2017年江苏省南通市高考数学一模试卷

1、2017年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. （5分）函数产25in（3xT）的最小正周期为 -2. （5 分）设集合 A=1, 3, B=a+2, 5, AAB=3, WJ AU B=.3. （5分）复数z=（1+2i） 2,其中i为虚数单位，则z的实部为.4. （5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球的概率 为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为 .5. （5分）如图是一个算法的流程图，则输出的 n的值为.6. （5分）右头数x, y两足则z=3x+2y的取大值为.7. （5分）抽样统计甲、乙两名学

2、生的 5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 .8. （5分）如图，在正四棱柱 ABCA AiBiCiDi中，AB=3cm, AAi=1cm,则三棱锥Di- A1BD的体积为 cm3.*2 29. (5分)在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线三3、=1 (a0, b a2 b20)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .10. (5分)九章算术中的 竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各 节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则

3、该竹 子最上面一节的容积为 升.11. (5分)在 ABC中，若前?而+2正?正=承?则耳辿的值为.sinC12. (5分)已知两曲线 f (x) =2sinx, g (x) =acosx, xC (0,?)相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数 a的值为.13. (5分)已知函数f (x) =| x|+| x-4| ,则不等式f (x2+2) f (x)的解集用 区间表示为.14. (5分)在平面直角坐标系xOy中，已知B, C为圆x2+y2=4上两点，点A (1, 1),且AB,AC,则线段BC的长的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (14分)如图，

4、在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角 % 其终边与单位圆交于点 A.以OA为始边作锐角B,其终边与单位圆交于点B,AB岑5(1)求cos B的值；(2)若点A的横坐标为之，求点B的坐标.16. (14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC, BD 相交于点。，点E为PC的中点，OP=OC PA，PD.求证：(1)直线PA/平面BDE;(2)平面BDE1平面PCD17. (14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆号十4二1 (ab0)的离心率为返，焦点到相应准线的距离为1. 2(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点。作OP的垂线

5、交直线 厂近于点Q,求一二二yOP2 OQZ 18. (16分)如图，某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已 知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFEfi直线EF翻折 到MNFE处(点C, D分别落在直线BC下方点M, N处，FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪.(1)当/EFP=L时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；4(2)若使裁剪得到的四边形 MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由.19. (16分)已知函数 f (x) =ax2-x-lnx, aCR.(1)当时，求函数f (x)的最小值； Q(2)若-1a0,证明：函数f (x)有

6、且只有一个零点；(3)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.20. (16分)已知等差数列an的公差d不为0,且外，5，ak ，(4 t IEk2- kn2k包成立， n a nn求a1的取值范围.南通市2017届高三第一次调研测试数学R (附加题)选做题本题包括四小题， 请选2题作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.选彳4-1:几何证明选讲21. (10分)已知圆O的直径AB=4, C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD 求AOCE的面积.选彳4-2:矩阵与变换22. (10分)已知向量1是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量.在平

7、面直角坐标系xOy中，点P (1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P (3, 3), 求矩阵A.选彳4-4:坐标系与参数方程23. 在极坐标系中，求直线e1-(pER)被曲线p=4sin质截得的弦长.选彳4-5:不等式选讲24. 求函数尸3sdnx+2每荻石的最大值.必做题共2小题，满分20分)25. (10分)如图，在棱长为2的正方体ABCA A1B1C1D1中，P为棱GD1的中点, Q为棱BB上的点，且BQ3 BB (廿0).(1)若人为,求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA与平面APQ所成的角为45,求实数人的化26. (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py(

8、 p0)上的点M (m,1)到焦点F的距离为2,(1)求抛物线的方程；(2)如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点 E处的切线与x轴相交 于点P,直线PF与抛物线相交于A, B两点，求 EAB面积的最小值.第5页(共30页)2017年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. （5分）函数尸工一土）的最小正周期为33【分析】根据函数y=Asin （叶小）的周期等于 竺，得出结论.【解答】解：函数尸2KM3工一土）的最小正周期为 里，33故答案为：3【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了 y=Asin （肝小）的

9、周期等于22L,属于基础题.2. （5分）设集合 A=1, 3 , B=a+2, 5, AH B=3,则 AU B= 1, 3, 5【分析】由交集的定义，可得a+2=3,解得a,再由并集的定义，注意集合中元 素的互异性，即可得到所求.【解答】解：集合 A=1, 3, B=a+2, 5, AH B=3,可得a+2=3,解得a=1,即 B=3, 5,则 AU B=1, 3, 5.故答案为：1, 3, 5.【点评】本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的 互异性，属于基础题. （5分）复数z=（1+2i） 2,其中i为虚数单位，则z的实部为 -3 .【分析】直接利用复数代数形式

10、的乘法运算化简得答案.【解答】!： V z= （1+2i） 2=1+4i+ （2i） 2=- 3+4i,；z的实部为-3.故答案为：-3.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.4. （5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为0.17 .【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论.【解答】解：二.摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,摸出蓝球的概率为1 -0.48-0.35=0.17.故答案为0.17.【点评】本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题

11、的 关键.5. （5分）如图是一个算法的流程图，则输出的 n的俏为57T 1 ? 口 - 1（H）【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满 足a0【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=3x+2y 得 y= x+z2 乙平移直线y= x+-z,2 2由图象可知当直线y=- Wx+*lz经过点A时，直线y=-0x+Lz的截距最大， 2 22 2此时z最大.由产+解得a1什3尸7代入目标函数z=3x+2y得z=3X 1+2 X 2=7.即目标函数z=3x+2y的最大值为7.

12、故答案为：7.-5【点评】本题主要考查线性规划的应用， 利用目标函数的几何意义，结合数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法.7. （5分）抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩（单位：分），结果如下:学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070第9页（共30页）则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为20 .【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2$乙2,则乙的成绩较为稳定；即可得答案.【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数7甲=65+8升70+85+75=75其方差S甲 52(65- 75) 2+ (80- 75) 2+

13、(70- 75) 2+ (85- 75) 2+ (75- 75) 2 =50;5对于乙，其平均数乙=*计70+75+:0+70=75其方差s乙2=L(80- 75) 2+ (70 55 75) 2+ (75- 75) 2+ (80- 75) 2+ (70 75) 2 =20;比较可得：S甲2$乙2,则乙的成绩较为稳定；故答案为：20.【点评】本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式.8. (5分)如图，在正四棱柱 ABCA AiBiGDi中，AB=3cm, AA二1cm,则三棱QiCj锥Di- Ai BD的体积为_,_cm3.4s【分析】三棱锥Di AiBD的体积血二丫十人1)-d.dAB,

14、由此1111 w11能求出结果.【解答】解：二.在正四棱柱ABCD- AiBiCiDi中，AB=3cm, AA=icm,三棱锥Di-AiBD的体积:： 二 =vz 1 1 广1111. W11=.，=yX3X IX 3=1 (cm3).故答案为：得.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空 间思维能力的培养.2 29. （5分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线三三=1 （a0, b a2 b20）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 二.【分析】利用双曲线的渐近线方程得到 a, b关系，然后求解双曲线的离心率即 可.22【解答】解：直线2x+y=0

15、为双曲线三U=1 （a0, b0）的一条渐近线，a2 b2可得 b=2a,即 c - a2=4a2,可得=.n. a故答案为：二【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.10. （5分）九章算术中的 竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各 节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹 子最上面一节的容积为 量升.一丝一【分析】设最上面一节的容积为ai,利用等差数列的通项公式、前n项和公式列 出方程组，能求出结果.【解答】解：设最上面一节的容积为ai,由题设知d=34al(9%d) -(6a1+y-d)=4解得巧嗡.故答案为：, 22【点评】本题考查等

16、差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用.11. （5分）在 ABC中，若前?标+2位?屈=而?则空吟的值为 sinC【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出国迫的值.sinC【解答】解：在 ABC中，设三条边分别为a、b, c,三角分别为A、B、C,得 ac?cosBn2bc?cosA=ba?cosC由余弦定理得：(a2+c2 - b2) + (b2+c2 - a2) = (b2+a2 - c2),222化简得 =2,由正弦定理得空生=1=&. sinC c故答案为：丁.【点评】本题考查了平面向量的数量积

17、以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目.12. (5分)已知两曲线 f(x)=2sinx,g(x)=acosx,xC (0,)相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数 a的值为竽.【分析】联立两曲线方程，可得tanx主血 =1, a0,设交点P (m, n),分别 cosx 2求出f (x), g (x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1,再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值.【解答】 解：由 f (x) =g (x),即 2sinx=acosx即有 tanx=Kn=2 a0,COSK 2设交点P (m, n),f (x) =2sinx

18、的导数为 f(x) =2cosx,g (x) =acosx的导数为 g (x) =- asinx,由两曲线在点P处的切线互相垂直，第11页（共30页）可得 2cosm? ( asinm) =- 1,且 tanm=, 2则:一 1- 1 =1.si nin+co s in分子分母同除以cos2m,即有-1 -：1 =1,即为a2=i+- 4 解得a=-.1+ta rTm3故答案为：巫.3【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1,同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.13. (5分)已知函数f (x) =| x|+| x-4| ,则

19、不等式f (x2+2) f (x)的解集用区间表示为班, +8)_【分析】 令 g (x) =f (x2+2) - f (x) =x2+2+| x2- 2| - | x| - | x - 4| ,通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.【解答】 解：令 g (x) =f (x2+2) - f (x) =x2+2+| x2 - 2| - | x| - | x- 4| ,x4 时，g (x) =2。2x+40,解得：x4;血&x0,解得：x&或 x一故&x 4;00x0,不合题意；-&x0,不合题意；x0,解得：x1 或 x 2,故 xb0) a b的离心率为率，焦点到相应

20、准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点。作OP的垂线交直线 三日于点Q,求，二一OP2 0Q?然后求解椭圆的方程.【分析】(1)由已知条件可得 工q区，卦d , a 2 c(2)由题意知OP的斜率存在.当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率2不为0时，设直线OP方程为y=kx.联立方程组，推出op2二%ii.OQ2=2k2+2.然 2k41后求解即可.【解答】解：(1)由题意得，工里,二-51,分 a 2 c解得a=V, c=1, b=1.2 广所以椭圆的方程为5-+yJl.4分(2)由题意知OP的斜率存在.当OP的斜率为0时，足&, 0所以二1.十分OP2

21、 OQZ当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx.V 2_2T+V n 得（2k2+1） x2=2,解得 /二1,所以/二T-, 产以2k%2k%2所以0p2=2k +2 .子分2k2+l因为OP,OQ,所以直线OQ的方程为尸乂.kfy=V2由， 1得用Mk,所以OQ2=2k2+2.仅分y=一 2-o-综上，可知工一:1. 14分.OP2 0Q2【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用, 考查转化思想以及计算能力.18. （16分）如图，某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已 知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFEfi

22、直线EF翻折 到MNFE处（点C, D分别落在直线BC下方点M, N处，FN交边BC于点P）, 再沿直线PE裁剪.（1）当/EFP三时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；4（2）若使裁剪得到的四边形 MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由.第19页（共30页）【分析】（1）当/EFP=时，由条件得/ EFPW EFD=/ FEP亍.可得FN BC,四边形MNPE为矩形.即可得出.（2）解法一：设/EFD= 8由条件，知/EFPM EFD4 FEPW.可得委听眸3点后皿r四边形MNPE 面积为$的（皿+庙）陋=|（3-/）+（37）X2=64r需甲，化 简利用基本不等式的性质即可得出

23、.解法二：设 BE=tm , 3Vt 6 ,则 ME=6 - t .可得 PE=PF,即t-BP -2-2BP啖号NP=3-T+差孑,四边形MNPE面积为sg(贿ME)MN=(3-t+照号) + (6-t) X2=6-1(t-3)+-,禾用基本不等式的性质即可得出.【解答】解：（1）当/EFP=L时，由条件得/ EFPW EFDW FEP三. 44所以/ FPE三.所以FNI BC, 2四边形MNPE为矩形.分所以四边形MNPE的面积S=PN?MN=2m2.5分（2）解法设NEFD= e Sa2L),由条件，知/ EFP之 EFD玄 FEP=e.2sin2 9Q00由37o 得，oe)然2 =

24、 22 sin2tanb22= 1 2/(必/日 +cq- 9 )( o 心 3)12分tan6 sin2 8 tan 2sin6 costan046-2、八an 8 =6-2 近 V tanU当且仅当1aBe二即谢。二F，e二二时取二：仰分 tan3此时，（*）成立.答：当NEFEh时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大, V最大值为6-2m2. 化分解法二：设 BE=tm, 3Vt3-(LBP)：3-tHj(U4分由3to 2(37 /u3-t+2O-t) 0r3t6得,t2-12t+310k_2所以四边形 MNPE 面积为 S=(MP+ME)Mn4(3t+探%) +(6T) 乂2 =

25、比尹呼侬 = K L3当且仅当象L3)二七，即仁3+他 华时取“三” 乙X oY J o此时，(*)成立.14分答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大,最大值为6-2V3m2.化分.【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三 角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19. (16分)已知函数 f (x) =ax2-x-lnx, aCR.(1)当旧时，求函数f (x)的最小值； -j(2)若-1aq 当 a0 XX时，函数f (x)在(0, +oo)上最多有一个零点，当-10a00时，f (1) =a- 11 2_ j.0,

26、推出结果.e c2(3)由(2)知，当a00时，函数f (x)在(0, +oo)上最多有一个零点.说明a0,由f (x) =aq xlnx,得尸(工)二叁心匚L, (x。)，说明函数f x(x)在(0, X0)上单调递减；在(X0, +00)上单调递增.要使得函数f(X)在(0, +OO)上有两个零点，只需要axXo-lnXoO.通过 函数h (x) =2lnx+x- 1在(0, +00)上是增函数，推出 0a 1 .验证当0a 0).分令 f (x) =0,彳# x=2,当 xC (0, 2)时，f (x) 0, 所以函数f (x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +8)上单调递增.所以当

27、x=2时，f (x)有最小值f,二3-1口2 .4分2(2)由 f (x) =ax2-x- lnx,得仁 二2k1,二2ax rT x0 . KX所以当 a00 时，F G)二 2a JrT函数f (x)在(0, +00)上单调递减，所以当a00时，函数f (x)在(0, +OO)上最多有一个零点.4分因为当一10a00 时，f (1) =a10,e e2所以当-1&a00时，函数f (x)在(0, +00)上有零点.综上，当-1&a0 0时，函数f (x)有且只有一个零点.由分(3)由(2)知，当a00时，函数f (x)在(0, +刃 上最多有一个零点.因为函数f (x)有两个零点，所以a0

28、.9分由 f (x) =a/- x- lnx, 得F (k)(x0), 令 g (x) =2a/-x- 1.因为 g (0) =- 10,所以函数g (x)在(0, +oo)上只有一个零点，设为x.当 x (0, x0)时，g (x) 0, f (x) 0,f (x) 0.所以函数f (x)在(0,刈)上单调递减；在(x0, +00)上单调递增.要使得函数f (x)在(0, +OO)上有两个零点，只需要函数f (x)的极小值f (xo) 0,即己谥rQ-lnxo0,又因为函数h (x) =21nx+x- 1在(0, +00)上是增函数，且 h (1) =0,所以xO 1,得0-1 1.xo又由

29、2日君-工0-1二。，得2a=(工)+工二(上+ 2，0M M 功 24所以 0a1. 1初以下验证当0a1时，函数f (x)有两个零点.当0a0,所以u a因为 f上Mo,且 f (x。)0 (因为 lnx&x 1),且 f (小)0.a a2 a a a a所以函数f (x)在(*, Z)上有一个零点.u a所以当0a0). x x令 t (x) =0,彳# x=1.当 xC (0, 1)时，t (x) 0.所以函数t (x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +00)上单调递增.所以当x=1时，t (x)有最小值t (1) =0.所以 t (x) =x- 1 - 1nx0,得 1nxx-

30、 1 成立.【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造 法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力.第21页(共30页)20. (16分)已知等差数列an的公差d不为0,且为，气，at ，(ki12匕k2- kn2k包成立， in求ai的取值范围.【分析】(1)由已知得：ai, a3, a8成等比数列，从而4d2=3aid,由此能求出? d的化(2)设数列kn为等比数列，则k/=kkq，推导出之二1,从而钝=k,d,进d 1 Jdk . nEa而k二kH“T-由此得到当之二1时，数列kn为等比数列2 k hl(3)由数列kn为等比数列，a1=d, k =k1qnl(qD

31、 得到n 1n+kq+ k T0-巴丁二I门:成立,再证明对于任意的正实数 0稣1), ai 2kiqn-1 2 2k 总存在正整数由，使得 2 .q：n, 餐要证,即证lnn1 n1lnq+ln &由此能求出a1的取值范围.qn，【解答】解：(1)由已知可得：白, 33, a8成等比数列，所以 匕1斗2d) 2=叼(5+7l) .ak 二4 qT =k 1 dqkuk a】qki, an=ai+ (n 1) d=nai . c l因为对于任意nC N ,不等式& +a 2k包成立. ILlli所以不等式n冉+kia、ki2kqg,即%青9,弋2k工包成立.10分2 2kl 、.，一, 一q卜

32、面证明：对于任意的正实数 e （0 e 1）,总存在正整数ni,使得n。时，原式得证. u21 nq一 - 要证- ,即证 lnni nilnq+ln eq、因为 Inx(工则,mi=21nn/门2 ,1 1解不等式n1 2 0,可得.:1+Vf-41nqin 121nq,所以（山耍逅二）2.121nq.16分所以所以ai2,即得ai的取值范围是2, +）. a1 2【点评】本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法， 考查满足等比数列的等 差数列的首项与公差的比值的确定， 考查数列的首项的取值范围的求法， 综合性 强，难度大，对数学思维要求较高.南通市2017届高三第一次调研测试数学R （附加

33、题）选做题本题包括四小题， 请选2题作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.选彳4-1:几何证明选讲21. （10分）已知圆O的直径AB=4, C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD 求AOCE的面积.【分析】由相交弦定理，得CD, DE中点H,则OH,DE,利用勾股定理求出OH, 即可求出 OCE的面积.【解答】解：设CD=x,则CE=2x因为 CA=1, CB=3,由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE所以1X3=x?2x=2,所以,一一.2分取DE中点H,则OHDE.因为 QH2=0E-EH2=4-（y x） 2=-,所以oh争.分又因为比

34、二2贮退，所以 OCE的面积:S*DH,CE=乂灰XpLT阴.【点评】本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.选彳4-2:矩阵与变换22. (10分)已知向量1是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中，点P (1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P (3, 3),求矩阵A.【分析】设探,根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值,第27页（共30页）求得A.【解答】解:设A=因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量,所以=(-1)1-1-1.所以、因为点P (1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P (3, 3)

35、,所以.10分.所以、解得 a=1, b=2, c=2, d=1,所以 a二【点评】本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题.选彳4-4:坐标系与参数方程23. 在极坐标系中，求直线e4(pER)被曲线P =4sin质截得的弦长.【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出 A, B的坐标，即可求直线 b4(PR)被曲线P=4sin所截得的弦长.【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.直线e-(p R)的直角坐标方程为y=xD,弓分曲线p =4sin曲直角坐标方程为x2+y2 - 4y=02).4分由得产或尸之8分尸0 (y=2所以 A (0,

36、 0), B (2, 2),所以直线6号(区)被曲线p=4sin所截得的弦长AB幺也.1阴.【点评】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础.选彳4-5:不等式选讲24. 求函数y=3sdmt+A/2+2cos2工的最大值.【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即 可.【解答】解：y=3sinic+22+2cos2x=3sinx+4?7cos2x 2由柯西不等式得了2二（3式“升4几百）2（3,42）（式口勺+8）=25，8分所1以ymax=5,止匕时sinx二色.5所以函数y=3sinx+2M2+2cos2K的最大值为5.T。分.【点评】本题考

37、查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计 算能力.必做题共2小题，满分20分）25. （10分）如图，在棱长为2的正方体ABCA AiBiCiDi中，P为棱GDi的中点, Q为棱BBi上的点，且BQ3 BB （ R 0）.（D若X A求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AAi与平面APQ所成的角为45,求实数人的化【分析】（i）以靛，筋， 函为正交基底，建立如图所示空间直角坐标 系A-xyz.求出京二（1, 2, 2）,同二0, 1）,利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值.（2）为二（0, 0, 2）,而二口，2）求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可.【解答】解：以诲，而为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A- xyz.2,2），丽二0, 1)，AP-AQ a X 2+2 x Q+2X1 W