数学建模_足球比赛_论文

1、作业二:足球队的名次排名方法论文专业班级:10级统计二班模型:用层次分析法, 把平均积分、 净球数和获胜场数与参赛场数的比值作 为准则层的影响因素, 根据它们的比重关系, 构造正互反矩阵 (逆称矩阵 , 通过 求最大特征值及其特征向量,从而求出排名。 关键词:足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述与分析近几十年以来,足球这一运动项目在我国较为流行,深受许多球迷的喜爱, 越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来, 其中全国足球联赛就是一个比较正 式, 比赛要求较为严谨的一个比赛组织, 公平、 公正、 公开的评分原则显现的更 为重要。 题目中给出了 1988-1989年全国足球甲级

2、队联赛的比赛成绩列表, 根据 列表的数据, 要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次, 并给出用该方 案排名次的结果。 建立数学模型, 对数据进行分析, 对十二支分队进行排名, 并 要求能够推广到 N 个队, 计算出对于 N 个队的排名情况, 对于所设计出来的数学 模型说明所要求数据具备的条件有哪些。设计方案的方法是多种多样的,可以运用模糊数学、图论、层次分析等等, 然而由于能力有限或者题目数据的限制, 我们仅用其中较为浅显的理论, 进行了 建立模型。二、 模型假设1、参赛各队都是按照自己的真实水平发挥的,且在短时间内,真实水平是不发 生变化的,比赛结果没有人为或其它非正常因素的影响。2、

3、每场比赛的结果对排名的估计的重要程度是一样的,具有相同的可信度。3、每一场比赛都是由比赛规则决定的,没有弃权的现象。三、 模型建立模型:层次分析法在此模型中, 我们采取层次分析法。 在本题中, 我们认为影响参赛队排名主 要有一下三个因素:平均分,净球数,参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。 1、我们根据层次分析法建立如下的层次关系:各因素 1x , 12x , 3x ,相对于目标 y (其中 232211x w x w x w y +=的重要性。用 若介于上述两者之间,则取 2, 4, 6, 8。 3通过三个因素对排名的影响构造矩阵 C ,其中 C=3*3 c (ij =3*3 /(j i x

4、 x ,以上的数据 我们可以写出矩阵 C ,然后求出最大特征值和其对应的特征向量。将特征向量归 一化,就可以得到 1w , 2w , 3w 的值,我们就可以求出排名了。四、 模型求解1、 我们根据题目可以得出各参赛队的平均分,净球数,参赛队赢的场数与该对 比赛的场数之比。 排名平均分 净球数 赢的场数与比赛的场数之比目标层 准则层1、我们可以写出矩阵 C:=122/12/113/1231C 2、在 matlab 软件中, 可以求出 C 的最大特征值为 max = 3.0092, 特征值 max对应的特征向量为 4660. 02565. 08468. 0,将其归一化得向量 2970. 01634

5、. 05396. 0, 3、我们看出平均分占的比重比较大,所以,当我们给参赛队进行排名的时候,我们首先考虑平均分,当平均分差不多的时候,我们再计较赢的场数与该对比赛的场数之比。 因此, 我们得出各参赛队的排名为:7T 3T 1T 10T 2T 9T 8T 6T 12T 5T 11T 4T五、 模型检验我们采用计算机模拟的方法来进行模型检验。 具体方法如下:设有 n 个队参 加比赛, 采用随机函数在 0,1区间内产生 n 个数, 分别记为 i M , 表示这 n 个球 队的总体实力水平, 将这 n 个数俺从大到小的顺序排列即得到这 n 各队的的排名。 根据产生的 n 个数可产生一组比赛数据,对任

6、意的 i T 和 j T ,先用随机函数产生 他们之间的比赛场数 ij b (取值为 0, 1, 2, 3中的一个 ,还有要注意比赛场数的 选取要保证图的连通性,即对任意 i T 都必须至少和其他球队有一场比赛。然后, 产生比赛数据,不妨设 i T 强于 j T ,我们通过查阅资料得到一场比赛中的结果的 概率经验公式:4ji i M M T P -+=.70.30获胜 ji j MM T P -=.30.30获胜ji j i M-M 0.4-0.4PT-PT-1=胜 胜 平局 P以上三式概率分别记为 1P 、 2P 、 3P 。根据以上概率算式以可将 0,1区间按上述概率大小分别分成三段用来计

7、算机随 机模拟比赛结果。最后我们来模拟没遗产比赛的比分,设 i T 与 j T 的第 q 场比赛的比分为 a :b ,则1 获胜 i T ,即随机数 X 落在 0, 1P 内时rand(%3=b , M -M (2t(1rand(%(in1j i +=b a2 获胜 j T ,即随机数 X 落在 1P , 21P P +内时rand(%3=a , rand(%21+=a b3 平 局,即随机数 X 落在 21P P +, 1内时rand(%5=b a模拟完成后, 可以的出任意组的数据, 对数据进行一些简要的筛选即可选出一些 粗数据对所建立的模型进行检验、分析、评价。记 随 机 产 生 的 名 次 排 序 为 i Q (n ., 1,2, =i , 通 过 模 型 产 生 的 名 次 排 序 为i q (n ., 1,2, =i 。我们采取的检验公式为-=ni i q Q (n E显然 E 越小表明模型越合理, 为了消除随机因素对模型检验的