圆与相似三角形综合问题

1、b学生：科目：数 学教师：谭前富课题相似三角形和圆的综合提高教学内容知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问 题的重要方法，尤其在圆中，相似三角形有着极其重要的作用 .1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于 相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法(1)三边对应成比例的两个三角形相似(2)两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似(3)两组角对应相等的两个三角形相似 .4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似AD

2、AEDE如图，右DE”BC ,则=AB AC BCAD BD =. AE CE定理2平行切割定理如图，D,E分别是D ABC的边AB, AC上的点,过点A的直线交DE,BC于M ,N，若DE / MN ,ntt DM BN则=一ME NCE定理3 (平行线分线段成比例定理)两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例如图，若li / I2 / I3,则AB 二BC_ ACAfe -BCA- C定理4 （角平分线性质定理）如图，AD,AE分别是DABC的内角平分线与外角平分线，ntt DBEBAB贝U=.DC ECAC定理5射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角

3、形相似定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。O中，弦AB、CD相交于点P,PA PB = PC PD定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。即：在。O中，直径 AB _L CD ,2 CE2 = AE BE定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。即：在。O中，PA是切线，PB是割线_ 2PA = PC PB定理9割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在。O中，: PB、PE是割线PC PB = P

4、D PE二例题讲解1利用相似证明角相等例 1 如图，DABC 中，？BAC 90?,AB交BC于点E .(1)求证：?ADB ?CDE(2)若AB=2 ,求D CDE的面积.AC ,D是边的中点，AH A BD ,垂足为H ,练习在D ABC中,DF a AC于点F ,求证:2利用相似证明线段相等例2 已知点E,F分别在矩形 ABCD的边AB,AD上，EF / BD , EC, FC分别交BD于点G,H ,求证：BG = DH练习1、如图，梯形 ABCD中AD / BC ,对角线 AC,BD交于点P ,过点P作BC的平行线分另ij交AB,DC于点E,F ,求证PE = PF .2、如图，D A

5、BC 中，AB = AC, AD a BC 于 D ,E,G分别是AD, AC的中点，DF a BE于F ,求证：FG=DG .D作直线分别交 AB, AC于点E,F ,若M ,N, R,S 和 P ,A3证明比例（等积）线段例3 如图，BD, CD为的两条角平分线，过点AE = AF ,求证：EF2 = 4BE?CF例4如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ,直线l平行于BD ,且与AB, DC BC,AD及AC的延长线分别交于点求证：PM ?PN PR?PS练习1、如图，在DABC中，AD是DA的平分线，AD的垂直平分线交 AD于点E ,交BC的延长线于点F .求证：FD 2=F

6、B ?FCAA2、AD,BE是DABC的高线，过D作AB的垂线,垂足为F ,与BE及AC的延长线分别相交于 M ,N ,2.求证：DF = FM ?FN3、AD是RtDABC的角平分线，？ C 90?,求证:AC2 _ BC2 =4求线段比AD 2BDA例5 ABCD是正方形，E, F是AB, BC的中点,联接 EC 交 DB,DF 于 G,H ,求 EG : GH : HC .练习 1、梯形 ABCD 中，AD / BC,?ABC 90?,对角线AC人BD于点P ,若处=3 ,求胆的值.BC 4 AC2、如图，在平行四边形 ABCD中，过点B的直线顺次与 AC, AD及CD的延长线相交于点5

7、证明线段（线段比）和差E,F,G,若 BE= 5,EF = 2,求 FG 的长.例6 如图，已知 AB / CD, AD / CE,F,G分别是AC和FD的中点，过 G的直线依次交AB, AD,CD,CE 于点 M ,N,P,Q .求证:.MN + PQ = 2PN练习 如图，P是D ABC内一点,AP,BP,CP分别与对边交于点 D,E,F ,求证:AE AFAP+ =EC FBPD的证明垂直如图，H,Q分别是正方形ABCD的边AB, AC上的点，且BH=BQ ,过B作HC垂线，垂足分别为 P ,求证：DP APQ.BQCb练习题1、如图，DABC 中，？BAC 90?,AB, AC的垂线，

8、垂足分别为 F ,G ,求证：2、D ABC与DAB C?均为等边三角形，AD是BC边上的高，E是BC边上一点，过点 E作? FDG 90?AZCC BDECBC和B1C1的中点均为D ,求证：AA A CC17 证明平行例8 如图，在矩形ABCD中，EBJ' CC11 F是DC边上的点，满足DE = EF = FC ,又G、H是BC上的点，满足BG =GH = HC . AE与DG相交于点 求证：KN / CD .练习题 如图，两个等边 AABC2ADE顶点A重合，过点F,G.(1)求证：DF平分NAFE.(2)求证：AG / BD .LC8利用相似三角形的面积比K , AF与DH相

9、交于N . Ap- BDEFCE作BC的平行线，分别交 AB,CD于<_ A例9在D ABC的内部取点3个三角形t1,t2,t3的面积分别为P ,过P点作3条分别与DABC的三边平行的直线，这样所得的A4,9,49,求 DABC 的面积.b。b_ 2AB BD练习 1、AD是RtMBC斜边上的高，求证：AB-=AC2 DCb2、梯形ABCD中 AD / BC , AD =4,BC =8,点 E, F 在 AB, DC 上，且EF / BC，若直线EF平分梯形ABCD的值AE的面积，（1）求EF的长，（2）求EB练习题1、已知平行四边形 ABCD中，M ,N为AB的三等分点,DM ,DN分

10、别交AC于P,Q两点，求BP : PQ : QC 的值.2、如图，在平行四边形 一 1 一证：AG = -AC5ABCD 中,1 _E为AB的中点，AF = _ FD , FE交AC于点G ,求23、如图，AM是的中线，P是AM上一点，BP,CP分别交AC, AB于点D,E ,求证：DEB BC4、DABC 中,AB= AC,?BAC 90?, D 是 BC 边的中点，AH ABD交BD于点H ,交BC于点E ,求证:BE = 2 EC5、在四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上任意一点，PF交AD于点M , PE交BC于点N , EF交MN于点K .求证：K是

11、线段MN的中点.DDE与BC的延长线6、锐角三角形 DABC中，AB> AC,CD,BE分别是AB, AC上的高,交于点T ,过D作白B BC垂线交BE于F ,过E作BC的垂线交CD于G ,证明：F ,G,T三点共线.7、如图，在等边DABC中，BC边上取点D ,使BD :CD =1:2，作CH A AD ,垂足为H ,联接 BH ,求证：？ BAD ? HBC .圆中的相似三角形1、AB是。的直径，点 C在。0上，/ BAC=60° , P是OB上一点，过 P作AB的垂线与 AC 的延长线交于点 Q,连结OC,过点C作CDLOC交PQ于点D.(1)求证： CDQ是等腰三角形；

12、(2)如果 CDQA COB,求 BP ： PO 的值.2、 ABC内接于圆 O, / BAC的平分线交。于D点，交。O的切线BE于F,连结BD , CD.求证：(1)BD 平分/ CBE; (2)AB BF = AF DC.E3、 OO以等腰三角形 ABC 一腰AB为直径，它交另一腰AC于E,交BC于D.求证：BC=2DE4 、 。内两弦AB, CD的延长线相交于圆外一点E,由E引AD的平行线与直线 BC交于F,作切线FG, G为切点，求证： EF=FG.5 .如图，。是ABC勺外接圆，/ BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.求证：AD- EC = AC BD证明：6 .如图，C

13、DW。于 P, PE!AB于 E, AC±CD BDLCD.求证： PE: AC = PB: PA PE 2 = AC - BD7.已知：0ABeD 过点D作直线交AC于E,交BC于F,交AB的延长线于G,经过B、G F三点作。O,过E作。的切线ET, T为切点. 分g求证：ET = ED/ 工8 .如图，AB是。直径，ED±AB于D,交O O DF9 .如图，弦EFL直径MNT H,弦MC长线交 线于 A,求证：MA?MC= MB?MD10、如图，AB、AC分别是。O的直径和弦，点 交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交2)AH于 G, EA交。于 C, CB交 ED

14、于 F,求证：DG2= DE? EEF的反向延长/ / MtD为劣弧AC上一点，弦 ED分别交。O于点E, ED的延长线于点P.(1)若 PC=PF,求证：AB LED;(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD2=DE - DF11.如图(1),AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圆直径， 则有结论：AB AC=AE AD成立，请证明.如果把图(1)中的/ ABC变为钝角，其它条件不变，如图 (2),则上 述结论是否仍然成立？,为什么？分)图图(2)12.如图，AD是4ABC的角平分线，延长 AD交 ABC的外接圆的。Oi与AC的延长线交于点 F,连结EF、DF.(1)求证: AEF

15、 s' fed ；(2)若 AD=8 , DE=4 ,求 EF 的长.。于点E,过点C、D、E三点13.如图，PC与。O交于B ,点A在O O上，且/ PCA= / BAP.(1)求证：PA是。的切线.(2)AABP和ACAP相似吗？为什么？(3)若 PB:BC=2:3 ,且 PC=20 ,求 PA 的长.14.(本小题满分7分)已知：如图， AD 是。的弦，OBLAD 于点 E,交O O 于点 C, OE=1 , BE=8 , AE:AB=1:3.(1)求证：AB是。的切线；(2)点F是ACD上的一点，当/ AOF=2 / B时，求AF的长.15.如图，/ABC内接于。0,且BC是。的直径，AD± BC于D,AB= 6, AC= 8,求 CD DE,及 EF的长。F是弧BC中点，且 AF交BC于E,16. 已知：如图，在 RtABC 中，/ACB=90“，AC =4 ,