D6.2.4一个方程所确定的隐函数及其导数

1、本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程),(0),(00yxyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数0)(,(

2、xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则 解 设F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.则由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x). yxFFdxdyyx 00 xdxdy yxFFdxdyyx 例例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值. 32221yy

3、yxydxyd32221yyyxydxyd 1022xdxyd 32221yyyxydxyd 例例2. 已知方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxx则xyFy cos求xyddyxFF xy cosyex0ddxxy 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx定理定理2 .2 .若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFF

4、yzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(000zyx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在例例3. 设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2x

5、z222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导解法解法2 利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFzzxFFxz xz例例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解解 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()

6、(2221zyzxFF 已知方程故二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数 在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y). 例如, 方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数 事实上, 能否根据原方程组求uu(x, y), vv(x, y)的偏导数？ 22yxyu 22yxxv 2222yxxyxyyxv2222yxxyxyyxv xuyv0 yv0 uyxv1uyxxyu1uyxxyu22yxyu 隐函数存在定理隐函数存在定理3 设设),(vuyxF),(vuyx

7、G在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0,),(0000=vuyxF),(0000vuyxG0=且偏导数所组成的函数行列式且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）（或称雅可比式）vuvuGGFFvuGFJ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 :的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件, ),(000yxuu ),(000yxvv ),(),(1vx

8、GFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P34-P35)xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系数行列式222111

9、cybxacybxa解解: :22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元线性代数方程组解的公式同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例例5. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有 zxFyFy0zFz fx)1 (y例例6. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddx