数列练习题及答案

1、2已知函数f(x)=x-ln(1+x),数列an满足0<a1<1,an+1=f(an); 数列bn满足b1=,bn+1(n+1)bn, nN*.求证:an2;（）（）0<an+1<an<1;（）an+1<若a1=则当n2时,bn>ann!. 225已知数列an中各项为： 121212、1122、111222、111222 个 n个 n（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn . 12已知为锐角，且tan=2函数f(x)=xtan2+xsin(2+2-1， 4)，数列an的首项a1=1,an+1=f(an). 2

2、求函数f(x)的表达式； 求证：an+1>an；111*1<+ +<2(n2,nN) 求证：1+a11+a21+an*13（本小题满分14分）已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1nN ()（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足4b1-14b2-14（）证明：b3-1 4bn-1=(an+1)bn，证明：an是等差数列； 1112+ +<(nN*) a2a3an+1315已知数列a n前n项的和为S n，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n(1-n)。求a1 ；求证：数列a n是等比数列；是否存在常数a，使得(Sn+1-a)由。 2=(Sn+2-a)(Sn-

3、a)对nN+都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理18、已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=求an的通项公式；（）设bn=a(an-1)（a为常数，且a0,a1） （ ）a-12Sn+1，若数列bn为等比数列，求a的值； an11+，数列cn的前n项和为Tn . 1+an1-an+1（）在满足条件（）的情形下，设cn=1求证：Tn>2n- 3，2，3， ）19、数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。（I）求c的值；（II）求an的通项公式。（III）由数列an中的第1、3、9、27、项构成一个新的数列bn，求lim2

4、5已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=bn+1的值。 nbna (an-1)（a为常数，且a0,a1）a-1（）求an的通项公式；（）设b0=2Sn+1，若数列bn为等比数列，求a的值； an11+，数列cn的前n项和为Tn，1+an1-an+1（）在满足条件（）的情形下，设cn=求证：Tn>2n-34已知数列an满足 13a1=5, a2=5，an+1=an+6an-1(n2)（1）求证：an+1+2an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；*（3）设3nbn=n(3n-an)，且b1+b2+bn<m对于nN恒成立，求m的取值范140、函数f(x)对任意xR都有f(x)f(1

5、x)2.n-1)(nN)的值； n12n-1)+f(1),求数列an的通 （2）数列an满足an=f(0)+f()+f()+ +f(nnn （1）求f()和f()+f(项公式。（3）令bn=121n44an-122,Tn=b12+b2+b32+ +bn,Sn=32-16试比较Tn与Sn的大小。 n41已知数列an的首项a1=2a+1（a是常数，且a-1），an=2an-1+n2-4n+2（n2），数列bn的首项b1=a，bn=an+n2（n2）。（1）证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值；（3）当a>0时，求数列an

6、的最小项。集合与函数概念（参考答案）一、选择题:1-5BDADD 6-10ACCCA1;2;1,2 12：3；57； 二、填空题:11：；a2+b2-2ab+a-b+1 13：4: -12 14： 15：20三、解答题:16 解：要使函数f（x）=-x有意义 2x2-3x-211-x0 则 解得：x-且x1 222x-3x-20则函数f（x）的定义域为xx-且x1 12要使函数f(x)=-x+1x有意义1-x0 则、 解得：0<x1 x>0则函数f（x）的定义域为x0<x117解： 已知函数的对称轴为x=3 4由二次函数的性质知f（x）min=f()=-又f（-3）=25，f

7、（5）=33 3425 8f（x）max=f(5)=33 函数的值域为y- 由y=25<y33 8x可变形为yx2-x+y=0 易知xR 2x+1 所以01122即是(-1)-4y0 解得：-y 2211函数的值域为y-<y 22318判断：函数y=x+x在R上是单调递增函数且为奇函数证明：1）设x1,x2R且x1<x2-f（x2）=x13+x1-x23+x2 有f（x1）()()33 =x1-x2+(x1-x2)22 =(x1-x2)x1+x1x2+x2+(x1-x2)22 =(x1-x2)x1+x1x2+x2+1 ()()()=(x1-x2) x12+x1x2+1232x

8、2+x2+1 442132 =(x1-x2) x1+x2+x2+1 2413 x1<x2 x1-x2<0 显然 x1+x2+x22+1>0 242-f（x2）<0 即f（x1）<f（x2）f（x1）y=x3+x在R上是增函数2）观察可知原函数的定义域为R关于原点对称3 f（-x）=（-x）+(-x)=-(x3+x)=f（x）y=x3+x为奇函数219解：1）函数f(x)=ax-2x+1的对称轴为x=1 a0<a11 3 a32 函数f(x)=ax-2x+1在区间1，3上位单调减函数M(a)=f(1)=a-1 N(a)=f(3)=9a-5g(a)=M(a)-N

9、(a)g(a)=-8a+4 0<a1 31单调减函数 3 2）由一次函数的性质知g(a)=-8a+4在区间(0,g(a)min=g()=134 360（小时） 1120解：300÷60=5（小时） 300÷55=60t S=300300+55(t-5.5)(0x5)(5<x<5.5)215.5x10 22t21解: 由题意可得：A=0,-4A B=B BAB=、B=0、B=-4或B=0,-41） 当B=时有<0即(2(a+1)-4a-1<0 22()解得a<-12） 当B=0或B=-4时有=0即(2(a+1)-4a-1=0 22()解得a

10、=-12代入原方程有x=0解得x=0（合题意）解得3） 当B=0,-4时则有0+(-4)=-2(a+1)20(-4)=a-1解得a=1综上可得a的取值范围为aa-1或a=1*2解: ()先用数学归纳法证明0<an<1,nN.（1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即0<ak<1.则当n=k+1时, 因为0<x<1时,f'(x)=1-1x=>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数. x+1x+1又f(x)在0,1上连续,所以f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-ln2<1.

11、 故当n=k+1时,结论也成立. 即0<an<1对于一切正整数都成立.4分又由0<an<1, 得an+1-an=an-ln(1+an)-an=-ln(1+an)<0,从而an+1<an. 综上可知0<an+1<an<1.6分 x2x2+ln(1+x)-x, 0<x<1, ()构造函数g(x)=-f(x)= 22x2>0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 由g'(x)= 1+x因为0<aa2nn<1,所以g(an)>0,即2(>0,从

12、而aa2-fann)n+1<2.10分() 因为 b11=2,b121)bbn+1n+1(n+n,所以bn>0,n+1bn2,所以bn=bnbbn-1b b2b11nn! , 12分n-1n-2b122由()aann+1<2,知:an+1a<an, 所以ana=a2a3an<a1a2 an-1 ,n21a1a2an-1222因为a1=, n2, 0<an+1<an<1. 所以 aa1a2an12a211n<22 an-12a1<2n-1<2n=2n . 14分由 两式可知: bn>ann!.16分 5（1）a19(10nn

13、=-1)10n+29(10n-1) (2分 )=19(10n-1)(10n+2)=(10n-13)(10n-13+1)(4分)记：A =10n-13 , 则A=33 3为整数n 个 an= A (A+1) ， 得证 ( 6分) a19102nn=+1910n-29 (8分)S129+104+102n)+12n2n=(109(10+10+10)-9n (2)=1(102n+2+1110n+1-198n-210)(12分) 89113.解：（1） an+1=2an+1，an+1+1=2(an+1)2分 故数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列。3分an+1=2n，an=2n-14分（2） 4b

14、1-14b2-14b3-1 4bn-1=(an+1)bn，4(b1+b2+ +bn-n)=2nbn5分 2(b1+b2+ +bn)-2n=nbn2(b1+b2+ +bn+bn+1)-2(n+1)=(n+1)bn+1得2bn+1-2=(n+1)bn+1-nbn，即nbn-2=(n-1)bn+18分 (n+1)bn+1-2=nbn+2得2nbn+1=nbn+nbn-1，即2bn+1=bn+bn-19分 所以数列bn是等差数列（3） 1111111分 =n+1<n+1=an2-12-22an-1设S=11111111111，则S<+ +(+ +)=+(S-) a2a3an+1a22a2a

15、3ana22an+1S<21212-=-<14分 a2an+13an+134 3a18、解：（） S1=(a1-1),a1=a, a1aa当n2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1, a-1a-115、a1=1；a=an=a，即an是等比数列 an=aan-1=an； 4分 an-12（）由（）知，bn=a(an-1)(3a-1)an-2a，若bn为等比数列， +1=nnaa(a-1)3a+23a2+2a+2,b3=, 则有b2=b1b3,而b1=3,b2=aa23a+223a2+2a+21)=3故(，解得， 7分 a=aa231再将a=代入得bn=3n成立， 31所以a= 8

16、分 32113n3n+11n+=+（III）证明：由（）知an=()，所以cn= 1n1n+13n+13n+1-131+()1-()333n+1-13n+1-1+111=n+n+1=1-n+1+n+1 3+13-13+13-111=2-(n-n+1)， 9分 3+13-111111111由n<n,n+1>n+1得n-n+1<n-n+1, 3+133-133+13-1331311所以cn=2-(n-n+1)>2-(n-n+1)， 12分 313-133111111从而Tn=c1+c2+ +cn>2-(-2)+2-(2-3)+ 2-(n-n+1) 3333331111

17、11=2n-(-2)+(2-3)+ +(n-n+1) 333333111=2n-(-n+1)>2n- 3331即Tn>2n- 14分 319、解：（I）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列， 所以(2+c)=2(2+3c)，解得c=0或c=2当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2 4分（文6分） （II）当n2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c， 2an-an-1=(n-1)c，所以an-a1=1+2+ +(n-1)c=n(n-1)c。 2又a1=2，c=2，故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2，3， )当n=1时，

18、上式也成立，所以an=n2-n+2(n=1，2， )8分（III）bn=32n-2-3n-1+2, a-1(a1-1),a1=0, aaa当n2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1,a-1a-125解：（） S1=bn+1=9. 12分nbnliman=a，即an是等比数列 an=aan-1=an； 4分 an-12（）由（）知，bn=2a(an-1)(3a-1)an-2a，若bn为等比数列， +1=anan(a-1)3a+23a2+2a+2,b3=, 则有b2=b1b3,而b1=3,b2=aa23a+223a2+2a+211)=3故(，解得，再将代入得bn=3n成立， a=a=2aa33

19、1所以a=3113n3n+11n+=n+n+1（III）证明：由（）知an=()，所以cn= 113+13-13nn+11+()1-()333n+1-13n+1-1+11121=n+n+1=1-n+1+n+1=2-(n-n+1)， 3+13-13+13-13+13-111111111由n<n,n+1>n+1得n-n+1<n-n+1, 3+133-133+13-1331311所以cn=2-(n-n+1)>2-(n-n+1)，3-13-133111111从而Tn=c1+c2+ +cn>2-(-2)+2-(2-3)+ 2-(n-n+1)333333111111111=2

20、n-(-2)+(2-3)+ +(n-n+1)=2n-(-n+1)>2n-3333333331即Tn>2n-14分334（本小题满分14分） 解：（1）由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2) a15，a25 a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列 5分（2）由（1）得an12an5·3n 由待定系数法可得(an13n1)2(an3n) 即an3n2(2)n1 故an3n2(2)n13n(2)n 9分2（3）由3nbnn(3nan)n3n3n(2)nn(2)n，bnn(3n 2222 令Sn|b1|b2|bn|32(323(33n(3)n22222 3Sn(322(33(n1)(3nn(3n1 11分22n1(3)1222232n2n+132n+12n2n+1得3n3(3(3)(3)n(3n()21()n(23331322 Sn61(3n3n(3n+16要使得|b1|b2|bn|m对于nN恒成立，只须m6 14分40、解：（1）令x=111的f()= 22411111n-1) 令x=得f()+f(1-)=f()+f(nnn2nn1n-1)+f(1) （2）an=f(0)+f()+ +f(nnn-11)+ +f()+f(0)，两式相加 又an=f(1)+f(nn1n-12an=f(0)+f(1)+f()