参数方程(练习带答案)

1、Word格式参数方程一.解答题(共23小题)1 .已知曲线C的极坐标方程是p =4cos 8 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直i的参数方程是(v丘口(t ytsinS是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|二，H,求直线的倾斜角a的 化2 .在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,VI直线l的参数方程为x=-t不(t为参数)，曲线C的极坐标方程为P =4.(1)若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程;(2)若点P (0, 2), l和曲线

2、C交于A, B两点，求完美整理3 .以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线 Ci的参数方程为("cos。，(a为参Ly=sinCl数，且a e 0 ,兀)，曲线G的极坐标方程为P =-2sin 9 .(1)求G的极坐标方程与G的直角坐标方程；(2)若P是C上任意一点，过点 P的直线l交G于点M N,求|PM|? |PN|的 取值范围.4 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(K=1+tcosQ (t为参数)，在极坐(y=2+tsin a标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴非负半 轴为极

3、轴)中，圆C的方程为p =6sin 9(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P (1, 2),设圆C与直线l交于点A、B,求一 |PA|1|PE|的最小值.5 .在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知-4)的直线l的参数方程为曲线 C: p sin 2 0 =2acos 0 ( a>0),过点 P ( - 2,(t为参数)，l与C分别交于M N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;(2)若|PM|, |MN|, |PN|成等比数列，求a的值.6.已知曲线C的参数方程为cosO. - 1 /SsinCt(a为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴

4、为极轴建立极坐标系.(I)求曲线C的极坐标方程;(n)若直线1的参数方程为,其中t为参数，求直线1被曲线C截得的弦长.7 .在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p sin 2 8 =acos 0 (a>0),过点P(-2, -4)"零 t的直线1的参数方程为, 二 (t为参数)，直线1与曲线C相交于A, B尸-牡除tIW两点.(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线1的普通方程;(口)若 |PA| ? |PB|=|AB| 2,求 a 的值.8 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为|尸九口6"(口为参数)，

5、在尸 sind以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 1的极坐标方程为(I )求C的普通方程和1的倾斜角；(H)设点 P (0, 2), 1 和 C交于 A, B两点，求 |PA|+|PB| .9 .在直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的参数方程为,(t为参数)，P点的极坐标为(2,7t曲线C的极坐标方程为p cos2 0 =sin 0 .(I)试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线 C的焦点坐标;(n)设直线l与曲线C相交于两点A, B,点M为AB的中点，求|PM|的值.10 .已知曲线C的极坐标方程是P=1,以极点为原点，极轴

6、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(十为参数)(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换二2,得到曲线c，设曲线c，上任一点为 mx, y =yy),求x+2，5V的最小值.11.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(其中t为参数)，现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为p =4cos 0 .(I)写出直线l和曲线C的普通方程；(n)已知点p为曲线C上的动点，求p到直线l的距离的最小值.12 .已知曲线C:2+-=1,直线l :'工(t为参数)4 9尸2 - 2t(I)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方

7、程.(n)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA| 的最大值与最小值.13 .在直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线。：产-4+sst «为参数)，g：八二&(8为参数).Ly=3+sinty=Ssin 6(I)化G, G的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(II)若C上的点P对应的参数为t=q, Q为Q上的动点，求PQ中点M到直线 G: p (cos 8 - 2sin 8) =7距离的最小值.14.已知直线l的参数方程为x=l+V2tLy=V2t(t为参数)，以坐标原点为极点,正半轴为

8、极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是p二 叫1 - sin 8(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点 的坐标.15 .在平面直角坐标系xOy中，已知G: K=c°s0 (8为参数)，将C上的所 (y=sin 9有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的血和2倍后得到曲线G以平面直角坐 标系xOy的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标 系，已知直线 l : p ( Micos 8+sin 8) =4(1)试写出曲线G的极坐标方程与曲线G的参数方程；(2)在曲线G上求一点P,使点P到直线l

9、的距离最小，并求此最小值.16 .选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是p=2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平-2-ft面直角 坐标系，直线l的参数方程为, 泰 (t为参数).E号t(I)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；(R)设曲线C经过伸缩变换(葭=1t得到曲线C'设曲线C'上任一点为 Mx, y =2yy),求。R+/丁的取值范围.17.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为鲁(t为参数),以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为P=2仃sinO .(1)写出直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程；(2)点P是直线l上的

10、，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.18 .已知直线G:产tcmu+l (t为参数),圆G: /K=tcosa+1 (a为参数) y=tsinCl +2ly=tsind +2(I)若直线G经过点(2, 3),求直线G的普通方程；若圆G经过点(2, 2),求圆G的普通方程；(H)点P是圆G上一个动点，若|OP|的最大值为4,求t的值.19 .在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极1 zycos a坐标系.曲线C的参数方程为，(a为参数)，曲线G的极坐标方y=l+ysinCl程为 p 2 (sin 2 0 +4cos2 0) =4.(1)求曲线C与曲线C2的普通方

11、程；(2)若A为曲线G上任意一点，B为曲线G上任意一点，求|AB|的最小值.20.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，V5="-t（t为参数）.以原y=- 5+yt点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p =273 cos 0 .(I)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；(R)若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当|PQ|取得最小值时，求 P的直角坐标.c5兀x=2+2tsirr-j:-21 .已知曲线C: 9x2+4y2=36,直线l : ，0 (t为参数)y=2+4tcos-LJ(I)写出曲线C的参数方程，直线l的普通

12、方程；(n)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.22 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜二(口为参数),在以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为p sin (B 4-) =2V-2.(I)分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；(n)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为(-2, 2),求 |PB|+|AB|的最小值.参数方程参考答案与试题解析一.解答题(共23小题)1. (2017?惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是p=4cos8.以极点为平面直

13、角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程 是(在1+丘35a (t是参数)Ly=tsina(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|二，«,求直线的倾斜角a的 化【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角 坐标方程；(2)先将直l的参数方程是|炒l+tss 口(t是参数)化成普通方程，再求出弦 尸tsin。心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程 联解，求出对应的参数t1, t2的关系式，利用|AB|=|t 1-t2| ,得到a的三角方 程，解

14、方程得到a的值，要注意角a范围.【解答】解：(1) ; p cos 0 =x, p sin 0 =y, p 2=x2+y2,曲线C的极坐标方程是p =4cos 8可化为： 2p =4 p cos 0 ,x2+y2=4x,(x-2) 2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x-2) 2+y2=4得：市tsin口(tcos a 1) 2+ (tsin a) 2=4, 化简得 t2 - 2tcos a - 3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,t i +1 n=2cos Q则-3, . 1AB曰 1 - t2|= yj (ti + tp2 _ 4tlt£=74cos2a+12 ,|A

15、B|=V14,爪8£%+12=COSa C 0 ,兀),. 兀 _p.3d=-或 a-7i.44直线的倾斜角或442. （2017?达州模拟）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为,J2 . x-12 L （t为参数），曲线C的极坐标方程为p =4.C直角坐（1）若l的参数方程中的一百时，得到M点，求M的极坐标和曲线标方程;（2）若点P （0, 2）, l和曲线C交于A, B两点，求了'占.|PA| |PB|【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论；（2）利用参数的几何意义，求【解答】解：（1）1的参数方程中的1,1

16、|PA| fPB时,M - 1,1),极坐标为H(扬A），曲线C的极坐标方程为p=4,曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16（5分）tj + t2=-2V2-1=16 得t2+26 t-12 二 04-( - 12) VH / 八、(10 分). _. I+ 11 2 I X ( -12二也七1 3. （2017?湖北模拟）以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线G的参数方程为,（a为参数，且a e 0,兀），曲线G的极坐标方程为p=-2sin 9 . 尸 sin 口（1）求G的极坐标方程与G的直角坐标方程；（2）若P是C上任意

17、一点，过点 P的直线l交G于点M N,求|PM|? |PN|的 取值范围.【分析】（1）求出G的普通方程，即可求 C的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出 G的直角坐标方程；'x=xn+tcos Ct（2）直线l的参数方程为：q.（t为参数），代入G的直角坐标方y=yg+tsin1程得（xo+tcos a） 2+ （yo+tsin a+1） 2=1,由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|? |PN|=|1+2y。| ,即可求 |PM|? |PN| 的取值范围.【解答】解：（1）消去参数可得x2+y2=1,因为aC0,兀），所以-1<x<1, 0 <

18、 y< 1,所以曲线G是x2+y2=1在x轴上方的部分，所以曲线G的极坐标方程为p =1 （0< 9 < tt ）.（2分）曲线Q的直角坐标方程为x2+ （y+1） 2="-（5分）（2）设P （x。，y。），则OWyoW 1,直线l的倾斜角为a ,1 x=xn+t cos Ct则直线l的参数方程为：，（t为参数）.（7分）产v/tsi门立代入C2的直角坐标方程得（xo+tcos a） 2+ （yo+tsin a+1） 2=1,由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|? |PN|=|1+2y o| ,因为 O&yo01,所以 |PM|? |PN|= C 1

19、, 3（1O 分）4.（2O17?泸州模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（1十*但理（t ly=2+tsinCl为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 。为极 点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为p=6sin 9（1）求圆C的直角坐标方程;（2）若点P （1, 2）,设圆C与直线l交于点A、B,求IpaT+TpbI的最小值.【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆 c的直角坐标方程;(2)利用参数的几何意义，求广一丁的最小值.|PA| fPBl【解答】解：(1)圆C的方程为p =6sin 9 ,可化为直角坐标方程为 x2+y2=6y, 即

20、 x2+ (y - 3) 2=9;(2)直线l的参数方程为=1+tC (t为参数)，代入x2+ (y-3) 2=9,可得 Iy=2+tsinCL "12+2 (cos a - sin a) t - 7=0, .ti+t2=2 (cos a - sin a) , t 1t 2= - 7,的最小值为里.5. (2016?延安校级二模)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C: p sin 2 0 =2acos 0 (a>0),过点P(-2, -4) 卜-"?t的直线l的参数方程为 L (t为参数)，l与C分别交于M N.尸-4+浮 IW(

21、1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；(2)若|PM|, |MN|, |PN|成等比数列，求a的值.【分析】(1)首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式 P=pcos?,(y=P sinQ方程p sin 2 0 =2acos 0 (a>0),两边同乘以p,化成直角坐标方程，对于直线l ：消去参数t即可得到普通方程；(2)首先，联立方程组,消去y整理，然后，设点 m N分别对应 l y - 2=0参数 t1, t2,从而，得到 |PM|=|t 1| , |PN|=|t 2| , |MN|=|t 1-t2| ,然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有 a的关系式，求解a

22、的取值.【解答】解：(1)血)产 p sm w方程p sin 2 0 =2acos 0 (a>0),两边同乘以p,曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0)；直线l的普通方程为x - y - 2=0.（2）联立方程组俨2axk - y - 2=0消去y并整理，得t2曲线C的普通方程为支乎一+彳二1,- 2 (4+a) V3+8 (4+a) =0(*) =8a (4+a) > 0.设点M N分别对应参数ti, 12,恰为上述方程的根.则|PM|=|t i| , |PN|=|t 2| , |MN|=|t i-t2| .由题设得(tL t2)2=|t lt2| ,即(t l+t2

23、)2 - 4t it 2=|t it 2| .由(*)得 ti+t2=2 (4+a) 花，t it2=8 (4+a) >0,贝U有 (4+a) 2-5 (4+a) =0,彳a a=1,或 a=- 4.; a>0,二 a=1.6 .（2016?陕西校级模拟）已知曲线C的参数方程为-1（a为参数），尸方与珀口以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求曲线C的极坐标方程；（n）若直线I的参数方程为7七，其中t为参数，求直线被曲线C截得 的弦长.【分析】（1）先消去参数，求出曲线的普通方程，然后利用普通方程和极坐标方 程之间的关系进行转化求解即可.（2）直线方程的极坐标

24、为代入曲线C的极坐标方程求出p即可.【解答】解（1） .曲线C的参数方程为，- L （a为参数），ly=V3sinci将卜二P COS e代入并化简得：二3y=P sin 62+cos ®即曲线C的极坐标方程为 p=尸 2+cos&(2)将8二代入p=、得弦长为独. 32+cos 957 . (2016?开封四模)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p sin 20 =acos 0 (a>0),过点P ( - 2, - 4)的直线l的参数方程为,戈二-2+总行一4+*t(t为参数)，直线l与曲线C相交于A, B两

25、点.(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(H)若 |PA|? |PB|=|AB| 2,求 a 的值.【分析】(I)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可;(n)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次 方程，由根与系数的关系，求出 3、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出 a 的化【解答】解：(I)曲线C的极坐标方程p sin 2 0 =acos 0 (a>0),可化为 p 2sin 2 0 =ap cos 0 (a>0), 即 y2=ax (a>0)； (2 分)直线l的参数方程为r-(t为参数)，产-哼I±

26、消去参数t ,化为普通方程是y=x-2; (4分)(H)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax (a>0)中，得 t2 -如（总+8）t+4（a+8）=C；设A、B两点对应的参数分别为t1, t2,则 11+ t 2= JQ+8）,t/tz = 4Q+g）；（6 分）_ _2v |PA| ? |PB|=|AB| ,t1? t2=3-1工)工(t+tp2=(ti - 7)耳43? t2=5ti? t2,(9 分) 即 W5Oa） 2=20（8+幼；解得：a=2或a=-8 （不合题意，应舍去）； ；a的值为2. （12分）8 .（2016?福建模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲

27、线C的参数方程为二3cos" y=sin*（a为参数），在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为Pi；in（e（I ）求C的普通方程和l的倾斜角；（H）设点 P （0, 2）, l 和 C交于 A, B两点，求 |PA|+|PB| .【分析】解法一：（I）由参数方程消去参数 a,得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角.（n）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设 a, B两点对应的参数分别为tl, t2,利用参数的几何意义求解即可.解法二：（I）同解法一.（R）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联

28、立，设 A（xi, yi）, B （X2, y2）,利用韦达定理以及弦长公式求解即可.【解答】解法一：（I）由=消去参数a,得答+产口，1 内 nQ9即C的普通方程为4-十，=1. （2分）由 P sin（6 -子得 p sin 9 - p cos 9 =2, （*） （3分）将卜二 代入（*）,化简得y=x+2, （4分）Ly=P sinf所以直线l的倾斜角为.（5分）,冗（n）由（I ）知，点P （0, 2）在直线l上，可设直线l的参数方程为y=2+tsin（t为参数）,即， （t为参数），（7分）山冬I乙代入7+/二1并化间，行5 t 2+1为巧t+27=0 （8分） J.二4X5X27

29、: 10*>。设A, B两点对应的参数分别为ti, t2,则 +功二-登历<0，所以ti<0, t2<0, （9分）所以 |PA| + |PB|二|幻 |+|1二一（j + 功）咯历.（1。分）D1解法二：（I）同解法一.（5分）（H）直线l的普通方程为y=x+2.由="29 消去 y 得 10x （2016?平顶山二模）在直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴K二-2+?十 为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为厂 （t为参数），P点V2尸丁 的极坐标为（2,冗），曲线C的极坐标方程为p cos2 0 =sin 0 .（I）试将曲线C的极坐标方

30、程化为直角坐标方程，并求曲线 C的焦点坐标； （n）设直线l与曲线C相交于两点A, B,点M为AB的中点，求|PM|的值. 【分析】（I ）把x= p cos 0 , y= p sin 0代入曲线C的方程p cos2 0 =sin 0 ,可 得曲线C的直角坐标方程.,、 . t l + t 2+36x+27=0, （7 分）M +9y =9于是=？，-4X 10X27=2160.设 A （xi, yi）, B（X2, y2）,则尺 +天二-兽<0, x K ->0,所以 xi<0,i 5 i 10x2< 0,（8分）故 |PA| + |PE Tl+"p I K

31、1 - Ol+71 + l 2 I 富2 - 0| 二6 I X t + x2 | = （n）设点A, B, M对应的参数为t1, t2, t0,由题意可知t0二 .把直线 （1。分）l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得tl+t2的值，可得|PM|=|t o| 的值.【解答】解：(I )把x= p cos 0 , y= p sin 0代入p cos2 0 =sin 0 ,可得曲线C 的直角坐标方程为x2=y,它是开口向上的抛物线，焦点坐标为 (0, -1).4(H)点P的直角坐标为(-2, 0),它在直线l上，在直线l的参数方程中，设点A, B, M对应的参数为ti, t2,

32、 t。，由题意可知把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得 t2 - 5721+8=0 -因为二任的声- 4*上180，所以 一 +、=5，贝 IJIPMI二 |=|哥10. (2016?汕头模拟)已知曲线C的极坐标方程是p=1,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为工二1+5Uy=2+t(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换=2,得到曲线c，设曲线c，上任一点为 mx,Ly =yy),求工+2加¥的最小化【分析】(1)利用P2=x2+y2,将p =1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2 (x-1

33、)代入下式消去参数t即可;(2)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线 上任意一点，代入x+2«V,根据三角函数的辅助角公式求出最小值.rs=l+y【解答】解：(1)直线l的参数方程为'旧 代为参数).尸 2+丁 t由上式化简成t=2 (x-1)代入下式得1；立乂-V+2-«二0根据p 2=x2+y2,进行化简得C: x2+y2=1 （2分）（2）尸y设椭圆的参数方程尸2：台e（e为参数）（7分）J、 一 Jr 八2代入C得.亍+ /二1 （5分）贝U K+2Vy=2cos 9+2FsinB =4sin（ 8（9 分）则x+2加y的最小值为

34、-4. （10分）11.（2017?自贡模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为，（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p =4cos 0 .（I）写出直线l和曲线C的普通方程；（n）已知点p为曲线C上的动点，求p到直线1的距离的最小值.【分析】（I ）消去参数t即可得到直线1的普通方程；利用x= P cos 8 , y= P sin 9 将曲线C转化为普通方程；（n）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数 取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论.【解答】解：（I）直线l ： 广 （其中t为参数），消去参数

35、t得普通 争方程y=x - 4.由 p =4cos 8 得 p 2=4 p cos 0 .由 x= p cos 0 , y= p sin 0 以及 x2+y2= p 2,得y2+ （x-2） 2=4;（H）由y2+ （x-2） 2=4得圆心坐标为（2, 0）,半径R=2,而点P在圆上，即O' P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足）， 所以点P到直线l的距离最小值为3M-2.2 2f y-p-L +12. (2014?新课标I )已知曲线C:4+二=1,直线l : ,(t为参数)4 9y=2 - 2t(I)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程.(H)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30

36、°的直线，交l于点A,求|PA| 的最大值与最小值.【分析】(I)联想三角函数的平方关系可取 x=2cos8、y=3sin 0得曲线C的参 数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；(H)设曲线C上任意一点P (2cos8, 3sin 8).由点到直线的距离公式得到 P 到直线l的距离，除以sin30 0进一步得到|PA| ,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解：(I )对于曲线C: -+=1,可令x=2cos 8、y=3sin 0 , 49故曲线C的参数方程为?0为参数).lySsinQ.力士“， (s=2+t ®对于直式l : |y=2- 2t

37、，由得：t=x - 2,代入并整理得：2x+y - 6=0;(H)设曲线C上任意一点P (2cos8 , 3sin 8).P到直线l的距离为d=-14cos 9 +3sin则 |PA | = . a =' 15sin( § + 口) - 61,其中 a 为锐角.sin30 5当sin ( 8 +a ) =- 1时，|PA|取得最大值，最大值为 空"5当sin ( 8 +a ) =1时，|PA|取得最小值，最小值为绝.513. (2016?太原三模)在直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C："cost (t为参数),

38、G：八二8cl y=3+sinty=3sin(9为参数).(I)化G, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(n)若C上的点P对应的参数为t=A, Q为G上的动点，求PQ中点M到直线 2G: p (cos 8 - 2sin 8) =7距离的最小值.【分析】(I)曲线C: X="4tC0St (t为参数)，利用sin2t+cos2t=1即可化 y=3+sint为普通方程；C2: (x=8cose(°为参数)，利用cos2 0 +sin28=1化为普通方程. Iy=3sin0(U)当 t=?时，P( 4,4) ,Q( 8cos 8 ,3sin 8 ),故 M -

39、2+cos e , 249门9 ), 直线G: p ( cos 9 - 2sin 9 ) =7化为x - 2y=7,利用点到直线的距离公式与三 角函数的单调性即可得出._. . . _ . _ 4+cn g+. . .o【解答】解：(I)曲线G:，(t为参数),化为(x+4) 2+ (y-3)y=3+sint2=1,.C为圆心是(-4, 3),半径是1的圆.K(8为参数)，化为总j"+二1y=3sin9G为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(H)当 t=,时，P( -4,4) ,Q 8cos 9 , 3sin 9 )，故 M- 2+48日曰，2 吟 si

40、nB ),直线 G: p ( cos 0 - 2sin 0 ) =7化为 x-2y=7,M至U C3的距离 d=|4sse - BsdnB -13|坐|5sin (8+。)+13| , 55从而当cossin 8二三，sin 8=-g时，d取得最小值 里&.55514. （2016?衡阳三模）已知直线l的参数方程为口芋1 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是p二1 - sin 8（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点 的坐标.【分析】本题（1）可以先消参数，求

41、出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出 P 到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出 P点的坐标，得到本题 结论.【解答】解：（1）.产x y=1.,直线的极坐标方程为：p cos 0 - p sin 8=1.即及PlcQsSc。- sinS sin-）=l,即cos（6 4-_）=1 -P 二 5M 口，1 - sin2 日p=V， cos a p cos2 0 =sin 0 ,（ p cos 0） 2= p sin 0 即曲线C的普通方程为y=x2.（2）设 P （x。，y。）， , 2 兀，. P到直线的距离：

42、22，。71一屋口一，。号一区W）号“近 一 近一 近 一 6当孙卫时，d -二也,耳o 2g.此时 p（JL, !_）、24.当p点为（L, L）时，p到直线的距离最小，最小值为 处.24815. （2016?衡水校级二模）在平面直角坐标系 xOy中，已知G:卜二（8ly=sin0为参数），将C上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 &和2倍后得到 曲线。以平面直角坐标系xOy的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的 单位长度建立极坐标系，已知直线l : p （泥cos 0 +sin 0） =4（1）试写出曲线G的极坐标方程与曲线G的参数方程；（2）在曲线G上求一点P,使点P

43、到直线l的距离最小，并求此最小值.【分析】（1）把C消去参数化为普通方程为x:+1 =1+y2=1,再化为极坐标方程.根据 函数图象的伸缩变换规律可得曲线 Q的普通方程，再化为极参数方程.（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P （加cos 8 , 2sin 8）,求得点P到2 I6sin（ 8+十）- 2 |直线的距离为d=3一&,故当sin （ 8 +） =1时，即8 =2k：t +V34工，kCz时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得 P的坐标以及此最小值 4【解答】解：（1）把。：尸例*： （ 8为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2=1, y=sin 日故曲线C:的极坐

44、标方程为p=1.22故曲线G的极参数方程为x=V2os 8 y=2sin6再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线G的普通方程为 方）+或_）=1,即(2)直线 l : p ( V2cos 0 +sin 8) =4,即 &x+y-4=0,设点 P (V2cos 0 , 2sin 0),JTI A » A - 4 I 2 IV2sin（ H +） 2 I则点P到直线的距离为d=3一35肛=，V2+1V3故当 sin （ 8 +?!） =1 时，d取得最小值，此时，9 =2k：Tt +JL,kCz,点 P （1, 44近）,故曲线G上有一点P （1,也）满足到直线l的距离的最小值为

45、地-迟.3316. （2016?晋中模拟）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是p=2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平2 一全面直角 坐标系，直线l的参数方程为、厂 （t为参数）.E号t（I）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（R）设曲线C经过伸缩变换（y二”得到曲线C'设曲线C'上任一点为 Mx, y =2yy）,求乃的取值范围【分析】（I）利用p2cos 0 +；X4$inS =2sin S +2V5cos 8 =4sinw4. . V3x+yy的取值范围是-4, 4（10分） 建=x2+y2,将p =1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的

46、上式化简成t=2 （x-1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入 而根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可.【解答】解：（I）直线l的普通方程立x+y-2/5-1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4;（4分）r /Z（R）曲线C经过伸缩变换 t=：得到曲线C'的方程为J+一=4,Ly =2y4则点M参数方程为x=2cos0|y=4sin 0代入在xWy得,幻, ：）x+ y=V ?2e -4,17. （2016?池州一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为极坐标方程为P =2V3sin0 .x轴正半轴为

47、极轴建立极坐标系，圆（1）写出直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程;（2）点P是直线l上的，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.【分析】（1）由已知得t=x -3,从而y=J5（x-3）,由此能求出直线l的普通方程；由P=2V3sm0 ,得p2=2V3Psine ，由此能求出圆C的直角坐标方程.（2）圆C圆心坐标C （0,如）,设P （3+t, V3t）,由此利用两点间距离公式陶产参数）,能求出点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.【解答】解：（1）二.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t=x3, .y=V 缶- 3),整理得直线l的普通方程为V3-y 3始=0,. P=2V3sin6，

48、.二 p S=2V3P sinO，/+/二2/¥，圆C的直角坐标方程为： J+（y-病）2二3.（2）圆C:算。（厂 行）纪3的圆心坐标C （0,无）.丁点P在直线l : 正，一 ¥一3m=0上，设p（3+t ,近t）,则|PC|= d（3+t ），+（V5t -后），t=0 时，|PC| 最小,此时 P （3, 0）.18.（2016?龙岩二模）已知直线。：二乜口0"+1 （t为参数），圆C2：产tcQ+l y=tsind +2ly=tsind +2（a为参数）（I）若直线G经过点（2, 3）,求直线G的普通方程；若圆G经过点（2, 2）,求圆Q的普通方程；（H

49、）点P是圆G上一个动点，若|OP|的最大值为4,求t的值.【分析】（I ）直线G:（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=+2（x - 1） tan a +2,把点（2, 3）代入，解得tan a ,即可得出直线 G的普通方程.由圆C2：八二丘口总Q+l （a为参数），利用cos2a+sin2a =1消去参数a化 （y=tsind +2为普通方程，把点（2, 2）代入解得t2,即可得出圆G的普通方程.（II ）由题意可得：|OP|ma=|OG| + |t| ,代入解得t即可得出.【解答】解：（I ）直线G：（归tc*a+l （t为参数）,消去参数t化为普通方程： ly=tsind +2y=

50、（x - 1） tan a +2,直线 C 经过点（2, 3）, ；3=tana+2,解得 tana =1.直线C的普通方程为y=x+1.圆 q： （K=tcosCt+1 （a 为参数），化为普通方程：（x-1） 2+ （y-2） 2=t2, IytsinCI+2;圆 G经过点（2, 2）,.t2=1,圆G的普通方程为：（x-1） 2+ （y-2） 2=1.圆心G= （1, 2）,半径r=1 .（II ）由题意可得：|OP|ma=|OG|+|t| , a 4=/5+|t| ,解得 t= ± （4-V5）.19. （2016?河南三模）在平面直角坐标系 xOy中,正半轴为极轴建立极坐标

51、系.曲线 G的参数方程为；以坐标原点O为极点，x轴'1 xycos 口乙（a为参数）,y=l+ysind曲线G的极坐标方程为p2 (sin 2 0 +4cos2 0) =4.（1）求曲线C与曲线G的普通方程；（2）若A为曲线G上任意一点，B为曲线G上任意一点，求|AB|的最小值.（1仃xycos 口【分析】（1）曲线G的参数方程为，（a为参数），利用y=l+ysinClcos2 a+sin 2 a =1可得普通方程.曲线C2的极坐标方程为p2 （sin 2 8+4cos2 8）=4,利用y= p sin 8, x= p cos 0即可化为直角坐标方程.（2 ）设 B （ cos。，2s

52、in B ）,则 |BCi尸。Jb +（2sinb - 1） ?= 巾（式口§ _卷）2卷,利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得 出.f 1 门xycos 口【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（a为参数），y=l-bysina利用 cos2 a+sin 2a =1 可得：x2+ （y1） 2=L 圆心 C （0, 1）.4曲线G的极坐标方程为p2 （sin 2 0 +4cos2 0） =4,可得直角标准方程：y2+4x2=4,即+y2=4.（2）设 B （cos B , 2sin 0 ）,则旧C|=d"B+in1产-犷得*,当sin 6二|时取 等号.|AB|的最小值粤J 20.（2016?武昌区模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，尸-5+5t（t为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p =2日cos 0 .（I）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（R）若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当|PQ|取得最小值时，求 P的