数学建模山猫问题

1、2010年全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号

2、的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 07月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：山猫数量的变化及趋势一、摘要本问题假设100只山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%， 0.55%和-4.50%，根据单一控制变

3、量原理，排除山猫出现迁入和迁出现象，环境条件不随时间变化，山猫没有受到大的自然、人为灾害，是在自然条件下的结果，在此基础上，通过模型的建立对山猫数量在不同自然环境下逐年变化的研究，考虑在捕获山猫时山猫的灭绝问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，对其他动物的研究，可类似于山猫问题处理，因而有着广泛的应用。针对问题1、2，我们可建立指数模型，在指数模型中，建立山猫数量与时间（年份）的关系（指数函数关系），画出变化图形，即可解决问题1。对于问题2，通过指数多项式函数的建立，在不同的捕获数量下，根据函数的变化趋势，我们可判断山猫是否会灭绝，这样可防止过度捕获而引起的物种灭绝问题，同时进行适当的捕获，

4、也可最大限度的利用资源针对问题3，通过建立指数模型和微分方程建模，分析函数数据变化可得，在人工繁殖的条件下，可将山猫的数量稳定在某数值左右，即山猫的数量变化率接近0，这可应用到生产中，给人工繁殖提供一个可行的方案，使山猫数量稳定于一定值，有效地控制山猫的数量，同时，对其他动物的研究，可类似于山猫问题处理，因而有着广泛的应用关键词：山猫数量 指数模型 微分建模 二、问题重述 动物数量逐年变化的研究，在动物保护、人工繁殖、饲养方面都有着广泛的应用。我们主要通过对山猫数量逐年变化的研究，将山猫在不同自然环境下25年的数量变化图示化，考虑在捕获山猫时山猫的灭绝问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，使

5、山猫数量稳定于一定值。对其他动物的研究，可类似于山猫问题处理，因而有着广泛的应用。 具体问题如下：某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%， 0.55%和-4.50%，假设开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势。(1)3种自然环境下25年的变化过程(作图)(2)如果每年捕获3只，会发生什么情况? 山猫会灭绝吗?如果每年只捕获1只呢?(3)在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只?三、模型的假设1.在一定区域（一个森林）范围内，山猫没有出现迁入和迁出现象。2.山猫在较好、中等及较差的自然环境条件，不随时间变化

6、而改变3.在一段时间内山猫没有受到大的自然、人为灾害4.山猫在较好、中等及较差的自然环境条件下的每年平均增长率不随时间而发生改变 四、 模型的建立与求解问题1山猫山猫在较好、中等及较差的自然环境条件下的每年平均分别为1.68%， 0.55%和-4.50%，可以得知在25年的变化函数应是指数变化，分别为y1=100(1+0.0168)x,y2=100(1+0.0055)x,y3=100(1-0.045)x,利用MALLAB可画出山猫在3种自然环境下25年的变化过程(作图)x=0:1:25; y1=(1+0.0168).x)*100;y2=(1+0.0055).x)*100;y3=(1-0.045

7、).x)*100; plot(x,y1,'*r',x,y2,'*b',x,y3,'*k'); legend('较好','中等','较差'); xlabel('时间t轴'); gtext('y1轴);gtext('y2轴');gtext('y3轴'); title('双坐标曲线')山猫25年的变化过程图问题22.1：每年捕获三只，则山猫在较好的自然环境下数量变化：第一年，y1=100*(1+1.68%)-3；第二年，y2=100*

8、(1+1.68%)2-3*(1+1.68%)-3；第三年，y1=100*(1+1.68%).3-3*(1+1.68%)2-3*(1+1.68%)-3;第x年，y1=100*(1+1.68%).x-3*(1-1.0168.x)/(1-1.0168);依此，中等及较差的自然环境下数量变化分别为y2= 100*(1+0.55%).x-3*(1-1.0055.x)/(1-1.0055); y3=100*(1-4.5/100).x-3*(1-(1-0.045).x)/0.045;用matlab做出M文件程序如下：hold on;x=0:1:25;y1=100*(1+1.68/100).x-3*(1-1.

9、0168.x)/(1-1.0168);plot(y1,'r*');y2=100*(1+0.55/100).x-3*(1-1.0055.x)/(1-1.0055);plot(y2,'b.');y3=100*(1-4.5/100).x-3*(1-(1-0.045).x)/0.045;plot(y3,'k:');legend('较好','中等','较差');变化如图示：由图示知，在捕获3只的情况下，三种自然环境下都在下降，其中较差环境已濒临灭绝。2.2:如果每年只捕获1只，分析同上，建立模型如下：第一年，

10、y1=100*(1+1.68%)-1；第二年，y2=100*(1+1.68%)2-(1+1.68%)-1；第三年，y1=100*(1+1.68%).3-(1+1.68%)2-(1+1.68%)-1;第x年，y1=100*(1+1.68%).x-(1-1.0168.x)/(1-1.0168);依此，中等及较差的自然环境下数量变化分别为y2= 100*(1+0.55%).x-(1-1.0055.x)/(1-1.0055); y3=100*(1-4.5/100).x-(1-(1-0.045).x)/0.045;利用MALLAB编写的程序为：x=0:1:25;y1=(1+0.0168).x)*100+

11、(1-(1+0.0168).x)/0.0168;y2=(1+0.0055).x)*100+(1-(1+0.0055).x)/0.0055;y3=(1-0.045).x)*100-(1-(1-0.045).x)/0.045;plot(x,y1,'*r',x,y2,'*b',x,y3,'k.');legend('较好','中等','较差');xlabel('时间t轴');ylabel('山猫数量');gtext('y1轴');gtext('y2轴&

12、#39;);gtext('y3轴');title('双坐标曲线')函数曲线图如下：分析曲线图得：每年捕获一只，在较好条件下，山猫的数量还是呈上升趋势，而中等条件下的山猫的数目开始呈下降趋势，短期内不会有灭绝的危险，时间长也会灭绝，在条件差的山猫数量的下降幅度更大，有灭绝的危险，而且会较快的灭绝。问题3.在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，设每年需人工饲养的山猫数为a,则y3=100*(1-4.5%).x+a*(1-(1-0.045).x)/4.5%;在t年以后山猫数量逐渐稳定在60只左右，那么山猫增长率就为0，即x>=t时，y3=60;

13、Dy3(t)=0。用MATLAB作M文件程序如下；Syms a t x;y3=100*(1-4.5%).x+a*(1-(1-0.045).x)/4.5%;solve(y3(t)=60,x=t, Dy3(t)=0)计算得a=2.7(只)。稳定趋势如图；由于在实际生活中a只能取整数，故对a=2或a=3再进一步讨论。进一步校正如下：a=2时;y3函数如图：由图示显然不满足数量稳定于60，故a=2不合适。a=3时；y3函数如图：由图取a=3,即每年人工繁殖需3只才更合适，使得在较差环境下山猫数量稳定在60只左右。五、模型改进1. 在考虑捕获山猫对其的灭绝问题时，可不必单独对捕获1、2或3只考虑，而应对捕获m只一般性考虑，编写程序在不同数量评价的标准n的情况下，并输出相应的“灭绝”、“骤减”等更详细的结果。2. 在判断物种是否濒临灭绝时，能相应的再考虑怎样具体的保护该物种不致灭绝，建立合理化的模型，给出合理的方案，是可以进一步研究的课题。例如，改善物种的生活环境，人工繁殖等等。3. 在建立模型解需人工繁殖多少只来稳定物种