2016年浙江省绍兴市高考数学一模试题答卷(理科)(解析版)

1、2016年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1,已知集合 A=x|x+1 >0, B=x|x2 2W0,贝U AA B=（）A. xx >-V2 B . x| -班wxw-1 C. x| -加<工五 D. x| -1<x«s2 .已知向量：=（3, 2）,百（-1, 1）,则|2晶讣（）A.就B.任C. 5比D.加+为冬3 .命题“xo6R x患1”的否定形式是（）A. xo6 R,x” 1B,xo6 R,x g>lC. x6 R,x2=1D.x6R,x2?14 .已知 sin （专 一口）=：,贝U co

2、s （2=（）7_1_I_7A-B-CD-2x - y - 2<0x - 292>05 .若存在实数x, y满足r+y-2>0 ,则实数m的取值范围是（）d（x+1） - y=02222424A. （0,京 B.（余君）C.（多 1） D.（余 |）6 .在下面图案中，图（1）是边长为1的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列a n,则a10=（）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12227 .双曲线与-二1 （a, b>0）的左、右焦点分别为E, F2, O为坐标原点，以OF a

3、 b为直径的圆交双曲线于 A, B两点，若 EAB的外接圆过点（+0）,则该双5曲线的离心率是（）A.听B./C.正D.加8 .设函数 f (x) =x2+mx+n, g (x) =x2+ (m+2 x+n2+m+1 其中 n6R,若对任意的 n,t 6R, f (t)和g (t)至少有一个为非负值，则实数 m的最大值是()A. 1 B.隹 C. 2 D.泥二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)9 .已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=1,S=8,则a=,Sio=.10 .已知f (x) =sin ( 3X+0 ) ( 3 >0, 0W 0 w兀)在区间2 , 4上是增函数

4、，且f (2) =-1, f (4) =1,则f (3) =? f (x)的一个单调递减区间是 (写出一个即可)11 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是 ,体积是.12 .已知圆Q x2+y2=r2与圆C: (x-2) 2+y2=r2 (r>0)在第一象限的一个公共点为巳 过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A, B (异于P点)，且OALOB 则直线OP的斜率是, r=.13 .在ABC, BC=6 M, M分别为边BC AC的中点，AM与BM相交于点G, BC的 垂直平分线与AB交于点N,且而正-前加=6,则市菽=.14 .已知实数x, y满足x2+y2=4,贝U

5、 4 (x -7；) 2+ (y - 1) 2+4xy的取值范围是.15 .如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面0c上，三条棱AB, AC, AD都在平面%的同侧，若顶点B, C到平面0c的距离分别为1,比，则顶点D到平面0c的距离 是.三、解答题(共5小题，满分75分)16 .在ABC+,内角A、B、C所对的边分别为a, b, c,已知a*,生二产口. O3.D(I )求角C的大小；(H)若a=2,求 ABC的面积.17 .如图，在三棱锥 P- ABC , PL平面 ABC AB! AC PA=1 AB=AC= , D为 BC 的中点，过点 D作DQI AP,且DQ=1连结QB QC QP(

6、1)证明：AQL平面PBC(2)求二面角B- AO C的平面角的余弦值.18 .已知函数 f (x) =x (1 a|x| ).(1)当a>0时，关于x的方程f (x) =2有三个相异实根X1, X2, X3,设X1<X2<X3, 求一的取值范围；(2)当a<1时，f (x)在-1, 1上的最大值为 M,最小值为m1若M- m=4求a 的值.2219.已知椭圆C:号十号1(»Q)的焦距为2心 离心率为年.a b上(1)求椭圆C的方程；若Ml N, P是椭圆C上不同的三点，且满足 而+ &而二而(O为坐标原点)，求 实数入的取值范围.220.已知数列an

7、满足 d=1, 3+1=" 3n (nW M).(1)证明:(2)证明:(3)证明:二选择题a2 a3 an+lnan . 4n +12016年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(理科)(共8小题，每小题5分，满分40分)1,已知集合 A=x|x+1 >0, B=x|x2-2<0,贝U AA B=()A. x|x >加 B. x| -加WxW-1 C. x| -V2<x<Vs D. x| - 14x<加【考点】交集及其运算.【分析】先分别求出集合A和集合B,然后再求出集合An B.【解答】解：集合 A=x|x+1 >0=x|x >1, B=x

8、|x 2 2W 0二x| 一比 Wx&M,则 AA B=x| - 1<x<V2,故选：D.2 .已知向量。（3, 2）,白（-1, 1）,则 |2；+许（）A.蕊 B. 限C. 5M D. V2+2V1S【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，求得 2： +工的坐标，可得|2；+可的值.【解答】解：.向量；=（3, 2） , E= （- 1, 1） , .2；+安（5, 5）,则|2 a+t|=每谈=5的，故选：C.3 .命题“x 06 R x益1”的否定形式是（）A. x06 R, x ol B. x06 R, x o>LC. x6 R

9、, x2=1 D. x6 R, x=1【考点】命题的否定.【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x 。6 R x患1”的否定 形式是：x 6 R x2# 1.故选：D.4 .已知 sin （专 一口）=,贝U cos （2仃+）=（）A - BC DA. B.C. , D.,【考点】三角函数的化简求值.【分析】由二倍角公式可得cos （g-2 % ）,整体利用诱导公式可得cos （2口哲） 2 n=-cos （一二-2%）,代值可得.【解答】解：sin (三-口)=1,cos - 2 % ) =1 - 2sin 2- a)=

10、，,Dby. cos (2 d-k) =cos兀-(- 2% )=-cos (-2a) = bg故选：A% - y- 2<0x - 2j42>05 .若存在实数x, y满足r+y-2>0 ,则实数m的取值范围是( niG+1) - y=0【考点】简单线性规划.【分析】作出平面区域，可得直线过定点 D（- 1, 1）,斜率为-m的不等式组，解不等式组可得.2工-y- 2<0【解答】解：作出7-2/2>0所对应的区域（如图 ABC内部,z+y- 2>0直线 m(x+1) - y=0,可化为 y=m (x+1),过定点 D(-1, 0),m,结合图象可得不包括边界

11、），斜率为m,- y - 2<0 k - 2y+2>0 存在实数x, y满足,肝厂2>0 m(x+l) - y=0则直线需与区域有公共点,'x+y- 2=02厂厂2二U，a ?k+y-2=0oa解得B （予靖，工-n，解得A（豆，豆） u uK ZyTZ- U 2K -Kpb=4一 +1 故选：D.6 .在下面图案中，图（1）是边长为1的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形 同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次 构成一个数列a n,则aio=（）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【考点】数列递推式；归纳推理.【分析】根据

12、已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的an的通项公式， 可得答案.【解答】解：.图（1）是边长为1的正方形， .a1二1, 结合勾股定理可得：a2=2,a3=3, a4=4, 归纳可得：an=n, （nSN）, 故 a10=10,故选：B 227.双曲线与-£=1 （a, b>0）的左、右焦点分别为 F, F2, O为坐标原点，以OF a b为直径的圆交双曲线于 A, B两点，若 FAB的外接圆过点（ 咐+啖。），则该双 曲线的离心率是（）A.蕊B.加C.妻D.加【考点】双曲线的简单性质.【分析】设双曲线的左、右焦点分别为Fi(-c,0) ,F2(c,0),分别求出O

13、F为直径的圆的方程和外接圆的直径为 Fi M运用两圆方程求得交点 A, B,代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程可得所求值.【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为 Fi (-c, 0) , F2 (c, 0),2of为直径的圆的方程为(x-9212 -i72=i> 由 b2=c2- a2, e=M7 a 才 b口可得 4e4- i5e2+9=0, 解得e2=3或菖(舍去)， 即有e=M.故选：B.8.设函数 f (x) =x2+mx+n, g (x) =x2+ (m+2 x+n2+m+i 其中 n6R,若对任意的 n,t 6R, f (t)和g (t)至少有一个为非负值，则实数 m的最

14、大值是()A. i B.枳 C. 2 D.枳【考点】函数的值.+y2二,，由FiAB的外接圆过点M(汕也!, 0),即M(|c, 0),即有外接圆的直径为FiM 可得圆的方程为(x+ 两圆的方程相减可得x=rc>0代入圆的方程可得y二 士当c,2可设A (wc,3，代入双曲线的方程可得【分析】作差g(t) -f (t) =2t+m+1,从而可知tn-吟时g (t) nf (t),从 而化为 g (t) =t2+ (m+2 t+n2+m+1在 t n 粤时 g (t) mm=(哼严黄)2+n2+m+1 空卢n 0恒成立，从而可得|m| w 1 ；从而结合选项解得.【解答】 解：g (t)

15、- f (t) =t2+ (m+2 t+n 2+m+1- (t2+mt+n2) =2t+m+1,当 2t+m+1n0,即 t n 吟时，g (t) nf (t),而 g (t) =t2+ (m+2 t+n2+m+1 = (t+吟) 2+n2+m+1-,. . /1、g (t) min=(一吟+噂)2+n2+m+1PA0 恒成立，即mw 1+4n2恒成立，故|m| <1;结合选项可知，A正确；故选：A.二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)9.已知等差数列an的前n项和为S,且a2=1, S=8,则a= 7 , S°= 80 .【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差

16、数列的通项公式及其前 n项和公式即可得出.【解答】解：设等差数列an的前n项和为S, a2=1, S4=8,.4X3 .- .a1+d=1, 4a+ 一 d=8,解得 a1 = - 1, d=2.贝 U a5=-1+2X4=7, Sio=10x (1) 4-x 2=80.故答案分别为：7; 80.10.已知f (x) =sin ( 3X+0 ) ( 3 >0, 0W 0 w兀)在区间2 , 4上是增函数,且f (2)=-1,f(4)=1,则f(3)= 0 , f(x)的一个单调递减区间是0 ,2J(写出一个即可)【考点】正弦函数的图象.【分析】根据函数图象可知函数的周期，再求 3的值，由

17、已知点求出。的值，写 出函数解析式，将3代入求出f (3)的值，再求出函数的单调递减区间即可【解答】解：f (2) =-1, f (4) =1, f (x)在2, 4上是增函数可知：f (x)的周期为T=4,.，元 ,7T 3。r / _ / 7T ,冗、nf (x) =sin (方x+方)=cos-x_RTF .f (3) =cos=0f (x)的单调递减区间为4k , 4k+2k 6 Z故答案为：0, 0 , 2.11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是12+2加+2加，体积是 4【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由位置

18、关 系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几 何体的表面积，由锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图：且 P平面 ABCD PA=2底面是一个直角梯形，ADL CD AD/ BC BC=CD=2 AD=4取AD的中点E,连接BEE,则BE/ CD AE=BE=2由勾股定理得，AB=PC=BD=2, PB=£, PA=2,. PB=BC+PC, PA=AB+P氏AB± PB, PC! BC.二几何体和表面积:S=二十 ：!；二二二 二十 一 ., 一 一：几何体的体积 V±*x (2+4)

19、X 2X2=4, 故答案为：12+2a+2避；4.12.已知圆Q x2+y2=r2与圆C: (x-2) 2+y2=r2 (r>0)在第一象限的一个公共点为巳 过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A, B (异于P点)，且OLOB则直线OP的斜率是 M , r= 2 .【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出点 P的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径r的值.然后求出P的坐标，利用斜率公式进行求解即可.【解答】解：如图所示，圆 Q x2+y2=r2与圆 C: (x-2) 2+y2=r2 (r>0)的一个公共点 P,.二点P的横坐标为

20、x=1;又过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于 A B两点，、一 、/为;”设 A (xi, yi) , B(X2, y2),则 |勺+灯=2；又 OAL OB 二1 =xix2+yiy2=0,且 x+vj=r2, (x2 - 2)*+yJ=r2;由此解得r=2.即圆 O x2+y2=4,当x=1时，y=±g，P在第一象限，y=无，即P (1,加)，则 kO=”5,故答案为：加；2.13 .在ABC, BC=6 M, M2分别为边BC AC的中点，AM与BM相交于点G, BC的 垂直平分线与AB交于点N,且前蓝-前猫=6,则市嬴=36 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】 由前柒

21、-而亚=6得而,而二£.用而，而 正表示出航，列方程解出瓦标.【解答】 解：布正一立加二6, 前,正二JM, M2分别为边BQ AC的中点，. G是4人8。勺重心.二 1+ 1 二1 r1Q口口"丁 T： -1*1 r -. NG=叫+ MIG=叫号BA-玄BM】，.(西号就丽;)BC=6.i-rrt Q -Z 1 1* 1 1 * -即 NMBC+wBABC wBM，BC=6. Jw. NML BQ BM=3, BC=6.西前二0, 而前二3乂6=18.一号BMBC- 6=6, 一 二36.故答案为36.14 .已知实数x, y满足x2+y2=4,贝U 4 (x-2)2+

22、 (y-1) 2+4xy的取值范围是 1、 乙22+4近.【考点】排序不等式.【分析】4 (x-/)2+ (yT) 2+4xy=4x2- 4x+1+y2 - 2y+1+4xy二(2x+y-1) 2+1,再禾1J 用三角换元，即可得出结论.【解答】 解：4 (x- t) 2+ (y1) 2+4xy=4x2 4x+1+y2 2y+1+4xy= (2x+y1) 2+1. 设 x=2cos a , y=2sin a ,. 2x+y - 1=4cos a +2sin a - 1=2&sin ( % + 0 ) - 1 6 - 2加-1, 2 灰-1,. (2x+y- 1) 26 0 , 21+4

23、%,. （2x+y- 1） 2+1 6 1 , 22+章,故答案为：1 , 22+您.15 .如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面0c上，三条棱AB, AC, AD都在平面%的同侧，若顶点B, C到平面0c的距离分别为1,第，则顶点D到平面0c的距离是 证 .【考点】点、线、面间的距离计算.【分析】本题的条件正规，但位置不正规.牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手.出路何在？在正方体的 8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会）.这4点组成直角四面体，这就是本题的根.所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点A, B, C到平面M的距离依次为0, 1, 求顶点D到平 面M的距

24、离.【解答】解：如图，连结BG CD BD,则四面体A- BC防直角四面体.作平面 M的法线AH再彳K BB，平面M于B, CC，平面M于C, DD，平面M于D.连结 AB, AC, AD,令 AH=h DA=a DB=b DC=c由等体积可得72=4+77+4, h a b c.h2 h2 h2 .T+1 a b c令/ BAB= % , / CAC= B , / DAD= 丫，可得 sin 2 % +sin 2 3 +sin 2 丫 =1,设 DD=m . BB=1, CC=n,.- HI =1解得mVe.即所求点D到平面0c的距离为道.故答案为：1.三、解答题（共5小题，满分75分）16

25、 .在ABCt内角A B、C所对的边分别为a, b, c,已知a#壁-白上咬-三 6 ab(I )求角C的大小；(H)若a=2,求 ABC的面积.【考点】正弦定理；余弦定理.【分析】(I)由已知式子和余弦定理结合多项式的原可得b=c或b2=c2+a2,分别由等腰三角形和直角三角形可得;(II)结合a=2,分别由等腰三角形和直角三角形的知识和面积公式可得.【解答】解：(I) .在ABC4bcosA" c bcosC - ab2cosA- bc=abcosC- a2,由余弦定理可得:b23f -心亦出点a2,关(b2+c2- a2) - bc=4; (a2+b2- c2) - a2,同乘

26、以2c可得b (b2+c2a2) 2bc2=c (a2+b2 c2) 2ca2,b (b2 c2 a2)=c ( a2+b2 c2),( b2- c2- a2) ( b- c) =0,b=c 或 b2=c2+a2,当b=c时，由等腰三角形可得角 C=；当b2=c2+a2时，由直角三角形可得角C4;(H ) ;2=2, .当 b=c 时，三角形的高 h=tan=*=tan (JT n、T+石)Vs3-T=2r区 xi此时三角形的面积 S=j-x 2X h=2+点；2当b2=c2+a2时，由直角三角形可得c=2工=2花,6 ABC勺面积S=1ac=2五.17.如图，在三棱锥 P- ABC , PL

27、平面 ABC AB! AC PA=1 AB=AC= , D为 BC 的中点，过点 D作DQI AP,且DQ=1连结QB QC QP（1）证明：AQL平面PBC（2）求二面角B- AO C的平面角的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）连结AD, PD, Pm AQ=O推导出四边形PADQ正方形，从而AQL DP 由线面垂直得PAL BC由等腰三角形性质得 ADL BQ从而AQL BC由此能证明AQ ，平面PBC（2）由AQL平面PBC连结OB OC则/ BO6二面角B-AQ- C的平面角，由此 能求出二面角B- AO C的平面角的余弦值.【解答】证明：（1）

28、如图，连结AD PD PmAQ=OVAB±AC AB=AC袤，D为 BC中点，AD=1 PAL平面 ABC ADf 面 ABCPA! AD PAL平面 ABC ADf 面 ABCPA! ADv PA=AD=1.四边形PAD明正方形，. AQL DR. PAL平面 ABC BC平面 ABCPA! BCD为线段BC的中点，AB=AC ：ADL BC又 Am PA=A 二 BCL平面 APQD. AQ 平面 APQD /.AQL BQ. DPH BC=D.AQI平面 PBC解：（2）由（1）知AQ1平面PBC连结OB OC则/BO二面角B- AO C的平面角，由题意知PA=BD=1 OD芋

29、，OB=OC=）D Jcos/BOC=X，二唬2,OBOC14-44 4V6 V6士22二面角B- AO C的平面角的余弦值为-18.已知函数 f (x) =x (1 a|x| ).(1)当a>0时，关于x的方程f (x) =2有三个相异实根x1, x2, x3,设 x1<x2< x3,求一一的取值范围;x2 x3(2)当a<1时，f (x)在-1, 1上的最大值为 M,最小值为m1若M- m=4求a的值.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】(1) f (x)=治w '+优 汽F t - co 门作其图象，从而利用数形结合求解得aS (0, £);

30、从而可得xz+x3, za2a,从而求得;(2)显然，f (x)为R上的奇函数，从而可得 M=2再分类讨论求最大值即可.【解答】解：(1) f (x)=, JF 於(8,。一 ax+x r X E (o, +8)当a>0时，其图象如右图所示,;直线y=a与y=f (x)的图象有三个不同的交点,f (五)>a>0，即也>a>°,解得，a (0,切；其次，由韦达定理及求根公式可得,1x2+x3., x1 =-1 -Vl+42a从而可得， 注意到a (0,彳)，.6- 1).x2+k3、2(2)显然，f (x)为R上的奇函数，. M m=2M=4当a=0时，经

31、检验不符合题意，舍去；当a<0时，函数f (x)在-1, 1上单调递增，故 M=f (1) =1 - a=2,故 a=-1;当a>0时，f (x)在(-°°,-；)和(*，+°°)上单调递减，zaza在(-在系)上单调递增； za za当系A1,即0<aw得时，f (x) -1, 1上单调递增，可解得a=- 1 (舍去)，当系<1,即2<a<1时，f (x)在-1, 1上的最大值为f (系)*=2,解得，a=! (舍去)；综上所述，a=- 1.19.已知椭圆C:、+三1 Ob>0)的焦距为2正，离心率为零. a

32、bz(1)求椭圆C的方程；若M, N, P是椭圆C上不同的三点，且满足 赢+人而二而(。为坐标原点)，求实数入的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【分析】(1)由椭圆的焦距为2/，离心率为分，列出方程组求出a, b,由此能求出椭圆C的方程.(2)推导出连一而”不，当PMLx轴时，能求出-2c入<0或0c入<2;当直线MP的斜率存在时，设方程为y=kx+m,将其代入椭圆，得(1+4k2) x2+8kmx+4frr 4=0, 由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题设条件能求出实数 的取值范围.【解答】解：(1) 椭圆C:1的焦距为2正，离心率为孝(2c=2V3，c M，解得 a=2, c=A,b=/4-3=l,2 椭圆C的方程为乎我片. 4N, P是椭圆C上不同的三点，且满足 而+入而。而(O为坐标原点)， .赤一砥入示，设 P (xi, yi) , M(X2, y2), N (xo, y。，当 PMILx 轴时，Xi=X2, yi= 一y2#0,由而一赢=入示，得1xo=0,入y°=2yi,则 xo=0, y0=± i, i<yi<0 或 0<yi<i, 2<入 <0 或 0V 入 <2.当直线MP勺斜率存在