初中数学苏科版七年级上册数学竞赛讲义：聚焦《绝对值》专题

1、【图解考点】聚焦绝对值运用“零点分段法”分类讨论去绝对值符号-: I 绝时值的相美知识最韵维时修方程I X | =a蛉时值符号中含有未知数的方程耆常'£'或多个绝对值符号的较复杂的绝时值方皆二去掉绝时值符号化为一般方程求解求出各个分界点8【技法透析】1.绝对值的基本性质在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主 要性质有：若a、b为有理数，则:非负性：a| >0;若|a + |b=0,则a=b = 0;(2)若 a = b ,则 a= ± b; a2 = a2 = a2 1ab =a 'b ; Ibpjb (bw°

2、;)； |a -b W|a ±b W a| + b .特别关注：若干个非负数之和为0,则这几个非负数必须同时为0,即：|a+ b + , , , + n=0,贝U a= b=n = 0.2 .去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数(或式)的正 负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：(1)由已知条件去绝对值.(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值.(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性 质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这

3、些点把 数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可.3 .绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为|x=a,它的解法情况如下：当a>0时，方程有两解：乂 = 2或乂= a,当a=0时，方程有一解：x=0,当a<0时，方程无解.(2) 解绝对值方程的一般步骤求出各个零界点.根据未知数的取值范围分类讨论.去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨 论，数形结合等方法.在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于 观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程.特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法.4.绝对值的几何意义在生活中的应用在实际生活中经

4、常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化,同时又使实际问题数学化，从而运用绝对信的几何定义求解.一般地，设 a,a3,an是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于x-a1 +|x-a2 +|x -an则:当n为奇数时，此式在x= an 卡时取最小值;当n为偶数时，此式在an <x< a21时取最小化 2【名题精讲】赛占1八、绝对值的化简2017 20162016 20152015 2014”13-22+ -12【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点,而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从|a的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符

5、号内均为负数，于是有当2<0时2= a.【规范解答】原式=/ 11、/ 11 、/ 11、“ / .、_1. 2016-(-)-(-)-(-)- -(1)+1=2017 20162016 20152015 2014220172017【借题发挥】绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数(或式)的正负性进行判断.去掉绝对值符号有 三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可 以利用1a1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的.【同类拓展】1 .有理数a, b的大小关系如图，则上！叱+匕 的值 a -1 b 2 a b是(D )A. 0B

6、. -1C. -2D. 3赛占2 八、j绝对值的分类讨论若 abc<0, a+b+c>0,且 x= a- +-b +-c ,试求代数式(1 2x)2016a lbc 2016 x+2016 的值.【切题技巧】解决本题的关键是对a、b、c的符号的所有可能情况进行分类讨论，由abc<0可知a、b、c中有一个或三个全为负数，又由 a+b+c>0 知a、b、c不可能全为负数，所以a、b、c中有一个负数，两个正数.【规范解答】 由abc<0,可知a、b、c中有一个负数或三个全为负数，又由a+b+c>0知a、b、c不可能全为负数，所以可得a、b、c中有一个负数，两个正数

7、，依x的轮换性，不妨设a>0、b>0、c<0.则：x=a+P+£=1.所以原代数式的值为：(1 -2X 1)2016-2016X 1 + 2016= 1 a b 2016+2016= 1.【借题发挥】解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用已知条件去掉绝对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法.在分类讨论时，分类要全面、准确、不失一般性.【同类拓展】已知有理数x, y, z满足xy<0, yz>0,且x=3, y =2,z+1| =2,求 x + y + z 的值. -2赛点 3 求 x1 +|x-2| + x3 +|l +|x20

8、16 的最小点.【规范解答】 由绝对值的几何意义知1x-ai在数轴上表示数x与数a两 点之间的距离，故求原式的最小值就是在数轴上找出表示 x的点，使它到1,2, 3,，2015, 2016的点的距离和最小.【规范解答】由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x的点，使它到1, 2, 3, 2016的点的距离之和最小，可看出当1008< x0 1009时，原式的值最小，把x= 1008代入原式中得：原式=1008 -11008 -2 1008 -31008-2016=1007+1006+1005+- -+1+0+1+2+3+- - 1008=2 (1+2+3+ 1007

9、) +1008【借题发挥】 (1)由绝对值的几何意义可知如图当a<x<b时，xa+| xb的值最小，如图当 x=b时，xa+xb +|x c的值最小.I, d卜，l d .* bu&幻 (2) 一般地，设a1, a2, a3an是数轴上依次排列的点表示的有理数，若 n 为奇数，则当x= an书时，x -a1 +|x-a2 +HI+|x-an的值最小；若n为偶数，则 当 aan <x< an上时，x-aj +|x+HI +|x an 的值最小.122(3)在实际牛活中，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝 对值的几何定义解决问题.如某公共汽车运营线路

10、AB段上有A B C D四个汽车站，如图所示，现 在要在AB段上修建一个加油站 M为了使加油站选址合理，要求 A B G D 四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站 M在何处最好？求最小 路程总和，即求M到A、B G D的距离和最小，不妨设 A、B、C、D四点在数 轴上且分别表示为数 a, b, c, d(a<c<d<b),点M表示的数为工，则点 M至U A、 R C D四点距离和为|x-a| + x-b +|x-c + x -d|由绝对值几何定义可求解.【同类拓展】3.某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各

11、学校里电脑数相同，允许一些小 学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调 出电脑的最少总台数.一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向 五小调出2台，这样调出的电脑总数最小数目为 12台.赛点4绝对值方程例4解方程x -2 +2x+1 =10【规范解答】解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可采用“零点分段法”，即令x 2=0, 2x+1 = 0,分别得到x = 2, x=1用2, -1 将数轴分成三段：mV -)£才2,工2 .然后在每一段上去掉绝对值符号再求解，【规范解答】分工 一 4"，（工V2三种情况,看感门）当J时，原方程可化为：一（工一2）一（2r+】）=10,解得J=-37-3在所给的范圉了一：内,二工=-3是原方程的新. M-（2）当一 Jx<2时,原方程可化为一5-2） + <笈+1> = 10,解得工=了V 7不是所绐的范圉一4</<2内".上二7不是原方程的解. £ . （3）当上22时.原方程可化为；（工- 2） +0才+1）= 10 二*5,工二日在所给的熊第工多2内=?是原方程的解.综上所述=一3 ,工工?