2020版【5年高考3年模拟】高考新课标版理数6.4数列求和、数列的综合应用

1、曲一线让每一位学生分享高品质教育6.4 数列求和、数列的综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题不例考向关联考点1.数列求和掌握非等差、等比数列求 和的几种常见方法.能在具体的问题情境中 识别数列的等差关率成等2017 课标 I ,12,5 分数列求和等比数列的前n项和公式的应用2017 课标 II ,15,5 分裂项相消法求和等差数列基本量的 计算比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题2015 课标 1,17,12 分裂项相消法求和递推关系式及等差 数列的通项公式2.数列的 综合应用2016 课标 II ,17,12 分数列的综合应用取整函数分析解读1.会用

2、公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分，难度中等.破考点考点一数列求和1 .(2017湖南郴州第一次教学质量监测，6)在等差数列an中,a4=5,a7=11.设1=(-1) n an,则数列b n的前100项之和S100=()A.-200B.-100C.200D.100答案 D2 .(2018 湖北东南省级示范高中联考，15)已知 S为an的前n项和，若an(4+cosn 兀)=n(2-cos n 兀)

3、，贝U S88等于.答案 2 3323 .(2018 江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考，13)若an,b n满足anbn=1,an=n2+3n+2,贝Ubn的前 2 018 项和为.答案考点二数列的综合应用1 .(2018福建漳州期末调研测试，5)等差数列an和等比数列bn的首项均为1,公差与公比均为3,则 +=()A.64B.32C.38D.33答案 D2 .(2017陕西西安铁一中第五次模拟 ，9)已知数列a n满足an=log(n+1)(n+2)(n C N),我们把使 乘积a1a2a3an为整数的数n叫做优数”，则在区间(1,2 004)内的所有 优数”的和为()A.1 0

4、24B.2 003C.2 026D.2 048答案 C3 .已知an=3n(n N),记数列a n的前n项和为Tn,若对任意的nC N*,- k用n-6恒成立，则实数k的取值范围是 .答案 kA炼技法【方法集训】4 法1错位相减法求和1 .(2018 福建闽侯第八中学期末,16)已知数列nan的前n项和为S,且an=2n,则使得S-na n+1+50<0的最小正整数n的值为.答案 52 .(2018河南安阳第二次模拟，17)设等差数列an的前n项和为 Sn,点(n,S n)在函数f(x)=x 2+Bx+C-1(B,C C R)的图象上，且 aC.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn=

5、an(- +1),求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)设数列an的公差为d,贝U S=na1+d=-n2+- n,又Sn=n +Bn+C-1,两式对照得解得-所以ai=1,所以数列an的通项公式为 an=2n-1(n C N). (2)由(1)知 bn=(2n-1)(22n-1-1+1)=(2n-1)2贝UTn=1X2+3X 2 2+- +(2n-1) 2n,2Tn=1 X 2 2+3X 2 3+- +(2n-3) 2n+(2n-1) 2n+1, 两式相减得 Tn=(2n-1) 2n+1-2(2 2+-+2n)-2-=(2n-1) 2n+-2X-2 -=(2n-3) 2n+1+6.方法2裂项

6、相消法求和1.（2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考，3）数列 _的前2017项的和为（）15 / 15A. +1B. -1C. +1D. -1答案 B2.（2018湖南邵阳期末，15）设数列（n 2+n）a n是等比数列，且a-,a 2=-,则数列3 nan的前15 项和为.答案 一3.（2017 广东潮州二模，16）已知Sn为数列an的前n项和，a n=2 3n-1（n C N*）,若bn=，则 b1+b2+- +bn=.答案过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一数列求和1.（2017课标n,15,5分）等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10，则一二 答案2.（2

7、015 课标 1,17,12 分）Sn为数列an的前 n 项和.已知 an>0,+2%=4S+3.（1）求an的通项公式；（2）设bn=,求数列b n的前n项和.解析（1）由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.Pj 彳导 - +2（a n+1-a n）=4a n+1,即 2（a n+1 +an）=- =（a n+1+an）（a n+1-a n）.由3n>0, 以an+1-an=2.又由 +2a1=4a1+3，解得a1=-1（舍去）或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差 数列，通项公式为an=2n+1.（6分）（2）由an=2n+1可知 bn=.设数歹U

8、b n的前n项和为 Tn,贝UTn = b1 +b2+-+bn=-_+ + =.（12 分）思路分析（1）由+2an=4Sn+3,得+2an+1=4Sn+1+3，两式相减得出递推关系，再求出a1,利用等差数列的通项公式可得通项.（2）利用裂项相消法求Tn-.考点数列的综合应用1.（2017课标1,12,5 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大,其中第一项是20,接下家学习数学的兴趣，他们推出了 解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下 面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,来的两项是20,2 1,再接下来的

9、三项是20,2 1,2 2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前 N项和为2的整数哥.那么该款软件的激活码是 （）A.440B.330C.220D.110答案 A2.（2016课标n,17,12 分）Sn为等差数列an的前n项和，且a=1,S7=28.记bn=lg an,其中冈表示不超过x的最大整数，如0.9=0,lg99=1.（1）求 b1,b 11,b 101;（2）求数列b n的前1 000项和.解析 （1）设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以a n的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b 11=lg 11=1,b 101=lg

10、101=2.（6 分）（2）因为bn=（9分）所以数列bn的前 1 000 项和为 1X90+2X 900+3X 1=1 893.(12 分)思路分析(1)先求公差，从而得通项an,再根据已知条件求b1,b 11,b 101.(2)分析出bn中项的规律，进而求出数列bn的前1 000项和.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一数列求和1.(2018天津,18,13分)设是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn(n C N*),b n是等差数列.已知 a1,a 3=a2+2,a 4=b3+/,a 5=b4+2b6.(1)求an和bn的通项公式； *(2)设数列Sn的前n项和为Tn(n £

11、 N).(i)求 Tn;、_ *(ii)证明 =2(n C N).解析 (1)设等比数列an的公比为q.由a1=1,a 3=a2+2，可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故 an=2n-1.设等差数列bn的公差为 d.由 a4=b3+b5,可得 b1+3d=4.由 a5=b4+2b6,可得 3b1+13d=16, 从而b1=1,d=1,故bn=n.所以，数列a n的通项公式为an=2n-1,数列b n的通项公式为bn=n.(2)(i)由(1),有 $=2n-1,故 Tn=- =n=2 n+1-n-2. 、一 一 -(ii) 证明：因为=,以,= - + - + =2.2.(20

12、16山东,18,12 分)已知数列an的前n项和 $=3n2+8n,b n是等差数列，且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令Cn=,求数列c n的前n项和Tn.解析 (1)由题意知，当n或 时,an=$-Sn-1=6n+5.当n=1时,a i=Si=11，所以an=6n+5.设数列b n的公差为d.由即可解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1.(2) 由 (1) 知 Cn= =3(n+1) 2n+1.又Tn=C1+C2+- +Cn,得Tn=3X 2 X 2 2+3X 2 3+- +(n+1) X2 n+1,2T n=3X2 X 2 3+3X 2 4+- +(n+1)

13、 X2 n+2,两式作差，得-Tn=3X 2 X 2 2+23+24+T2n+1-(n+1) X2 n+2=3 X -=-3n 2n+2. 所 以-Tn=3n 2n+2.考点二数列的综合应用1 .(2015 福建,8,5 分)若a,b是函数f(x尸x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案 D2 .(2018 浙江,20,15 分)已知等比数列an的公比q>1,且a3+a4+%=28,a 4+2是a3,a 5的等差中项.数列b n满足b1=1,数列

14、(b n+1-b n)a n的前n项和为2n2+n.求q的值；(2)求数列b n的通项公式.解析 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得 a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a+4=28，解得 a4=8.由 a3+a5=20 得 8- =20，解得 q=2 或 q=,因为 q>1,所以 q=2.(2)设 Cn=(b n+1-b n)a n,数列C n的前 n 项和为 S.由 Cn=解得 Cn=4n-1.- - -由(1)可知 an=2 ，所以 bn+1-b n=(4n-1) -,故 bn-b n-1 =(4n-5) - ，n 或，bn-b 1 =(b n-b n-1 )+

15、(b n-1-b n-2)+ +(b 3-b 2) + (b 2-b 1)=(4n-5) -+(4n-9) -+-+7 -+3.设 Tn=3+7-+11 - +- +(4n-5) - ，n 或，-Tn=3 -+7 -+- +(4n-9) -+(4n-5) -，所 以-Tn=3+4-+4 - +4 -(4n-5) 一 ,因此 Tn=14-(4n+3) 一 ,n 或，又 b1=1，所以 bn=15-(4n+3) -.C组教师专用题组考点一数列求和1 .(2017天津，18,13分)已知an为等差数列，前n项和为a(n C N*),b n是首项为2的等比数列，且公比大于 0,b 2+b3=12,b

16、3=a4-2a 1,Sn=11b4.(1)求an和bn的通项公式；*(2)求数列a 2nb2n-1的前n项和(n C N).解析 (1)设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q.由已知 b2+b3=12，得 b1 (q+q 2)=12,而 b1=2，所以 q2+q-6=0,解得 q=2 或 q=-3,又因为 q>0,所以 q=2.所以,b n=2n.由 b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=162)，联立，解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.所以，数列a n的通项公式为an=3n-2,数列b n的通项公式为bn=2n.(2)

17、设数列a2nb2n-1的前 n 项和为 Tn,由 a2n=6n数,b 2n-1=2X4 n-1,有 a2nb2n-1=(3n- 1)X4n,故 Tn=2X4+5X4 2+8X4 3+- +(3n- 1) X4n,4Tn=2X4 2+5X4 3+8X4 4+- +(3n- 4) X4 n+(3n- 1) X4n+1, 上述两式相减，得-3Tn=2X4+3X4 2+3X3 3+-+3X4 n-(3n- 1) X4 n+1=-4-(3n- 1)X4 n+1=-(3n- 2) X4 n+1-8. -得 Tn=X4n+1 +所以,数列a2nb2n-1的前n项和为 X4 n+1+.方法总结(1)等差数列与

18、等比数列中有五个量a1,n,d(或q),a n,Sn, 一般可以 知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解.(2)数列an是公差为d的等差数列,b n是公比q力的等比数列，求数列anbn的前n项和适 用错位相减法.2 .(2015湖北,18,12分)设等差数列an的公差为d,前n项和为S,等比数列bn的公比为q.已知 b1=a1,b 2=2,q=d,S 10=100.求数列an,b n的通项公式；(2)当d>1时，记Cn=一,求数列c n的前n项和Tn.解析(1)由题意有，即. .一 -解得 或 _故或-(2)由 d>1,知 an=2n-1,b n=2n

19、-1,故 cn=,于是 Tn=1+-+"+,-=_+_+_+_+_+.-可得Tn=2+-+-=3,故 Tn=6-.3.(2015 天津,18,13 分)已知数列an满足an+2=qan(q为实数，且q力),n a2+a3 ,a 3+a4,a 4+a5 成等差数列.(1)求q的值和a n的通项公式；(2)设bn=,n N,求数列b n的刖n项和.-解析(1) 由已知，有(a3+a4)-(a 2+a3)=(a 4+a5)-(a 3+a4),即 a4-a 2=a5-a3,所以 又因为 q力，故 a3=a2=2,由 a3=a1 q,得 q=2.当 n=2k-1(k C N)时，a n=a2k

20、-1=2k1 = 时，a n=a2k=2 =. -所以,a n的通项公式为an=为奇数-为偶数(2) 由(1) 得bn= . 设 bn 的前 n 项- -S=1X -+2X -+3X -+- +(n- 1) x+nx ,"Sn=1 x +2x +3x + +(n- 1) x+nx ,上述两式相减 ,得一Sn=1+-+ + +=2,整理得,S n=4.-所以，数列bn的刖n项和为4-,n N.4.(2014 江西,17,12 分)已知首项都是1的两个数列an,b n( anbn+1-a n+1bn+2bn+1bn=0.(1)令Cn=,求数列C n的通项公式；(2)若bn=3n-1,求数

21、列a n的前n项和Sn. .一.*、解析 (1)因为 anbn+1-a n+1bn+2bn+1bn = 0,b n 4(n C N),所以二2,即Cn+1-C n=2.所以数列Cn是以1为首项,2为公差的等差数列_ * 一C N,a 1=1,a2=2,且a2(q-1)=a 3(q-1).-*一;当 n=2k(k 6 N)和为Sn,则*_n 0,n C N)满足,故 Cn=2n-1.前 n 项和(2)由(1)及 bn=3n-1 知 an=Cnbn=(2n-1)3 n-1,于是数列an E$=130+331+5 32+T(2n-1)3n-1,3S n=131+332+-+(2n-3) 3n-1+(

22、2n-1)3n,相 减 得-2Sn=1+2 (31+32+ T3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3 n,所以 $=(n-1)3 n+1.5.(2014山东，19,12分)已知等差数列an的公差为2,前n项和为S,且S,S 2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn=(-1) n-1,求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+一X2=2a1+2,3=4a+x 2=4a1+12,所以由题意得(2a 1+2) 2=a1(4a1+12),解得 a1=1，所以 an=2n-1.(2)b n=(-1) n-1=(-1) n-1当n为偶数时，Tn=

23、- - - - + =1=.当n为奇数时，TI )入Tn +-、+ + '+ ' =1+为奇数所以Tn=或为偶数考点二数列的综合应用1.（2018 江苏,14,5 分）已知集合 A=x|x=2n-1,n N*,B=x|x=2 n,n C N*.将 AU B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a n.记Sn为数列a n的前n项和，则使得S>12an+1成立的n的最小值为.答案 27 2.（2018江苏,20,16分）设但口是首项为a1,公差为d的等差数列，bn是首项为b,公比为q的等比数列.（1）设a0,b 1=1,q=2,若|an-bn|小对n=1,2,3,4 均成立，

24、求d的取值范围；（2）若 a1=b1>0,m C N*,q C （1,证明：存在 d C R,使得 |a n-b n| <b 对 n=2,3，,m+1 均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）.n-1解析 (1)由条件知an=(n-1)d,b n=2 .因为|a n-b n|巾对n=1,2,3,4 均成立,即1局,14制3 <2d洵7 <3d割得-qw.因此,d的取值范围为- -.(2)由条件知：a n=b1+(n-1)d,b n=b1qn-1.若存在d C R,使得|a n-bn|为1(n=2,3,m+1)均成立，即 |b 1+(n-1)d-b 1qn-11 而

25、1(n=2,3,m+1).即当n=2,3，,m+1时,d满足一b1汨vb1. -因为qC (1,所以1<qn-&Z,-从而二b1, 一b1>0,对 n=2,3,m+1 均成立.因此，取d=0时,|a n-b n|41对n=2,3,m+1均成立.-下面讨论数列 的最大值和数列一的最小值(n=2,3,m+1).-当2珀葡时，=,当 1<qw-时，有 qn<qm或，从而 n(qn-qn-1)-q n+2>0. -因此，当2母力+1时，数列 一单调递增， -故数列 的最大值为 . -设 f(x)=2 x(1-x),当 x>0 时，f '(x)=(ln

26、2-1-xln 2)2 x<0.所以f(x)单调递减，从而f(x)<f(0)=1.当 2 珀小时，-=<- =f - <1.一因此，当2珀力+1时，数列一单调递减， -一故数列的最小值为一. -因此,d的取值范围为.3.(2015安徽,18,12分)设nC N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标 (1)求数列x n的通项公式；(2)记Tn=,证明：Tn*.解析 (1)y'=(x 2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2.从而切线方程为 y-2=(2n+

27、2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标 xn=1=.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知-Tn= -当 n=1 时,T 1=-当 n或时，因为 = =>=.所以 Tn> _ x_x_x X 一=.-综上可得对任意的nC N*,均有Tn二.4.(2015陕西,21,12分)设fn(x)是等比数列1,x,x 2,xn的各项和，其中x>0,n N,n皮.证明：函数Fn(x)=f n(x)-2在-内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=+-；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x),比较f n(x)和gn(x)的大小，并

28、加以证明.解析 (1)证明：Fn(x)=f n(x)-2=1+x+x 2+-+xn-2,则 Fn(1)=n-1>0,Fn 一 =1+-+ - + - -2=2=-<0,所以Fn(x)在-内至少存在一个零点.又F'n(x)=1+2x+ +nxn-1>0,故Fn(x)在- 内单调递增，所以Fn(x)在-内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)=0,即2=0,故人=+-.(2)由题设知,g n(x)=.设 h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x 2+-+xn,x>0.当 x=1 时，fn(x)=g n(x).当 x月 时,h

29、9;(x)=1+2x+ +nxn-1.若 0<x<1,则 h'(x)>x n-1 +2xn-1 + -+nxn-1 xn-1=xn-1-xn-1 =0.若 x>1,贝U h'(x)<x n-1+2xn'1 + -+nxn'1-xn-1n-1n-10所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,+ 8)上递减，所以h(x)<h(1)=0,即fn(x)<g n(x).综上所述,当 x=1 时，fn(x)=g n(x)；当 x力时，f n(x)<g n(x).5.(2015 重庆,22,12 分)在数列an中,a1=3,an+

30、1an+入 an+1+科 =0(n N+).若入=0,(1 =-2,求数列an的通项公式；(2)若 入=(k0e N+,k 0或)，科=-1,证明：2+<<2+.解析 (1)由入=0=-2，得an+1an=2(n C N+).若存在某个n° C N+,使得=0,则由上述递推公式易得 _ =0.重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，所以对任意n N+,a n用.从而an+1=2an(n C N),即an是一个公比q=2的等比数列.故 an=a1qn-1 =3 2n-1.(2)证明：若入=_,科=-1,则数列an的递推关系式变为an+1 an+ an+1-=0,变i形为

31、 an+1 = (n N N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>>an>an+1>，, >0.因为 an+1=an+- 1,所以对 n=1,2，,k 0求和得=a1+(a 2-a 1)+ ,+(-)=a1 -k 0 -+ >2+ =2+.个另一方面，由上已证的不等式知 a1>a2>- >>>2,得=a1-k 0 "*, <2+ =2+.个综上,2+<<2+.【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共30分）1 .（2019届江西抚州七校高三10月联考，11）已知数列an的前n项

32、和为S,且满足ai=a2 = 1,Sn=an+2-1,则下列命题错误的是（）A.a n+2=an+1+anB.a 1+a3+a5+ +a99=aooC.az+a4+a6+ +a98=a99DS+S2+S3+.+S98=S10b100答案 C2 .（2019 届山西太原高三阶段性考试，10）已知集合 P=x|x=2 n,n C N*,Q=x|x=2n-1,n N*,将PU Q中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an,记S为数列an的前n项和，则使得S<1 000成立的n的最大值为（）A.9B.32C.35D.61答案 C3 .（2018福建厦门第一学期期末质检，7）已知数列an满足an

33、+1+（-1） n+1an=2,则其前100项和为（）A.250B.200C.150D.100答案 D4 .（2018 河北衡水中学八模,8）已知函数f（x）=a x+b（a>0,且a力）的 图象 经过点P（1,3）,Q（2,5）. 当nCNh4,an=，记数列an的前n项和为 Sn,当Sn时,n的值为（）A.7B.6C.5D.4答案 D5 .（2018四川南充模拟,11）设数列an的前n项和为Sn,已知a,a n+1=则-S2018 等于（）A.B.-C.D.一答案 B、口一，一, 心y、，、，- 为奇数rs6 .（2018百校联盟TOP20三月联考，12）已知数列an的通项公式为 an=则数-为偶数列3an+n-7的前2n项和的最小值为（）A. -B.C.D.答案 D二、填空题（每小题5分，共15分）7 .（2019届山西太原高三上学期阶段性考试,15）在数列an中,a i=1,a n=an-i（n或），记，为数列一的前n项和，若$二一，则n=.答案 498 .（2018安徽皖南八校第三次联考，16）已知数列an的