数学建模第六队

1、2008全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的

2、话）： 第六队 所属学校（请填写完整的全名）： 兰州理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王荣 2. 杨莉 3. 王宝 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 黎锁平 潘铮荣 洪小波 日期： 2008 年 9 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 数码相机定位问题的数学模型和计算摘要：本文提出了一种通过数码相机所摄照片上的特征点的像素坐

3、标（用Matlab程序通过计算二值化图形加权平均获得），准确确定特征点在像平面坐标系中实际位置的数学模型和算法；利用问题1中所建模型和算法有效计算出了问题2中靶标上圆的圆心在给定像平面上的像坐标A(-49.7334，51.6901)，B(-23.4710,49.7221)，C(33.5608，45.4232)，D(18.5747, -31.4994)，E(-60.0581，-31.1789)。又在所给靶标上不同圆的像边缘取若干采样点，设计了一种客观的模型验证方法，利用所建模型求得这些采样点在靶标上对应点的位置和相关距离等理论指标，与给定的半径和边长等实际指标分析比较，验证了本文所建模型和算法具

4、有良好的精度与稳定性。最后在问题1所建模型的基础上，给出了一种有效利用靶标标定两部固定相机相对位置的数学模型与方法，较好的解决了数码相机的系统标定问题。关键词：数码相机定位 靶标 像坐标 数学模型一、问题重述交通监管等方面广泛应用的数码相机定位技术，常用双目定位，即用两部相机来定位【1，2】。若知道两部相机精确的相对位置，就可得到物体上特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标【2，3】。为得到两部相机的相对位置，在物平面上画若干个圆（称为靶标），其圆心为几何点，通过相机照相得像点，利用像点几何关系得两相机相对位置。考虑到靶标的像一般会变形，须从靶标上圆的像中精确找出其圆心。现有靶标如下，正方形边长

5、为100mm,分别以四个顶点（对应为A、B、C、D）为圆心，12mm为半径做圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图1所示：图1 靶标示意图 用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示：图2 靶标的像利用以上资料解决如下问题：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在相机像平面的像坐标, 其中坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2）对图2、图3，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。相机的像距是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；（3）设计一种方法检验所建模型，并对方法的精度和稳定性进

6、行讨论；（4）建立用靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、模型假设1） 相机的焦距保持恒定不变；2） 两相机的光轴平行；3） 两相机的物理参数相同。三、符号说明 V：像距光学中心到像平面的距离。：焦距光学中心到焦点的距离；：特征点在像平面上的像坐标；：特征点成像的像素坐标；：特征点的像在像平面的坐标；：射线绕Y轴摆动到面内所形成的角度；：射线在面内转到与轴重合所形成的角度；：两相机间相对位置。四、问题分析与求解由于相机依凸透镜成像原理成像【3】，因此对数码相机视觉系统建立坐标系,其中原点为凸透镜的光学中心，为光轴，平面平行于像平面。坐标系建立在像平面上，且与共线，实物与其成像位于透

7、镜两侧，通过对称关系将其化为同侧，则空间实物、其在像平面上成像关系如图3所示。则在坐标系下坐标即为其在像平面的像坐标。 图3 点与成像关系对应图（一）问题1的数学模型和算法 在如下图所示的坐标系中（坐标的单位长度为像素），确定靶标上圆的像的几何中心及其在图3所示像平面上的坐标，算法如下： 1）将相机分辨率为m×n拍摄的靶标上圆的像（图4）进行二值化转换【5，6】；2）将二值化图形导入Matlab程序中得到二进制矩阵,其中。3）编程统计计算矩阵中所有0（白点）值点x，y坐标的均值，所求值即为靶标上圆的像的几何中心。其Matlab计算程序如下【6】：totalx=0;totaly=0;p

8、=0; for x = 1:m for y = 1:n if H(x,y) = 0O totalx = totalx+x; totaly =totaly+y; p = p+1; end end endpsx=totalx/ppsy=totaly/p4） 将几何中心转换为像平面坐标系中的坐标，即：在获得特征点在像平面上的投影后，靶标上圆的圆心在像平面坐标系中绝对位置坐标可计算如下：首先求射线到光轴在视觉空间的位置差（，）,等价于将摆动角度到面内，使点移动到点；再在面内旋转线角度，使点移动到，最终使与轴重合。此时在坐标系中的坐标为由旋转关系可得【4】：并且。式中 ；下标。化简上式可以得到下列方程组

9、：根据以上条件解上述方程组可得：则靶标上特征点在像平面坐标系中像坐标（绝对位置）为：（二）问题2的解决及结果 本节对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆 A、B、C、D、E的圆心在像平面上的像坐标。依据靶标上圆 A、B、C、D、E的像的相互位置关系，在（一）的Matlab计算程序中，对x、y取赋值范围x = 147:232，y = 280:365运行程序可得圆A的像的几何中心：psx =189.2287，psy =322.5792赋值x = 151:237，y = 381:464，可得靶标上圆 B的像的几何中心：psx=196.6423, psy =42

10、2.6556赋值x = 174:252, y = 602:677,可得靶标上圆 C的像的几何中心： psx =212.8426，psy =639.6065 赋值x = 469:536，y = 547:618，可得靶标上圆 D的像的几何中心：psx =502.6915，psy =582.4110赋值x = 465:538，y = 243:324，可得靶标上圆E的像的几何中心： psx =501.4840，psy =284.3511 oo由平移关系获得靶标上圆 A、B、C、D、E的圆心在像平面上的像坐标为：其中坐标单位为像素。利用问题2中的模型，可计算靶标上圆A的圆心

11、在像平面上的坐标（单位为mm）：， ，同理可求得靶标上B、C、D、E圆的圆心在像平面上的坐标，即：A(-49.7334，51.6901)，B(-23.4710,49.7221)，C(33.5608，45.4232)，D(18.5747, -31.4994)E(-60.0581，-31.1789)。（三）问题3的解决-模型检验方法和精度稳定性讨论1）分别在靶标上不同圆的像边缘取若干采样点，统计其像素坐标；2）利用问题1的模型算法，计算上述采样点在像平面上的像坐标及其对应靶标上的点；3）计算与靶标上对应圆心的距离，将求得的距离与靶标上给定圆A、B、C、D、E的半径（12mm）作比较，结果如下表所示

12、。采样点坐标（像素点）圆心的坐标(mm)与相应圆心的距 离(mm)采样点坐标（像素点）圆心的坐标(mm)与相应圆心的距 离(mm)（188,282）A(-49.7334,51.6901)10.6535(500,549)D(18.5747, -31.4994)8.8416（203,361）10.6909(535,574)8.8639（151,309）10.6979(514,612)8.3489（230,326）10.8468(474,603)9.3698（173,392）B(-23.4710,49.7221)10.1631(490,249)E(-60.0581，-31.1789)9.8455（1

13、57,429）10.6636(529,257)10.1982（190,462）10.4916(507,322)10.0529（224,449）10.0085(476,314)10.2981（188,615）C(33.5608,45.4232)9.2725（176,647）9.9505(250,637)9.8804(215,675)9.3329计算结果表明：由采样点对应求得的靶标上的点均落入靶标上半径为12mm的圆内（与相应圆心的距离均小于12mm）。另外采用同样的计算方法得出，靶标上圆A、B、C、D、E的像素坐标对应在像平面坐标系中所标定出的位置获得的相关距离AB=26.3360mm（<

14、30mm）, AC=83.5296mm(<100mm), CD=78.3688mm(<100mm), DE=78.6335mm(<100mm), AE=83.5097mm(<100mm)均不超过图2靶标上实际给出数值。说明本文提出的模型和算法能够通过靶标的像的情况准确标定出靶标上特征点的位置，模型具有良好的精确度和稳定性。（四）问题4的解决两部固定相机相对位置的模型与方法在已知靶标中抽象出一空间实物点，由人的双目确定物体位置获得启示，两焦距相同的数码相机观察同一时，两相机的像平面处于同一平面，则垂直于像平面的两光轴平行（如下图所示）。其中X轴通过光学中心， , 设为坐标

15、原点, , 分别为在两像平面中的相点。以光学中心为坐标原点，光轴方向为轴建立坐标系- ，以光学中心为坐标原点，光轴方向为轴建立坐标系-，则在坐标系下的坐标为（），在坐标系下的坐标为（）。利用射影几何学可得如下数学模型： 两式相减得： 同理可得： 其中与在像平面中的坐标为和，和分别为像素的列间距和行间距，由于两相机参数相同，并且列间距和行间距基本相同。化简得： ，则解得两相机相对位置： 其计算方法如下：1）从靶标中抽象出实物点，则其位置坐标（）确定。2）由在问题一中建立的模型，可求得点在两相机像平面中的坐标分别为和。3）和分别表示数码相机光轴与像平面的交点所在的行和列数，通常位于图像的中心，通过计算机扫描计算可得其值。4）由式 求得，问题获解。五、 结束语本文所提出的通过数码相机所摄照片上的特征点的像素坐标，准确确定特征点在像平面坐标系中具体位置的数学模型和算法，成功计算出了问题2中靶标上圆A、B、C、D、E的圆心在给定像平面上的像坐标。通过把模型理论计算结果指标与实际给定的半径和边长等指标对比分析，验证了本文所建模型和算法具有良好的精度与稳定性。所给出的利用靶标标定两部固定相机相对位置的数学模型与方法，较好的解决了数码相机的系统标定问题。模型建立和问题的解决充分利用了题目所给的实际数据和各类资料，理论推导清