原子物理学习题课

1、原子物理学习题第一章原子的核式结构1.选择题：(1)原子半径的数量级是：CA. 10 10cm;B.10-8mC. 10-10mD.10-13m(2)原子核式结构模型的提出是根据a粒子散射实验中DA.绝大多数口粒子散射角接近180口B0粒子只偏23*C.以小角散射为主也存在大角散射D.以大角散射为主也存在小角散射(3)进行卢瑟福理论实验验证时发现小角散射与实验不符这说明：DA.原子不一定存在核式结构B.散射物太厚C.卢瑟福理论是错误的D.小角散射时一次散射理论不成立(4)用相同能量的a粒子束和质子束分别与金箔正碰，测量金原子核半径的上限.问用质子束所得结果是用a粒子束所得结果的几倍？BA. 1

2、/4B .1/2C . 1D. 2(5)动能EK=40keV的a粒子对心接近 Pb(z=82)核而产生散射，则最小距离为(m): DA.5.9 10,° B.3.0 10,2C.5.9 10-12D.5.9 1015(6)如果用相同动能的质子和笊核同金箔产生散射，那么用质子作为入射粒子测得的金原子半径上限是用笊核子作为入射粒子测得的金原子半径上限的几倍？CA.2B.1/2C.1D .4272.简答题：(1)简述卢瑟福原子有核模型的要点.(2)简述a粒子散射实验.口粒子大角散射的结果说明了什么？(3)为什么说实验证实了卢瑟福公式的正确性，就是证实了原子的核式结构？(4)普朗能量子假说的

3、基本内容是什么？与经典物理有何矛盾？(5)为什么说爱因斯坦的光量子假设是普朗克的能量子假设的发展(6)何谓绝对黑体？下述各物体是否是绝对黑体？(a)不辐射可见光的物体；(b)不辐射任何光线的物体；(c)不能反射可见光的物体；(d)不能反射任何光线的物体；(e)开有小孔空腔.3.计算题：(1)当一束能量为4.8Mev的久粒子垂直入射到厚度为 4.0X 105cm的金箔上时探测器沿 20° 方向上每秒记录到2.0X 104个a粒子试求：仅改变探测器安置方位，沿60。方向每秒可记录到多少个 a粒子？若u粒子能量减少一半，则沿20。方向每秒可测得多少个 a粒子？a粒子能量仍为4.8MeV,而

4、将金箔换成厚度的铝箔，则沿20。方向每秒可记录到多少个a粒 子？(p 金=19.3g/cm3 p 铅=27g /cm3； A 金=179 ,A 铝= 27,Z 金=79 Z 铝=13)22221 nZe2S'/r21 aZe2S'/r2解：由公式dN'二 Nnt() (-) = Nnt()() 4 二；0Mv2 sin4Q/2)4 二；02E-. sin4Q/2)当6 =60叩寸，每秒可纪录到的 “粒子dN'2满足:dN'2sin4(-1 /2)sin410dN'i44sin4(i2/2) sin4 30= 0.01455dN'2 =0.

5、01455dN'i = 0.01455 父2 父104 = 2.909 x 102 (个) 由于 dN's 1/E2,所以 dN'3=4dN'1 = 8x104(个)由于dN'oc nZ2,故这时：dN'4 _ n,Z： _ NaZ/A 10学 =2 =23dN'1 nZNa：iZ"A 10224Z4 Ai2.7 13 1974dN'4 = -41dN'1 =2父2父10 = 553(个)RZi A19.3 79 27(2)试证明：a粒子散射中a粒子与原子核对心碰撞时两者之间的最小距离是散射角为900时相对应的瞄

6、准距离的两倍.证明：由库仑散射公式：b=L2Ze_cot?,当日=90口时，cot3 = 1,这时bnZZer4二；0 MV0224二；0 MV0而对心碰撞的最小距离：2 =2b证毕。1 2Ze2 rd 1 n 1 2Ze22 1 ' =24二；0 Mv0sin(u/2)4二；0 Mv0 葩的逸出功为1.9eV,试求：(1)葩的光电效应阈频率及阈值波长；(2)如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多大波长的光照射？12解:(1)由爱因斯坦光电效应公式一 mv0 = hv -w知，葩的光电效应阈频率为2,.01.9 1.6 10,96.63 10型= 4.585 1014(Hz)阈

7、值波长：,0=£、03 108. _144.585 1014= 6.54 101m)(2)12_-19h：,=n -mv0 =1.9eV 1.5eV =3.4eV =3.4 1.6 10 J 2c hc 6.63 100 3 1087/ 故：，=一=3.656 10 (m)h、3.4 1.6 10(4)动能为0.87MeV的质子接近静止的汞核(Z=80)，当散射角日=冗/2时,它们之间的最小距离 是多少？解：最小距离为：1 Ze2rm24 0 rnipv。11 ：-sin(2)1 Ze242Ep1sin("2)_ 9二9 10.13= 1.60 10 (m)80 612 0

8、.87 106 1.6 10 sin 45(5)口粒子的速度为1.597父107 m/s ,正面垂直入射于厚度为10-7米、密度为1.932父104 kg/m 3的金箔。试求所有散射在0> 90 0的一粒子占全部入射粒子的百分比。金的原子量为197。解：金原子质量 Mau = 1971.66 10-27 kg = 3.2710-25 kg箔中金原子密度N = PMau =5.91 乂 1028个/m3入射粒子能量E = 1/2 MV 2 = 1/2 4 1.66 10-27 kg (1.597 107 m/s)2 = 8.47 10-13 J若做相对论修正E = E0/(1-V2/C2)

9、"2 = 8.50 10-13 J对心碰撞最短距离a=Z1MZ2Me2/4K启E0ME =.=4.28父10-14 m.2-4一22 1= = 8.50 x 10 %n2 45。sin2 90 3Nta百分比 dn/n (90 J180 )=4(6)能量为3.5MeV的细ot粒子束,射到单位面积质量为1.05 x 10-2 kg/ m2的银箔上，如题图所L= 0。示。&粒子与银箔表面成 60o角，在离&入射线成0 =20o的方向上，离银箔散射区距离12米处放一窗口面积为6.0 X 10-5m2的计数器。测得散射进此窗口的a粒子是全部入射ot粒子的百分之29,若已知银原

10、子量为 107.9，试求银的核电核数 Z。解：银原子质量：银箔有效质量厚度：=0.01 kg/m 2 cos30 = 0.0115 kg/m2有效单位面积上的银原子数：Nt= M/MAg = = 6.45父1022个/m2计数器立体角：d'J = S/r2 = 6.0 10-5 m2/ (0.12 m)2 = 4.17 10-3dC 与 dO 之间的关系：dQ = S/r2 = (2nr sin功 x (rxd0) / r2 = 2jisin0d0微分散射截面de =0 cos2-d13。dsin -22=a16d' 14Tsin 22=0.2866 a百分比 dn/n = N

11、tA dc/A = Nt d。= 29/106所以 dc = 4.49610-28即 Z 二.ZAge2 /计算得 ZAg = .=a = 3.96 10-14 m(4 二；0 E) = a = 3.9610-14 m48约等于实际值47第二章玻尔氢原子理论1 .选择题：(1)若氢原子被激发到主量子数为n的能级，当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：BA. n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n(2)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为:A.R/4 和 R/9 B.R 和 R/4 C.4/R 和 9/R D.1/R 和 4/R(3)氢原子赖曼系的线系限

12、波数为R,则氢原子的电离电势为：DA. 3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e(4)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是:A. 13.6V 和 10.2V; B - 13.6V 和-10.2V; C.13.6V(5)由玻尔氢原子理论得出的第一玻尔半径a0的数值是:和 3.4V; D. -13.6V 和-3.4VBA.5.29 父1010 m B.0.529 X 10-10m C. 5.29 X 10-12mD.529 X 10-12m(6)根据玻尔理论，若将氢原子激发到n=5的状态，则：AA.可能出现10条谱线，分别属四个线系C.可能出现11条谱线，分别属5个线系

13、B.可能出现D.可能出现9条谱线，分别属3个线系1条谱线，属赖曼系(7)欲使处于基态的氢原子发出H 线，则至少需提供多少能量(eV) ?BA.13.6B.12.09C.10.2D.3.4(8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动，按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ BA.1B.6C.4D.3(9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系组成.为获得红外波段原子发射光谱，则轰击基态氢原子的最小动能为：DA .0.66 eV B.12.09eVC.10.2eVD.12.75eV(10)用能量为12.7eV的电子去激发基态氢原子时，受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几 条光谱线(不考虑自

14、旋)；AA. 3B.10C.1D.4(11)有速度为1.875 M106 m/s的自由电子被一质子俘获，放出一个光子而形成基态氢原子，则光子的频率(Hz)为:BA. 3.3父1015；B24M1015 ；C.5.71015；D21M1016.(12)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：CA.1/10 倍 B.1/100 倍 C .1/137 倍 D.1/237 倍(13)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的“正电子素”那么该“正电子素”由第一激发态跃迁时发射光谱线的波长应为：CA. 3R8/8B.3 Rc/4C.8/3 R%D.4/3 %(14)

15、电子偶素是由电子和正电子组成的原子，基态电离能量为：CA.-3.4eVB.+3.4eVC.+6.8eVD.-6.8eV(15)根据玻尔理论可知，氨离子He+的第一轨道半径是：CA. 2a0B. 4a°C. a0/2D. a0/4(16)假设氨原子(Z=2)的一个电子已被电离，如果还想把另一个电子电离，若以 eV为单位 至少需提供的能量为：AA. 54.4B.-54.4C.13.6D.3.4(17)在He+离子中基态电子的结合能是：BA.27.2eVB.54.4eVC.19.77eVD.24.17eV(18)夫一赫实验的结果表明：BA电子自旋的存在； B原子能量量子化C原子具有磁性；D

16、原子角动量量子化(19)夫一赫实验使用的充气三极管是在：BA.相对阴极来说板极上加正向电压，栅极上加负电压；B.板极相对栅极是负电压，栅极相对阴极是正电压；C.板极相对栅极是正电压，栅极相对阴极是负电压；D.相对阴极来说板极加负电压，栅极加正电压(20)处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发后，其轨道半径增为原来的CA. 4 倍 B.3 倍 C.9 倍 D.16 倍2 .简答题：(1) 19世纪末经典物理出现哪些无法解决的矛盾？(2)用简要的语言叙述玻尔理论(三方面)，并根据你的叙述导出氢原子能量表达式.(3)波尔理论的核心是什么 ？其中那些理论对整个微观理论都适用？(4)为什么通常

17、总把氢原子中电子状态能量作为整个氢原子的状态能量？(5)为什么氢原子能级，随着能量的增加，越来越密？(6)处于n=3的激发态的氢原子(a)可能产生多少条谱线 ？(b)能否发射红外线？(c)能否吸收红外线？(7)要确定一个原子的状态，需要哪些量子数？(8)解释下述的概念或物理量，并注意它们之间的关系：激发和辐射；定态、基态、激发态和 电离态；能级和光谱项：线系和线系限；激发能，电离能；激发电位、共振电位、电离电位；辐 射跃迁；自发辐射；受激辐射；受激吸收。3 .计算题：1)对于氢原子、一次电离的氮离子He+和两次电离的锂离子Li2+,分别计算它们的：(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上

18、的速度；(2)电子在基态的结合能；(3)第一激发电势及共振线的波长。e2186解：(1) He ： v1 = Z =acZ =x 3x 108 x 2 = 4.38x106(m/s)4二；0137Z 1 一一8 .一一 一 6v1 - - c = 3 101=2.19 10 (m/s)21371-1-一、r1=a10.0530.0265(nm)Z222c cue4r2=a1=0.053=0.106(nm)Z22+Li : v1186=cZ = 3 103= 6.57 10 (m/s)137Z v1 - - c - 2= 3.285 106 (m/s)1_ 8=3 1081371 1r1 =a1

19、0.0530.0177(nm)Z322 V 4 八八、r2 -a1 = 0.0530.0708(nm)Z3(2)电子在基态的结合能等于把电子从基态电离所需要的能量:对于对于E 二 E:： -E1 : hcRHZ2 : hcRHZ2 He+有：AE=hcRH 22 = 54.56 (eV) Li2+有：EE h hcRH 32 =122.76(eV)iZ2 Z23Z2(3) E2 -E1 =hcRH(-)=hcRH 124，一 +3 22对于 He 有：E2 - E1 =hcRH = 3hcRH =3 13.6 = 40.8 (eV)4所以He+的第一激发电势为 40.8V_2一2 一3 322

20、7对于 Li 有：E2 - E1 =hcRH =一 父 13.6 = 91.8 (eV)44所以Li2+的第一激发电势为 91.8V.共振线波长：j . = hc =0.30 10，(m)=30nm He E2 - E13hcRHKLihcE2 - E14hc27hcRH= 0.135 10'(m) =13.5nm2) 一次电离的氮离子 He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基态的氢原子电离,从而放出电子，试求该电子的速度。解：He+所辐射的光子能量：八2八2H =40.8eV22.E = E2 - E1 = hcRH ()= 3hcR12氢原子电离所需要的能量为E

21、9;*-E'i =13.6eV ,所以，放出的电子动能为Ek =40.8 13.6 =27.2eV ,速度为:v2 27.2 1.6 109.1 103= 3.093 106 m/s3)已知动能为91.8eV的电子恰好使某类氢离子由基态激发至第一激发态，试问该类氢离子是什么 ？现以动能为110eV的电子激发该基态离子，试问可得到几条谱线 企些谱线的波长各为多少 ？(不 考虑精细结构)工Z2 Z2 3Z2r4. E 4 91.8 -解:由 E = E2 - E1 = hcRH (-2- 一 -2) =hcRH，得：Z3122243hcRH. 3 13.6所以该类氢离子是 Li2+. E1

22、 = -hcRHZ2/12 = -13.6 9 = -122.4eV_2_2_ E2 - -hcRHZ /2 =-30.6eVE3 - -hcRHZ2/32 - -13.6eV_ _ 22E4 - -hcRHZ /4 - -7.65eV110eV 的由于 E3 -Ei =108.8eV <110eV 和 E4 巳=114.84eV >110eV，所以动能为电子能将Li2+激发至n=3的激发态，可得三条谱线，波长分别为：hcE2 -E16.63 10-4 3 10891.8 1.6 109= 1.354 104mhcE3 - Ei6.63 10* 3 108108.8 1.6 104

23、9= 1.1426 10'mhcE3 -E26.63 10& 3 10817 1.6 109= 7.3125 10，4)已知氢和重氢的里德伯常数之比为量与电子质量之比.0.999728，而它们的核质量之比为 mH/mD=0.50020.计算质子质解:1由RH = R如和RD'1me / mH1-R0c知:1 me/mDRh _ 1 me / mDRd 1me / mH1 0.50020me/mH1 me/mH=0.999728解得：mH /me = 1836.55)当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时，(1)试求这个氢原子所获得的反冲速度是多大？(2)试估

24、计氢原子的反冲能量与所发光子能量之比8解：(1)放出的光子的动量：p=* =处=1.632 100= 5.44 x10?(kg m/s)c 3 10p.p5 44 10口由动量守恒定律得氢原子的反冲速度为 ：v = "=上 =5m3 3.26( m/s)mHmH1.67 10(2)反冲能量EkH2Ph2 mH2p2mH(5.44 10 4)22 1.67 10.= 8.87 10%)h、= E2 - E1 = (13.6-3.4)eV = 1.632 10“8J显然 EkH /hv = 8.87 -10=5.435x10- 可见反冲能量是可以忽略不计的1.632 10-8课后习题1题

25、：试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。解:221 eme v4二;0 r2 r21所以 meV =4二；2 e = 2E1 =27.2 eV = 43,5710-19 J0 rv = 2.187 106 m/sf = v/2 二r = 2.187106 m/s / 6.28 0.529 10-10 m = 6.5831016 HZa = v2/r = 9.051022 m/s22题：试由氢原子里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势解：电子经电势差为 U的电场加速后，若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子电离 则U称为该原子的电离电势；若它得到的动

26、能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子激发到 第一激发态，则U称为该原子的第一激发电势 .Z2由 En = -hclR , n =1,2,，对于基态氢原子，Z=1, n由 E.E1 =hcEH =6.63 10 "34 3 108 1.097 107J=13. 64eV得电离电势为 13.64 V,13由E2 - E1 =hcEH(12) =13.64eV =10.23eV224得第一激发电势为10.23V.3题：能量为12.5eV的电子射入氢原子气体中，气体将发出哪些波长的辐射？113.6eV /口斛： 由 En = - hcRH 2 = 一2,得n nEi = -13.6eV ,

27、E2 = -3.4eV , E3 = -1.51eV , E4 = -0.85eV ,而 E2 - Ei =10.2eV <12.5eV , E3 Ei =12,09eV <12.5eV,但E4 - Ei =12.75eV >12.5eV ,所以气体将发出以下三种波长的辐射:hcE2 -E16.63 10. 3 108_ _ Z 1910.2 1.6 10= 1.2188 101m)hcE3 - Ei6.63 103 3 10812.09 1.6 10,9= 1.028 10(m)hcE3 -E26.63 10® 3 108.19(3.4-1.51) 1.6 10=

28、 6.5774 10，(m)4题：估算He离子、Li离子第一"玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线的波长分别与氢原子上述物理量之比。解：类氢离子能级能量En = -hcRAZ2/n2-hcRHZ2/n2n = 1,2,3,.轨道半径 rn = a1n2/Z电离能 Eionization = (E 二-Ei ) = hcRHZ第一激发能:Eexcitation =E2 - Ei = 3/4 hcRHZ2赖曼系第一条谱线的波长'=hc/(E2-E1) = 4/(3RhZ2)因此：第一玻尔轨道半径比1 : 2和1 : 3电离电势比4 : 1和9 : 1第一激发电势

29、比4 : 1和9 : 1赖曼系第一条谱线波长比1 : 4和1 : 95题：从Li2+离子第一激发态向基态跃迁时所发光子是否可以使 处于基态的He+离子电离？解：类氢离子能级能量：En = -hcRZ2/n2n=1,2,3题中Li 2+离子中出射光子能量E = E2 - Ei = 9/4 hcR = 91.8 eV使 基态He+离子电离所需能量 Eion = Eg- E(1) = 2 hcR = 54.4 eV9/4 > 2,故能使电离。6题；氢与其同位素笊混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。问 巴耳末系的第一条谱线(Ha)之间的波长差心、,有多大?已知 Rh = 10967758 m

30、 Rd = 10970742 m-1解：巴耳末系满足1/九=R (1/4 - 1/n2)n = 3, 4, 5, 6,对于谱线Ha , n=3, 1/Xa= 5R/36 ,?= 36/5RMH) MD) = 36/5 (1/R h - 1/Rd) = 36RD-RH) = 1.7856 A5RdRh7题：已知一对正负电子绕共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的电子偶素。试计算其 第一激发态向基态跃迁时放出光子的波长。解：m1 = m2 = m质心系中 r = r1 + r2 r1 = r2 = r/2 v1 = v2 = v运动学方程 ke2/r2 = 2mv2/r (1)角动量量子化条件

31、：m1 v1 r1 + m2 v2 r2 = mvr = n ? (2)22<e,、口4 二；0 n -(1)和(2)联立解得：r=2_n(3)e m /2把(1)代入=-Ke2/2r从运动学角度求取体系能量的表达式E = E k+Ep = 1/2 m1 v1 2 + 1/2 m2 v2 2 Ke2/r = mv2 Ke2/r (3)代入(4)中24En2 二(m/2)22 e = 1/2 En (H) = - 13.6 eV/2n(4二0) n hE2 E1 = = 5.1 eV(2-；1)=hc/E(2)-E(1) = 2433 A11题：在史牛I恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子

32、束通过不均匀横向磁场，磁场梯度为cB/cz=103 T/m ,磁极纵向范围 L1 = 0.04 m (习题图2-1),从磁极到屏距离L2 = 0.10 m ,原子速度 v =500 m/s。在屏上两束分开的距离d = 0.002 m。试求原子磁矩在磁场方向上投影Nz大小。磁场边缘的影响忽略不计。解：原子通过 L1和L2的时间t1 = L1/v , t2 = L2/v通过L1时段 原子受力fz = Pzx cB/c,方向因Rz方向的不同而不同，或者向上或者向下。Z方向原子的加速度az = fz/m刚脱离磁场时刻 原子Z方向的瞬时速度vz = azM t1原子在 Z方向的偏转位移d/2 = 1/2

33、工az父t12 + VzM t2代入数值计算得z = 1.007b = 9.335 10-24 J/T第三章量子力学初步1 .选择题：(1)为了证实德布罗意假设,戴维孙一革末于1927年在馍单晶体上做了电子衍射实验从而证 明了： BA.电子的波动性和粒子性B.电子的波动性 C.电子的粒子性D.所有粒子具有二象性(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：BA.E=h u , p= ; B. E=co , P=在M ； C. E=hu , p=;D. E=o , p=为使电子的德布罗意假设波长为 100埃，应加多大的加速电压： DA. 11.5/10%;B.24.4V;C.24.4M 105V;D.0

34、.015V12.25(4)基于德布罗意假设得出的公式九= ?的适用条件是：CNA.自由电子，非相对论近似；B.一切实物粒子，非相对论近似;C.被电场束缚的电子，相对论结果；D带电的任何粒子，非相对论近似(7)按量子力学原理，原子状态用波函数来描述 数n时，对应的状态数是：CA. 2n; B.2n+1; C.n 2; D.2n 2(8)按量子力学原理 的状态数为：DA.n2; B.2n; C.(9)按原子力学原理状态数为：AA.2(2 l +1); B.2(10)按量子力学原理 数为：B,原子状态用波函数来描述l ;D.2 l +1,原子状态用波函数来描述l +1; C. n; D.n,原子状态

35、用波函数来描述.不考虑电子自旋，对氢原子当有确定主量子.不考虑电子自旋，对氢原子当nl确定后，对应.考虑电子自旋，对氢原子当nl确定后，对应的2.考虑自旋对氢原子当 nlm确定后对应的状态A.1;B.2;C.2l +1; D. n2 .简答题(1)波恩对波函数作出什么样的解释？(2)何谓定态？定态波函数具有何种形式？(3)波函数满足标准条件是什么？写出波函数的归一化条件(4)微观粒子的状态用什么来描述？为什么？(5)按照光的波动说，光强与什么成正比？按照光的粒子说，光强度又与什么成正比 ？怎样才能 把这两种学说联系起来 ？(6)何谓定态？解定态问题的方法和步骤是什么？3 .计算题:(1)电子和

36、光子各具有波长 0.20nm,它们的动量和总能量各是多少？解：由德布罗意公式'=h/p,得：一一一 44h 6.63 10 J s2p电=p光 =一 =Z9= 3.315父 10 kg m/s0.20 10 mhc248-16 ,£光=hv =p光 c=3.315M10 父3M10 =9.945父10 (J)九2 22 424.221631216. 2E电=p电cm0c = (3.315 10 )310(9.1 103 10 )=；9.89 101 6.7076 10 勿=8.19 10"4(J)(2)葩的逸出功为1.9eV,试求：葩的光电效应阈频率及阈值波长；(2

37、)如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多大波长的光照射？解:由爱因斯坦光电效应公式 1mv2 = hv w知例的光电效应阈频率为2_ w 1.9 1.6 10,9一 h 一 6.63 10-4一14= 4.585 10 (Hz)(2)阈值波长：c 3 108八、0 = =14 = 6.54 10 (m)04.585 101412 一一 一一一一 一 一一 一 一-19h. =wmv0 =1.9eV 1.5eV = 3.4eV = 3.4 1.6 10 J2身 c hc 6.63 10 国 3 1087/ 、故：,=19一 =3.656 10 (m)、h、.3.4 1.6 10(3)室温

38、(300K)下的中子称为热中子.求热中子的德布罗意波长 ？ 解：中子与周围处于热平衡时，平均动能为：- 33_23-21；=kT = 1.38 10300 =6.21 10 J ： 0.038eV22其方均根速率：v=符.垂蓼二2700m/s由德布罗意公式得:6.63 10”Pn_27mnv 1.67 102700= 0.15(nm)(4)若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度为多大？(2)其相应的德布罗意波长是多少？222.解：(1)由题思知， Ek =mc m0c = m0c ,所以2_ 2m0C2mc = 2m0c=,1 -v2/c2(2)由德布罗意公式得:h _ h

39、 _ h p mv 2m0vh _6.63 10443m0c- 3 9.1 成 3 108= 1.4 1042(m)求归一化常数 A;又若一粒子在一维无限深势井中运动，已给中(x) = Asin nx/a , 中(x) =Ax (a -x) , A= ?,粒子在何处几率最大？解：由归一化条件，在粒子可能出现的空间发现粒子的总几率等于1,因此:二：a 2 . 2 -x ,a 八21-cos2二x/a2zx a . 2二x、画(x) dx = A sin -dx = A dx = A (一 sin)|0，二0 a 022 4二 a2_=A a/2 =1彳导:A = 2/a,(x) = . 2/a

40、sin-：x/a .=A25a1 30同理，若中(x) =Ax (a -x),由归一化条件可得：2 22 , a 2 2 , 222, 13 2 2a 415、aAx (a - x) dx = 0Ax (a -2ax x )dx = A(gxa - - x -x )0则 A30/a5 ,邛(x) = J30/a5x(a-x).粒子出现几率最大处对应：f (x)2' =d?(x)|2/dx = 0, ,22 ,2 23.4、右 d x (a -x) J d(x a -2ax x )22. 3有 =2xa - 6ax + 4xdxdx易求得 x = a/2 (由波函数的连续性，x=0，或x

41、=a两个解舍去) 所以，粒子在x = a/2处出现的几率最大.2经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波波长？用该电压加速的质子束，其德布罗意 波波长？解：非相对论下估算电子的速度：1/2 mo v2 = 10000 eV = moc2 1/2 (v/c)2 = 511 keV 1/2 (v/c)2 所以 v =20% cc 故 采用相对论公式计算加速后电子的动量更为妥当。加速前电子总能量 E° = m0c2 = 511 keV力口速后电子总能量 E = m0c2 + 10000 eV =521000 eV用相对论公式求加速后电子动量p,E2-m0 2c4 c1 101587

42、 eV,2714410000000 -261121000000eV ;cc6 .h hc 1.241 10 eV m10电子德布罗思波长h= =0.1222 m 10 m= 0.1222 ?p 101587eV101587eV采用非相对论公式计算也不失为正确:h _ hp . 2m°Ek1.241 10 %V m.2 511keV 10000eV1.241 10-6m""5-1.011 10= 0.1227 ?计算。h2 1836 m0Ek3电子被加速后速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来电子的电子德布罗用该电压加速质子时，质子质量是电子质量的1836倍，质子速

43、度会更小。直接采用非相对论公式0.1227=0.00286 ?1836课后习题12 25意波长与加速电压的关系式应改为：Z = =5(1 -0.489x10v) (?)。其中V为以伏特为V单位的电子加速电压的数值。请证明之。证明：非相仑下： =华5 =2 p0为不考虑相对论而求出的电子动量，九0为这时求出的VPoh波长。考虑相对论效应后：九= 这里p为考虑相对论修正后求出的电子动量，九为这时求P出的波长。则, / 1 0=p0/p：.2m0Ek_5 2m°Ek_ c 2m°Ek_1LE2 m02c4、'(Ek+m0c2)2 -m02c4Je：+2m0c2EkJ_Ek

44、_ +1c: 2m0c2Ek =加速电势差父电子电量，如果以电子伏特为单位，那么在数值上即为V。.0 =1V2m0c2=，这里m°c2也以电子伏特为单位,1以保证该式两端的无量纲性和等式的成立。m°c2也以电子伏特为单位时，2 m°c2的数值为1022000。如果设想电子加速电压远小于1022000OPXA Y伏特，那么 V/2m 0c2远小于1。(注意，这个设想实际上与电子速度很大存在一点矛盾。实际上电子速度很 大，但是又同时不可以过大。否则，V/2m0c2远小于1的假设可能不成立)。设 y = 1 + V/2m oc2 = i+ . ：x, f(y)= ,y由

45、于Ax << 1 , f(y)函数可在y = 1点做泰勒展开，并忽略高次项。结果如下:开1.Vf( y) = 1 +| y 4 - - X = 1 + ( - 1 / 2) |y 4 -X= 1 -二X/2 = 1 -2y _3/2 y _4moC将moc2以电子伏特为单位时的数值511000代入上式，得f(y)= 1 一0.489 10 f V中12.25上因此 = -0 f(y)= (1 -0.489 10 V)5带电粒子在威尔逊云室的轨迹是一串小雾滴，线度约为1 Mm。当观察能量为 1000 eV的电子径迹时，其动量与经典力学动量的偏差不小于多少？解：经典力学动量准确可求，如

46、下：p=，2m有 ，这里m0为电子静止质量，Ek为电子动能，即 1000eV。而从量子力学层次考虑，根据不确定关系，该量是不能准确确定的。该量的不确定度满足ApMix之？/2。这里 氏 =1 Mm。所以.：p/p_?/2 (1/p) (1/.：x)=1.241 10 上 eV m12.562 511000eV 1000eV 10 m即 p/p _ 3 10-4 %7粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。即:-6=3 100 < x < L 时 V = 0; x < 0 和 x > L 时 V = V。(1)试推导粒子在 E < V0情况下 总能量E满足的关系式。V

47、(X)(2)利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量 E只能取 一些不连续的值。解答：以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维持原坐标不变；另一种为将横<V0定 坐标向右平移 L/2，即取x = x - L/2 ,在这个坐标系中，-L/21 x < L/2时V=0、在其它区间 V =V。V0 (1) E满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是I态问题，而且是一维的。先写出定态薛定谓方程的一般形式， 10Lx如下：- 2,2d u芯 2m dx24=Eu6在x > L和Axis<r0e区域,810V = V0,代入薛定渭方程并整理d2u dx22m(V0 -

48、E)-22m(V0 -E) 22设 一T-=k2,由题中 E < V0知道k2 > 0容易知道，上面薛定渭方程的通解在x < 0和x>L区均为:u =Axekx+Bxe”,其中 A、B为待定系数。因此 x < 0时，x > L 时， 在0 < x < L区域,（注意，这里不可以认为在 x < 0以及x>l时 无反射粒子。实际上，在该两区域，可以看成存在无穷多的连续势壁。这与教材势垒问题中 在x>L区间 势场恒等于零，不存在势壁并因此不存在反射粒子的情况完全不同。）利用波函数的有界性知道：x < 0时，如果 B丰0,那么x

49、- co时 波函数 趋于 无穷。所以在x < 0时B =0。类似道理x > L时，A = 0 。kxu = A e-kxu = B eV = 0。代入薛定渭方程中得,2d u 2mEdx2这里E > 0。、几 2mE 设 一y- -2上面薛定谓方程的通解为容易知道u = C sin( x 、)C和6为待定常数，且 0 <d < 2nC'和D'为待定系数或 u =C' cos( x) D' sin( x)或 u "C'' ei 'x D'' eJxC'和D'为待定系数三

50、个通解线性相关并等效。本次计算中，采用第一个通解。由定态薛定谓方程解得的波函数为:A待定ui = A ekxu2 = C s i n (x )c、a待定-kxU3 = B e各波函数在各自的适用区间中，满足B待定有界性和单值性。下面考察在整个区间的波函数连续性。由于在临界点两边的任何一侧，波函数不恒为零，所以波函数的连续性要求:du2/dx du3/dx 得和 3 二/2 < c. < 2 二x = 0处，ui =u2;du1/dx =x = L处，u2 =u3;du2/dx =将上述连续性条件应用于波函数A = C sin、Ak = C ： ； cos1：1Be-kL = C s

51、in(-L+、) -B k e kL = C : cos( L+、)进一步推导tan、.二1/ ktan(/.L+ -) = - /./ k由 tan6 = /J k > 0,得 0 < 6 < W2、 由 tan (九L+ 日=tan (- § 得L+ 6 = n - 6 即 6 = n N2 - L/2 =L .2mEn = 1,2, 3,tan c.、=arctan=arcsin (0 ：二、：二一)或 arcsin(-)(二：:、Vo2: Vo因此能量E满足的关系式为 0 < arcsinE n L . 2mE=< =/2Vo 22n=1,2,3,NiE、n或二 < arcsin( 一)= 二Vo2L 2mE2-< 3 二/2n= 3,4,5，.N22L、2mE / 其中 Ni = INTEGER( ，1)h2L 2mEN2 = INTEGER(h3)(2)图解法说明能量取值的不连续性设 0 < f i(x) = arc sinx <