（=3）0.1804（1） 无一家定货的城市数为800.1353=10.82（2） 有三家定货的城市数为800.1804=14.4315. 某企业准备通过考试招收300名

15、职工，其中招正式工280人、临时工20人，报考人数为1657人，考试满分是400分。考后得知，考试平均成绩为166分，在360分以上的高分考生有31人。求：（1）为录取到300人，录取分数线应设定到多少？（2）某考生的分数为256分，他能否被录取为正式工？（设成绩服从正态分布， ）解：（1）因此，分数线应定在250.9分。（2）故该考生能被录为正式工。 第三章 练习题一、填空题：1设随机变量与相互独立且具有同一分布律：01P则随机变量的分布律为： 。 0 1 2P 2随机变量服从（0,2）上均匀分布，则随机变量在（0,4）的密度函数为 3设x表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中的概率

16、为0.4，则x2的数学期望E (x2) DX+（EX）2=2.4+16=18.4 。4设随机变量x服从 1, 3 上的均匀分布，则E ()5设DX4，DY9，PXY0.5，则D (2x 3y) 4Dx+9Dy-2cov(2x,3y)=61 6若X与Y独立，其方差分别为6和3，则D(2XY)_27_。二、单项选择：1设离散型随机变量（）的联合分布律为：()(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P若与独立，则与的值为： （ A ） A，B，C，D，还原为（）： 1 2 312 12. 设（X，Y）是一个二元随机变量，则X与Y独立的充要条件是：（ D ） A、 cov（X,Y）

17、= 0 B、 C、 P = 0 D、3已知（X，Y）的联合密度为 ，则F（0.5，2）=（ B ） A、0 B、0.25 C、0.5 D、0.1=0.254如果X与Y满足D（XY）D（XY），则必有（ ）AX与Y独立BX与Y不相关CD（Y）0DD（X）D（Y）0 5对任意两个随机变量X和Y，若E（X，Y）E（X）E（Y），则（ B ）AD（XY）D（X）D（Y）BD（XY）DXDYCX和Y独立DX与Y不独立6设DX4，DY9，PXY0.5，则D（2X3Y）。（ C ） A97B79C61D297设已知随机变量 与的相关系数，则与之间的关系为： （ D ） A. 独立 B. 相关 C. 线性相关

18、 D. 线性无关8 设X, Y为两个独立的随机变量, 已知X的均值为2, 标准差为10, Y的均值为4, 标准差为20, 则与的标准差最接近的是 D 10 15 30 229设随机变量XN（3，1），YN（2，1），且X与Y独立，设ZX2Y7，则Z（ A ）AN（0，5）BN（0，3）CN（0，46）DN（0，54）DZ=D（X2Y+7）=5， EZ=E（X2Y+7）=0 10设两个相互独立的随机变量X和Y，分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则（ B ）AP (x + y 0) = BP (x + y 1) = CP (xy 0) = DP (xy 1) = E（X+Y）= EX + EY = 1，以1为中心的正态分布大于1小于1各为1/2三、计算题：1. 设（X，Y） = 求： 确定C F（x，y） 验证X与Y的独立性解： 根据二元随机变量密度函数的性质： 根据二元随机变量分布函数： 分别求出X与Y的边缘密度函数满足：