概论七章习题及答案

1、第一章 随机事件及其概率（参考时间：90分钟）一、选择题1设A,B为两个任意事件，则下列结论一定正确的是（ ）.A.(AB)-B=A; B.(A-B)B=A;C.(A-B)B=AB ； D. AAB=AB2. 设A,B是两个事件,已知P(A)=1/4,P(B)=1/2,P(AB)=1/8,则P(AB)(AB)=（ ）.A. 0 B.1/2 C.5/8 D. 13. 掷两颗骰子，出现点数和为7的概率为（ ）。 A. 1 B. 1 C. 1 D. 13612264. 设A,B为两个互不相容事件，且已知P(B)>0，则下列等式中（ ）恒成立. A. P(AB)=0; B. P(AB)=1; C

2、.P(AB)=0 ； D. P(BA)=1.5. 设A,B为相互独立的事件，P(A B)=0.6，P(A)=0.5,则P(B)=( ).A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4二、填空题1. 设A,B为两个事件,若概率P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则概率P(AB)= .2. 袋中1只白球,2只红球,甲乙丙三人依次有放回抽取一球,丙取到白球的概率为 .3. 袋中8只白球,2只红球,甲乙两人依次不放回抽取一球, 甲、乙各取到红、白球的概率为 .4设三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19/27,则事件A在一次试验中出现的概率为 .三、解答题1

3、.三个工人各装配一台仪器,它们或是正品,或是次品,令Ai代表“第i个工人装配的仪器是正品”i=1,2,3,试用A1,A2,A3表示下列事件:(1)没有一台仪器是次品;(2)至少有一台仪器是次品;(3)只有一台仪器是次品;(4)至少有两台仪器不是次品.2.袋中有5个白球和3个黑球,从中任取2个球,求 (1)取得的两球同色的概率;(2) 取得的两球至少有一个白球的概率.3.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是0.2, 0.5, 0.4，求此密码被译出的概率.5. 在一道通讯渠道中，发送端发送字母A, B, C的频繁程度为3:2:1，由于通讯噪声干扰，接收端正确接收到被传送字母的概率为0

4、.6，而错误接收到其它两个字母的概率均为0.2，求接收端接收到字母B的概率.参考答案一 1.C; 2.B; 3.D; 4.A; 5.B三 1. (1)A1A2A3; (2)123; (3) 1A2A3A12A3A1A23; (4)A1A2A1A3A2A3; 2. (1)13/28; (2)25/28; 3. 0.76;4. 0.0405, 80/81; 5. 1/3第二章 随机变量及其分布 （参考时间：100分钟）一、填空题1、一射手对同一目标独立地进行四次射击，该射手的命中率为2/3，以X记命中次数，则PX1= _2、设离散型随机变量X分布律为PX=k=5A(1/2)3、已知连续型变量Y的密

5、度为f(x)=k(k=1,2,)则A=_ax,0<x<1，则a=_，PY0.5=_0,其它4、若PY0.5=1/2，PX=1=1/3，且X与Y独立，则PY0.5,X=1= 二、选择题1、设X的密度函数为连续函数，分布函数为F(x)=(t)dt，则密度f(x)=（ ） （A）(x) （B）1(x) （C）1(1x) （D）F(x)21x2-222、设X1,X2, ,Xn相互独立，且密度函数都为1e-(x-)22(为参数)，则(X1,X2, ,Xn)的密度函数f(x1, ,xn)=（ ） （A）(2)e（C）1e-n-2-1n(xi-)22i=1(为参数) （B）(2)en-2-12(

6、xi-)2i=1n(为参数)(x-)22(为参数) （D）i=1n12e-(x-)22(为参数)3,0<x<1,0<y<x2，则PX<0.5=（ ） 3、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=0,其它（A）1/8 （B）1 （C）3 （D）1/2 4、X1,X2独立,且分布律为 Xi0P11/21/2(i=1,2)，那么下列结论正确的是（ ）（A）X1=X2 （）PX1=X2=1 （C）PX1=X2=1（）PX=X=11224三、解答题1、从有3个合格品与2个次品的产品中一件一件地抽取产品，各产品等可能被抽到，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所抽取次数的分布律

7、。(1)放回；(2)不放回。 设(X,Y)的联合分布律为求 (1) 关于及的边缘分布；(2) X与Y是否独立，为什么？（3）PX+Y=1，PX3/2。12e-(3x+4y)3、设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=0,求 （1）（X，Y）落在区域D：0<x1,0<y2的概率；（2）关于X及Y的边缘密度；（3）X与Y是否独立，为什么？（4）PX<1+PY2。x>0,y>0其它,0,x04、设随机变量X的分布函数F(x)=, 求PX1，PX>2，PX=-1。 -x1-(1+x)e,x>00,x<-15、设随机变量X的分布函数F(x)=1

8、/6,-1x<2, 求P1<X2，PX>2，PX=-1。 2/3,2x<31,3x6、设X求下列随机变量的分布律（1）X-1，（2）-2X，（3）X2。2e-2x,x>0，求Y=1-e-2X的概率密度。 7、设X为参数1/2的指数分布，即密度为f(x)=0,其它参考答案一 1.PX1=1-PX=0=1-(4=80/81；132. 因为PX=k=5A(1/2)k=5Ak=1k=11/2=5A1-1/2所以A=1/5 ；3.因为+-f(x)dx=axdx=11a=1,所以a=2，PY0.5=2xdx=x20.5210.5=3/4；4. 因为X与Y独立,所以PY0.5,

9、X=1=PY0.5PX=1=1/6 '1x二 1. 因为f(x)=F'(x)= 2(t)dt=(1x)1 ,所以选C； -222. 因为X1,X2, ,Xn相互独立,f(x1,xn)= i=13. PX<0.5=n(x-)2-i2=(2)e-n2-1(xi-)22i=1n,所以选A；0.5dx3dy=3x2dx=x3x20.50.50=1/8 ,选A；3.因为X1,X2独立,所以PX1=X2=PX1=0,X2=0+PX1=1,X2=1= =PX1=0PX2=0+PX1=1PX2=1=1/2,选C 三1、 （1）PX=K=(2/5)（2） 2、（1）k-1(3/5),k=1

10、,2,（2）不独立； （3）0，3/4 3、这是用密度函数求概率的题 （1）P(X,Y)D=f(x,y)dxdy=dx12eD12-(3x+4y)00dy=3edx4e-4ydy=(1-e-3)(1-e-8) ，1-3x23e-3x（2）fX(x)=0,x>0-34e-4y，fY(y)=其它0,-8y>0其它（3）独立， （4）2-e-e4、这是用分布函数求概率的题PX1=F(1)=1-2 e-1 ，PX>2=1-PX2=1-F(2)=3 e-2，因为X是连续型随机变量所以PX=-1=05、1/2，1/3，1/67、这是求一维随机变量函数的分布的题2e-2x,x>0,Y

11、=1-e-2X,则当x>0时,0<Y<1, 已知X密度为f(x)=0,其它且当0<y<1时,11FY(y)=PYy=P1-e-2Xy=PX-ln(1-y)=FX(-ln(1-y),于是 221111fX(x)=FX(-ln(1-y)'y=fX(-ln(1-y)(-ln(1-y)'=2eln(1-y)=1. 2(1-y)222当y0时, FY(y)=0,fX(x)=0; 当y1时, FY(y)=1,fX(x)=0. 所以Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布.第三、四章 随机变量的数字特征及正态分布一填空题1.随机变量X的分布律为 X 0 1

12、 2 3 4P 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1则E(X)= ,D(X)= .2.随机变量XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3.6,则n= .3.已知XN(-2,0.4),则2X+3E(X)=4.设XN(10,0.6),YN(1,2),且X与Y相互独立,则E(XY)= ,D(3X-Y)= ,X+Y5.设D(X)=25,D(Y)=36,XY=0.4,则Cov(X,Y)二选择题1.随机变量XN(2,9),则22X-2( ). 3(A)N(2,9) (B)N(0,9) (C)N(0,1) (D)N(2,3)22.随机变量XN(,),则PX-<2=( )(A)2(1)-1 (B)

13、2(2)-1 (C) 2(3)-1 (D) (2)3.设随机变量X的E(X)=,D(X)=,则( ). 233 (B) PX-<2 4431(C) PX-<2= (D) PX-<2 44(A) PX-<2三解答题2.设随机变量X的概率密度为f(x)=1-xe,求期望和方差. 24.射随机变量(X,Y)具有联合概率 12222,x+yR f(x,y)=R0,其他试证X与Y不相关,但不独立.5.设XN(3,4),YN(1,1),且X与Y独立(1)查标准正态分布表求P(2<X5),P(X>2Y+1)(2)确定常数C,使P(XC)=P(X>C).(3) 查标准

14、正态分布表确定常数a,使PX-3>2a=0.05.6.某产品的质量指标XN(160,),若要求P(120<X<200)0.8,试问容许最多为多少?9 2Xi=150i,利参考答案2.由E(X)=6,D(X)=3.6得 np=6,np(1-p)=3.6,解出n=15 3.由96页引理1(1)知2X+3N(-1,0.64) E(X)=D(X)+E(X)=0.564.X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)=10, D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)=7.4 由101页定理2知X+YN(11,2.6)5. D(X)=25,D(Y)=36,XY=0.4,又XY=22Cov(X

15、,Y)=0.4,则Cov(X,Y)=123023二1.C 2.B 3.利用切比雪夫不等式, PX-<21-=,选A 2441,0<x<120三1. 候车时间的分布服从均匀分布,密度函数为f(x)=120.所以0, 其他1(1202)=1200 12+0+11x-x2.E(X)=xf(x)dx=xedx+xedx=0-202E(X)=60秒 D(X)=E(X)=2+-xf(x)dx=xedx=-xe2+2-x2-x+2+xedx=-2(xe-x-x+-e-xdx)=2+D(X)=E(X2)-E(X)2=2.3.E(X)=00.4+15C40.60.4+30C40.60.4+55

16、C40.60.4+1000.6=44.644.E(XY)=413222334+-dx+-xyf(x,y)dy=dx-RRR1dy=0R2E(X)=+-dy-xf(x,y)dx=dy-R1dx=0,E(Y)=0. 2R于是Cov(X,Y)=0,XY=0,X与Y不相关.+当-RxR时,fX(x)=-f(x,y)dy=f(x,y)dx=当-RyR时,fY(y)=+-=f(x,y)fX(x)fY(y),所以XY不独立.5.(1) P(2<X5)=F(5)-F(2)=(5-32-3)-()=0.5328, 222Y+1-XN(0,8),P(X>2Y+1)=P(2Y+1-X<0)=(0)

17、=0.5.(2)由P(XC)=P(X>C)有( (3) PX-3>2a=1-PC-3C-3C-3C-3)=1-(),()=0.5,=0,C=3 2222X-32a<=1-2(a)-1=0.05,(a)=0.975,a=1.96 226. P(120<X<200)=(40)-10.8,得(40)0.9,40=31.25 1.287. 因为Xi,i=1, ,50相互独立,且它们都服从参数为=0.03的泊松分布, 则E(Xi)=D(Xi)=0.03,i=1, ,50.由中心极限定理PX>1.5=1-Pxi<1.51-=0.5i=150第五、六、七章 数理统计

18、一、填空题1.设总体X N(0,1),X1,X2, X10是来自X的样本.则X1,X2, X10的联合概率密度为_; 2.设总体X服从参数p的(0-1)分布,则样本(X1,X2, Xn)的联合分布律为P(X1=x1, ,Xn=xn)=3.设总体XN(0,1),X1,X2, Xn是来自X的样本,则统计量Y=X1+X2+ +Xn服从_分布; 4.设来自总体X的样本的观察值为80, 79, 77, 76, 75, 73, 71, 89, 87, 85, 84, 83, 81,则总体X的期望的矩估计值为_;5.设零件的大小X N(,),未知,=100,现在取100只测试,则样本均值X与的偏差小于1的概

19、率是_(1)=0.8413) 二 选择题1.设总体X服从参数为=1/2的指数分布,X1,X2, X10是来自X的样本,则概率22222PX1>1,X2>1, X!0>1=( )(A) e-20/; (B) e-10; (C) e-20; (D) e-52.设X N(0,1),Y (n),且X,Y相互独立,则Z=2( ) (A) t(n); (B) t(n-1); (C) N(0,1); (D) 2(n)3. 已知X1,X2,X3,X4是来自均值为(未知)的正态总体的样本,则的无偏估计量为( )(A) T1=X1-X2-X3+X4; (B) T2=X1/6+X2/3-X3/3+

20、X4/6; (C) T3=(X1+2X2+3X3+X4)/5; (D) T4=(X1+X2+X3+X4)/44.总体X N(,),已知,取枢轴量Z=22则的置信水平为1-的置信区间( )(A)(z,z) (B)(z/2,z/2)(C)(/2,+2/2) (D)(2,+2)2225.总体X N(,),均未知,对于假设检验问题H0:=0,H1:0 ,取检验统计量=2(n-1)S202,则拒绝域(显著性水平为)为( )2(n-1); (A) 212-(n-1); (B) 2(C)1-/2(n-1) /2(n-1). ; (D) 1-(n-1) (n-1).三 解答题 222222221=1.设(X1,X2,X3)来自总体X的一个样本, E(X)=,D(X)=,且14151521(X1+X2+X3), 32=(X1+2X2+X3),3=(X1+3X2+X3),4=(2X1+2X2+X3)为的4个估计,证明 1,2,3,4都是的无偏估计; (1) 1最有效. (2)2.设总体X的概率密度为x-1,0x1 f(x;)= , 0,其它其中>0为未知参数, X1,X2, Xn为来自总体X的一个样本.(1)求的矩估计量和最大似然估计量;(2)设抽样得样本均值为x=0.75,求的矩估计值.3. 设总体X的分布密度为 x1-e,x>0,>0 为未知参数, 样本(X1,X2,