2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会数学周报杯 2018年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1561011121314得分评卷人复查人答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答；2.解答书写时不要超过装订线;3.草稿纸不上交.一、选择题共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A, B, C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1 .设a=J71,则代数式 3a3+12a2 -6a-12的值为(.A) 24B) 25C) 4+10D) 4+122 .对于任意实数a, b, c, d ,定义有序实数对(a,切与(c, d)

2、之间的运算 为： a, b ) c, d ) =ac+bd, ad+bc).如果对于任意实数u, v,都有 u, v ) Ax, y)=u, v),那么 .A) 0, 1) B) 1, 0) C) - 1, 0) D) 1 , y 0 ,且满足 xy = xy, =x3y ,则 x + y 的值为(.yA) 1B) 2C) 9.A) S1S3 S2S4B) SS3=&S4S2S4.13 23 33993A) 4B) 5C) 6D) 7二、填空题共5小题，每小题7分，共35分)6 .若关于x的方程(x2)(x24x+m)=0有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则 m的取值范

3、围是.7 . 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 2, 3, 3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 3, 4, 5, 6, 8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.8 .如图，点A, B为直线y=x上的两点，过A, B两点分别作y轴的平 行线交双曲线y/0)于C, D两点.若BD=2AC,则4OC2 -OD2的值为.x第10题)9 .若y = x +业-1的最大值为a,最为b,则a2 +b2的值为.图，在RtzXABC中，斜边 AB的长为35,正方形CDEF内接于AABC,且其边长为12,则 ABC的周长为.三、解答题共4题，每

4、题20分，共80分)11 .已知关于x的一元二次方程 x2+cx + a = 0的两个整数根恰好比方程 x2+ax+b =0的两个根者B大1,求a + b+c的值.12 .如图，点H为乙ABC的垂心，以AB为直径的。1和4 BCH的外接圆。O2相交于点D ,延长AD交CH于点P ,求证：点P为CH的中点.13.如图，点A为y轴正半轴于x轴对称，过点A任作直线交抛物线d点，A, B两点关2 2y=-x 于p, q两点.1)求证：/ ABP = / ABQ ;2）若点A的坐标为/7_1, a+1=, a2=6 2a,所以2. B解：依定义的运算法则，有ux+ vy = u, 、vx+uy = v，

5、即u(x-1) +vy= 0, 网-1)十”=0对任何实数u, V都成立.由于实数u, v的任意性，得x, y) =S2s4 .5. A解：当k=2, 3, HI , 99时,由于13 : k312二一k(k21) 2(k1)k k(k +1)所以 1 ；S =1 4二 W .工：二1 .1 1 -23339932 25:一.99 1004于是有44S5,故4s的整数部分等于 二、填空题4.6. 3m2,所以X1 一X2 0,即 J(X +x2 2 -4x1x2 2 , =16-4m0,所以4164m 2 , =16-4m2解之得3m0 4.7. 19解：在36对可能出现的结果中，有 4对：1

6、, 4）, 4, 1）的和为5,所以朝上的面两数字之和为 5的概率是2, 3),4=1.36 90,行一0 x w 1.2212 311 2, -x , x -4)16，一 13 一 ,3 .2一 ,一 . 一由于131 ,所以当x = 3时，y2取到最大值12 4411当x = -或1时，y取到取小值一，故b =22所以，a2 b210. 84解：如图,BC = a, AC = b,则222a +b =35 =1225.又 Rt AFE s Rt acb ,所以F E AF第10题）AC1 2 b - 1244r ,故12(a+b)=ab . 由得222(a+b) =a +b +2ab =1

7、225+24 (a+b), 解得a+b = 49另一个解25舍去），所以a+b+c=49 + 35=84.解答题11.解：设方程x2+ax+b=0的两个根为，其中 P为整数，且 P ,则方程x2 +cx + a =0的两根为ot +1, P +1 ,由题意得a + P = a, (a +1 % P +1 )= a ,两式相加得otP +2o( +2P +1=0,即(口 +2)( P +2) =3,2 =1, 所以-c c:2 =3;又由于 a = _(o( + P) , b =aP, c = 一 (a+1)+(P +1),所以第12题)a =0, b = -1, c=-2； 或a=8,b 亏

8、1 5,c =故 a +b +c = -3,或 29.12 .证明：如图，延长AP交。2于点Q,连接 AH, BD, QB, QC, QH .由于AB为。Oi的直径， 所以/ ADB =/ BDQ =90故BQ为。2的直径.于是 CQ _LBC, BH .LHQ .又由于点H为八ABC的垂心，所以AH IBC, BH _L AC .所以AH / CQ , AC / HQ ,四边形ACQH为平行四边形.所以点P为CH的中点.13 .解：1)如图，分别过点P, Q作y轴的垂线，垂足分别为C, D .设点A的坐标为0, t ),则点B的坐标为0, t).设直线PQ的函数解读式为y = k x t并设

9、P, Q的坐标分别为 (xp, yp) , (xq, yQ).由2 2第13题）4寸一x kx t =0 , 332于是 XpXq=T, IP t = -XpXq .23于是22 .22 2BC yP t 3xP t 3xP 3XpXQXpBD yQ，t 22,22 2XQ t - XQ - -XpXq 3332 v、3 XQ(XQ - XP)Xq又由于QCBC PCBD QD由于/ BCP =/ BDQ =90)所以 BCPs BDQ ,3故/ ABP=/ ABQ . b0,由1)可知/ABP=/ ABQ =30*, BC=73a,BD=V3b ,所以 AC = V3a-2, AD =2 -

10、73b.由于 PC / DQ ,所以 ACPc/dA ADQ .于是PC ACDQ AD，即:3a -2所以 a +b = J3ab .3由 得xPxQ =-t = 一一，xP+xQ=k.222若 xq =，代入上式得 xP = 5/3,从而 k =- (xP + xQ) = 一9.233同理，若xQ 3,可得xp =-遮，从而k=2(xP xq).2 33所以，直线PQ的函数解读式为y=-於x + 1,或丫=g*+1.3 314.解：如图，作 ABQ,使得/QAB =/PAC, ZABQ =/ACP,则 ABQs/ ACP.由于AB=2AC,所以相似比为2.于是AQ=2AP=2/3, BQ=2CP=4.QAP =/QABBAP =ACBAP BAC =60 .由 AQ:AP=2:1