命题与简易逻辑

1、K知识梳理命题与逻辑连接词；1 .用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题.其中判断为真的语句称为真用电再断为假的语句称为假命题2 .逻辑联结词“或” “且” “非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；3 .不含逻辑联结词的命题称为 ;有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成 “若p ,则q ”的形式;4 .含有逻辑联结词的命题称为 ,复合命题有三种形式,符号表示,通常复合命题的否定"p或q "的否定为“ p且q ”、“ p且q ”的否定为“p或q ”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等5

2、 .三种复合命题的真值表：(1) “p且q"：一假即假(2) “p或q"：一真即真(3) “非p”：真假相反6 .短语“对所有的”、“对任意一个”逻辑中称为全称量词，并用符号“ V ”表示。7 .短语“存在一个”、“至少有一个” 逻辑中称为存在量词，并用符号“ 三”表示。8 .含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题 .9 .全称命题形式：Vx M , p(x)；特称命题形式：永WM , p(x)其中M为给定的集合，特别提醒：全称命题p： VxWM , p(x)的否定p：三xWM ,p(x)；全称命题的否定为特称命题特称命题p：三xWM, p(x)的否

3、定p： VxWM ,*(x)；特称命题的否定为全称命题其中p(x)是一个关于x的命题。10、四种命题及关系；(1)如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么这两个命题叫互逆命题 .(2)如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的查且 和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题(3)如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的查上_和条件的否定 命题叫互否命题.特别提醒:(1)原命,那么这两个可以发现：题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示 ：(2)互为逆否命题的真假性是一致的,互逆命题或互否命题真假性没有关系.一般地，把条件 p的否定和结论q的否定，分别记为

4、，p”和， q”，则命题的四种形式可写为：原命题：“若p若q ”逆命题：“若q若p ”否命题：“若p是q"逆否命题：“若q是p”11 .充要条件；判断方法：(1)定义法:p是q的充分不必要条件 yprq p是q的必要不充分条件 y 4 P*q p =- qp = qp是q的充要条件 =< pr q p是q的既不充分也不必要条件a/p=?f qq= pp= q如果"若p则q"为真，记为p= q,如果"若p则q"为假，记为p=f q .若p=q,则p是q的充分,q是p的必要(2)集合法：设 P=p, Q= q, 若 P雯Q,则p是q的充分不必

5、要条件，q是p的必要不充分条件. 若P=Q _ ，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件). 若 P. Q且Q P, 则p是q的既不充分也不必要条件 .12 .用反证法证明的一般步骤是：(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确特别提醒:1、适宜用反证法证明的数学命题：(1)结论本身以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2.用反证法证明引出矛盾的四种常见形式：(

6、1)与定义、公理、定理矛盾.(2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.(三)例题分析：考点一。逻辑联结词与四种命题题型1。判断简单命题及真假例1下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？等腰直角三角形难道不是直角三角形吗？ ”；“平行于同一平面的两条直线必平行吗？ ” ；“一个数不是正数就是负数”；“今天的天气多好啊！” ；“ x+y为有理数，则x、y也都是有理数”；“作 MBCs Aabg” .一般地，陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题例2下列四个命题中，真命题的个数为()A(1)若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；(2)两条直线可以确定一个平面；(3

7、)若 MWot, MwP,o(np=l,则 M，；(4)空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。A.1B.2C.3D.4例3你能将把下列命题写成“若 p若q”的形式，弁判断其真假吗？(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.(4)弦的垂直平分线经过圆心,弁平分弦所对的弧.题型2( 1)逻辑联结词 “非”的含义例4写出下列命题 p的非(否定)。(1) p： 100既能被4整除又能被5整除(2) p：三条直线两两相交(3) p: 一元二次方程至多有两个解(4) p： 2 < x <3(5) “矩形的对角线相等”的

8、否定是 写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下:止面词语且小于(<)都是都不是至少n个至多n个否定词语或不小于()不都是至少有一是一个至多n 1个至少n+1个止面词语任意的所有的有无穷多个存在唯一的对任意p,使恒成立否定词语某个某些只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一立个p,使不成(2)命题的否定与命题的否命题的区别例5写出命题：“若 a Ab ,则a +1 >b +1 ”的否定与否命题，并加以区别。 (3)全称量词与存在量词例6：写出命题“若x >3,则x >5”的否定题型3.指出复合命题的形式及构成它的简单命题，

9、反之能写出“p或q” “p且q” “非p”形式的复合命题,判断复合命题的真假例7分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(1) 3是质数或合数.(2)他是运动员兼教练员.(3)相似三角形不一定是全等三角形.例8分别写出下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “非p”形式的复合命题：(1) p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除.(2) p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q :对角线互相平分的四边形是菱形.例9写出由下述各命题构成的“p或q”，“ p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。(1) p: 5是17的约数，q: 5是1

10、5的约数.(2) p：方程x21=0的解是x=1, q：方程x21=0的解是x= 1,(3) p：不等式x2 +2x +2 >1的解集为R, q：不等式x2 +2x + 2 <1的解集为 0题型4:判断命题是全称命题还是特称命题。判断全称命题或特称命题的真假例10判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数；(2)三角函数都是周期函数吗？(3)有一个实数x, x不能取倒数；(4)有的三角形内角和不等于180 例11设A、B为两个集合.下列四个命题：AB=对任意x G A,有x三B;馋五An B=。；AB= Az>B;A

11、74;存在x G A,使得x正B.其中真命题的序号是 .(把符合要求的命题序号都填上)题型5。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题例12写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题(1)若x2+y2 =0 ,则x,y全为0 .(2)若a +b是偶数，则a,b都是偶数.(3)若 x =3或 x =7 ,则(x 3)(x -7) =0题型6。四种命题间的关系，命题真假的判断例13若a、b、c6 R,写出命题"若 ac<0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断这三个命题的真假例14下列四个命题中真命题有哪几个？“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆

12、命题“面积相等的三角形全等”的否命题“若mrc 1,则方程x22x+m=0有实根”的逆否命题“若An B=B,则AQ B'的逆否命题例15你能判断下列命题的真假吗？(1)已知 a,b,c,d R R,若 a #c,或b #d,则a+ b #c+d.2(2)右m>1,则万程x 2x+m=0无实数根。题型7。由命题真假确定参数范围例16已知C >0.设命题P:函数y=cx在R上单调递减.；命题Q:不等式x+|x -2c |> 1的解集为 R,若P或Q是真命题，" P且Q'是假命题，求实数 c的取值范围.考点二充要条件及其判定题型1:利用定义作判断例 1在

13、 MBC中，“ sinA AsinB” 是 “ AB” 的A.充分而不必要条件C.充分必要条件.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件例2 .（1）已知h>0,设命题甲为:两个实数a、b满足a-b<2h,命题乙为：两个实数a、b满足a-1|<h|且b 1|<h ,那么A.甲是乙的充分但不必要条件 B .甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D .甲是乙的既不充分也不必要条件（2） .已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 （）A.充分不必'要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型2：从集合

14、思想或利用逆否命题判定例 3“ x-1 <2成立”是 “ x（x3）<0 成立”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C ,充分必要条件D.既不充分也不必要条件第J4 .指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）对于实数 x, y, p:x + y=8, q:x#2 或 y#6（2）在 AABC 中，p :sin A >sin B , q : tan A > tan B22(3)已知 x,yuR, p: (x1)2+(y 2)2 =0 , q :(x1)(y2) = 01例5若a, b

15、 = R ,则33 ap “x=2kn+：(kWZ)" q " tanx =1 "1,、，一八一一> 成立的一个充分不必要的条件是（b3a. ab 0 b. b a C. a ； b : 0 d. ab(a - b) : 0课后作业练习（1）1 .下列语句中命题的个数是（）地球是太阳系的一颗行星;own ； 这是一颗大树；x+a ；1+1 A2老年人组成一个集合；A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 .以下命题：二直线平行的充要条件是它们的斜率相等;2222过圆上的点（x0,y°）与圆x +y =r相切的直线方程是 x°x+y0

16、y = r ；平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；抛物线上任意一点 M到焦点的距离都等于点 M到其准线的距离。其中正确命题的标号是 o13 .命题 若 m>0,则m+，之2 的逆命题是 m.4 .命题“若a >b,则a 1 >b 1”的否命题是()a.若a Ab,则a-1 Mb-1 b.若a >b,则a-1 < b-1c.若a w b,则a1 Mb1 d. 若a <b,则a 一1 <b 15 .命题：“设 a、b、cw R ,若ac2 a bc2则a Ab”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A. 0 B . 1 C .

17、 2 D . 326 .命题：“若x <1 ,则1 <X <1的逆否命题是()A若 X 至 1,或X E 1 ,则 X2 之 1 B. 若一1 < X < 1 ,则 X2 < 1C.若 X >1,或X < 1 ,则 X2 >1 D. 若 X2 之1 ,则 X 至1,或X < -17 .判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题(1)中国的所有江河都流入太平洋；(2) 0不能作除数；(3)有一个实数a, a不能取对数；(4) 每一个向量都有方向吗？8 .设函数f (x)的定义域为R,有下列三个命题：若存在常数M使得又任意

18、xG R,有f (x) WM,则M是函数f (x)的最大值；若存在x°G R,使得又任意X G R,且X*X0,有f(X)V f(X0),则f (X0)是函数f (x)的最大值；若存在x°6 R,使得又任意XG R有f (X) Wf(X。)，则f(X。)是 函数f(X)的最大值.这些命题中，真命题的个数是A.0B.1C.2D.39 .下列全称命题中真命题为()A. 一次函数都是单调函数B.Vxw x/x是无理数, X23是有理数C.任何一条直线都有斜率d.vaWot,bo（,者B有ab10下列特称命题中假命题为 （）A.空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直B.仅存

19、在一个实数b2,使得-9,bi,b2,b3,-1成等比数列C.存在实数a, b满足a+b =2 ,使得3a +3b的最小值是62D. 3a = （-4,0, ax +ax1<0 恒成立11 .用反证法证明："已知 x、y 6 R, x+y > 2,求证x、y中至少有一个大于 1”.则所作的反设是12 .写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假课后作业练习（2）1函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02 . “a=1”是函数y=cos2ax sin2ax的最小正周期

20、为“兀”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件3 , “a+b>4 且 ab>4” 是 “ a>2 且 b>2” 的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 .若a,b是常数，则“ a >0且b2 4a <0”是“对任意x R,有ax2+bx + 1 > 0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8 条件q： f （x） =logtanax在（0,十整）内是增函数，则 p是q的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6 . AABC中 “ cosA =2sin BsinC ” 是 “ abc为钝角三角形”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要7 .函数f （x） =ax3+x+1有极值的充要条件是（）a. a 之0b. a > 0 c .aW0 d . a < 08 . “a =2” 是“函数f(x) = xa在区间2,收)上为增函数”的()A充分条件不必要B.必要不充分条件C.充