《无理数》教学设计

1、教 学 设 计甘肃省积石山县吹麻滩初级中学王德明一、教学内容分析：通过引入无理数，将有理数扩充到实数范围内，是初中阶段第二次数系的扩张。本节课也是这第二次数 系扩充的最关键的一步一一无理数的引入。这一节课主要让学生产生认知冲突，感受到引入新数的必要性， 认识到生活中大量存在这样的新数。二、教学目标：1 .技能目标：知道存在非有理数的数或举出一些例证，初步阐明非有理数的数与有理数之间的关系（能否表示为整数与分数）。2 .能力目标：能把对有理数的理解（如分类、表示、运算等）应用到研究新的数的过程中；能通过观 察、质疑、实验、归纳和猜想得到存在非有理数的数，并能用分类、归纳的方法的说明。3 .情态价

2、值目标： 进一步养成求知意识。 三、教学重点：1 .教学目标中的知识目标和能力目标；2 .创设研究“满足 a2 = 2的数a不是整数和分数即不是有理数”的情境。 四、教学难点：1.用有理数的分类验证的方法；2.说明分数。都不满足o2 = 2。五、教学准备：准备两个边长为i的正方形，双面胶以及一把小剪刀。 六、教法、学法：教学方法师生互动探究式教学，遵循以学生为主体、教师为主导、发展为主旨的原则，学生通过熟悉的现实生活 情景，发现现有的有理数之外还存在非有理数，引发认知冲突，提出需要学习新的知识. 引导学生分类讨论，形成师生与生生互动。学法指导引导学生自己操作并提出问题，感受并验证非有理数的存在

3、性及其存在的普遍性。七、教学过程:教学内 容教师活动学生活动教学评价活动一：通过动 手，让 学生感 受无理 数产生 的实际 背景1 .学生尽可能自己剪 拼（在有困难的情况 下也可以和同学合 作），完成拼图。2 .请同学代表来展示 自己的作品，并用语 言尽可能表达清楚是 如何得到大正方形 的。学生的常有拼图：（一）（二）让学生将两个边长为 1 的小正方形，剪一剪， 拼一拼，设法得到一个 大正方形。教师补充要求：1 .所剪的块数尽可能 少；2 .不允许有多余的部 分，所得正方形不允许 有空缺。教师给学生一定的时间 讨论合作，在活动中观 察学生是否乐意与他人 合作交流，是否主动探 究，并且给于及时的

4、肯 定和鼓励。1 .容易操作：课前让学生准备两个边长为1的小正方形纸片， 长度单位学生自定，符 合学生的生活实际，学 生都可以准备。2 .趣味性强：让学生剪一剪、拼一拼, 进行密铺，让每位学生 都能动起来感受数学学 习的乐趣。3 .有效：两个面积为1的正方形拼得的都是面积为 2的 正方形，由此可以产生 边长是无理数的问题， 为本课的引入奠定了基 础。边长为1的正方形的对角线AC等于多少？假设是修，由大正方形面积引入“a2 -7, a为多少”预计时间：6分钟教学内 容教师活动学生活动教学评价活动二：让学生感知无理数，并且合理推理它不是有理数第一环 节： 教师提 问弓 导，探 讨“研 究大正 方形

5、边 长a是 什么师问：现在得到大正方形， 你想对这个大正方形提一 些什么问题吗？生（可能从形状、大小、位置 等方面提问）：关于大正方形 的面积、边长、周长、对角线 等问题。让学生提问 是为了培养 学生主动提 问的意识。师问：有些元素比较容易确 定（如面积，对角线等）， 那么它的边长a为多少？（可以由易到难分析以上各元素，但最终边长是基本 量）学生直观感知， 并且说出自己 的看法。让学生直观 感知并且各 抒己见。数”的师问：我们以前学了哪些数，你还记得它们是怎样分类的吗？方法在学生回顾有理数的分类后，整理一个分类结构图（用附页进一步解释）师问：大正方形边a是不是有理生：以前所学的数都是有回顾有理

6、数数，你怎样来说明？理数，有理数分为“整数及其分类，和分数”，整数和分数还为后面探究可以再分类，如整数分为做知识铺“正整数、负整数、0”垫。师问：大正方形边a是不是有理生：有理数分为整数和分r依据数的分数，你怎样来说明？数，可以分别讨论它是否类探讨研究为整数和分数？方案，在此渗透分类讨论思想。预计时间：6分钟师问：a是整数吗？附带说明：还可以从图形的由a2=2,而 12=1, 22=4,学生自然的数量特征证明a不是整数。12<a2<22 ,得 l<a<2, a 不是整反应是从数教师按下图进行构造分析，数3的角度来说证明如下：（这是从数的角度进行说明）明，然而这证明：在三

7、角形 ABC中个数所产生AG1, BG1, AB=a,由三角的背景启发形的三边关系得 AG BG< a我们也可以第二环<AC-BC 所以 0<a<2,且用形的“度节：讨awl。所以a不是整数。量性质”来论a是说明，这能否是整让学生初步数附带说明：还可以从图形的数量特征证明a不是整数。感受形与数 的联系性。 同时用证明 初步培养学 生严谨说理 的习惯。教师按下图进行构造分析，证明如下证明：在三角形 ABC中AC=1, BC=1, AB=a,由三角形的三 边关系得 AGBCk a<AGBG 所以0<a<2,且a/1。所以 a不是整数。预计时间：4分钟教学内

8、 容教师活动学生活动教学评价师问：a不是整数，是分数部分学生可能回答“是”。这是本节课第三环节：吗？的难点，对于师问：你能找出a是分母为可能有困惑（反映了学生是部分学生难讨ia a 是否是 分数多少的分数？否有把分数用分母从小到大 分类的程序性思考）。度较大，我让 学生由“具体师引导：我们可以从分母最 小的分数开始找？是否注意到这里的分数只需 要考虑正的分数！到抽象”，由 “特殊到一a是分母为2的分数吗?a是分母为3的分数吗?计算：_'结论：a不是分母为2的分数。a是分母为4的分数 吗？想一想：为什么省了一些计 算？在过程中思考简约的做法是 好的习惯！本问题的简约是 基于对数的运算的认

9、识（直 接从它不是整数来排除是不 够的！）计算：©”衿哈结论：a不是分母为4的分数。aE分母为5或者6的分 数吗？计算（心算和笔算）或者猜测。结论：a不是分母为5和6的 分数。a是分母为多少的分发现、归纳：任何最简分数数？的平方还是一个分数，|因此，a不是（任何分母的）分数。结论：a不是分母为3的分数般”，通过大 量式子的感 知，从而达到 难点的突破， 在此也让学 生体会数学 中“特殊到一 般”这种认识 问题、研究问 题的方法。1. a既不是整数，也不是分数，说明 a不是有理数，我们需要引入新数,新数叫什么名字，有什么特点？我们后面会逐步学习。2.本节内容采用的是对有理数分类的方式，

10、说明新数既不是有理数的整数 类，也不是有理数的分数类。预计时间：15分钟教学内容教师活动学生活动教学评价活动三： 了解数 学史，体 会数学 文化让学生阅读材料，并说出自己的 感受：公兀前500年，古希腊的毕 达哥拉斯学派认为“宇宙间的一 切现象都能归结为整数或整数之 比，即都可用后理数来描述。这学派成员希伯索斯发现边 长为1的正方形的对角线的长不 能有理数来表示，这就动摇了毕 达哥拉斯学派的信条，引起了信 徒们的恐慌。师问：通过阅读上面的数学故事， 你有什么感受？生：通过阅读，我了解 无理数并非“无理”， 它和有理数一样，都是 客观存在的量的反映。源于数学课 后阅读材 料，让学生 了解数学 史

11、，同时也 可以培养学 生敢于质 疑，勇于挑 战的精神。活动四： 反馈测 评，再现 研究，巩 固新认 知一、学生观察图 2-1后回答卜面问题：(1)如图：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为 b, b满足什么条件？生：(1)面积为5y=5 2、4 , 3?=9, 2<b<3, b不是整数， 任何最简分数的平方仍 然是最简分数，所以 b 不是分数。综合b不是 有理数。1 .它是我们 前圜活动的 运用和巩 固。让学生 再次经历无 理数的感知 和推理过 程。2 .它也是前 面活动的拓 展，让学生 意识到这种 不是有理数 的新数还存 在其他事物 中，初步感 受

12、到无理数 存在的普遍 性。2L1 |(3)bb是有理数吗？预计时间：4分钟预计时间：3分钟书设计活动五： 回顾与 总结：1.让学生自己从知识上总 结：本节课我们学到了什么 知识？生：学到了生活中存 在着不是有理数的新 数，并且它大量存在。知识是关键，但是我 们不光要让学生学 到知识，还以知识为 载体让学生学到一 种数学研究方法和 一种数学讨论问题 的方式，这样才能真 正做到“以学生的发 展为本”的教学理O2 .师生共同从方法上总结：本节课除了知识上，方法上我们也来回顾和总结一下。教师提问：在讨论大正方形 的边长是否为有理数时，我 们是怎样讨论的？生：是分为整数和分 数两种情况来讨论 的。总结：“分类讨论”的数学说理方法。教师提问：仕研允大正方形 的边长是否为分数时，我们 怎样研究的。生：是从最简单，最 特殊的分母为2的分 数，再到分母为任意 数的分数。总结：“特殊到一般”的研究方法。预计时间：2分钟有理数1.学生拼图部分展示：教师计算：2. a是不是整数