(完整版)《复变函数》有答案(期末考试)试卷

1、浙江师范大学复变函数(期末考试)试卷(2004-2005学年第一学期)考试类别：考试使用学生：初阳学院数学专业 02级考试时间：150分钟出卷时间2004年12月25日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理一、(18%)填空题1 _1、在0 z 1内，函数的罗朗展式是 .z(z 2)( z 1)2、解析分支，;在z 1处的留数是 .1113、问是否存在解析函数f(z)使f() f () ?只需回答2n 1 2n2n是或否).4、若解析函数f (z)的实部是ex(xcosy ysin y),则f(z) ,5、已知分式线性函数f(z)把上半平面变为单位圆，则f(z) ,6、 zdz一

2、2的值是.1 (z 1)(z 2)|z 2| 2 八 /二、(24%)计算题1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z的一个解析分支lnz .并且分别求出w lnz在上半虚轴的左沿和右沿，当z i时的值.d x2、计算积分Idx ,(为常数，且01).0 (1 x)x三、(36%)解答题1、求野的解析分支和孤立奇点,并讨论这些奇点的类型. z 12、在z平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为 3的割线，试作 一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成W平面的上半平面(不包括实轴).3、试作一个解析函数，它把上半平面Im z 0保形双射成W平面的半带域Rew , Im w

3、0 .22四、(22%)证明题1、若乙z2z3 1, 4 z2 z3 0 ,则 4 z24 44 4.12、若在 z 1 内，f(z)解析，并且 |f(z) ，则 f(n)(0) e(n 1)!1 z(12 分)0浙江师范大学复变函数试题答案与评分参考05.1.17、填空题（每空格3分，共18分）1( 1)n 1 1 n2z n 036 2n1z zez ci d (J(imzoo)z zo否2d二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定 Ln z的一个解析分支ln z w lnz在上半虚轴的左沿和右沿，当z i时的值.解 Lnz ln|z| iarg z 2kd3 arg z -, k

4、 C22令 ln z ln | z| iarg z 2kd3底 arg z 22则在上半虚轴的右沿，当z i时，w ln i -i2在上半虚轴的左沿，当z i时，w lni 3 d22、计算积分I dx ,（为常数，且00 （1 x）x1)解因01,故F（z）1为多值函数,（1 z）z取正实轴为割线且单值解析分支f （z）i argzz|z| e0 arg z（如图）设0f (z)d zcr(1 e2r d x (1 x)xf (z)d zcc由 | f(z)dz|c知 lim f (z)d z0c并且分别求出（6分）（8分）（12 分）2冗（4分）f（z）d z（8分）由|crf (z)d

5、z|门ei d(1 rei ) r eif(z)d zcrdx2 de7tsin冗(1 x)x三、（36%）解答题1、求上的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型. z 1解因0和是支点，故0和 不是孤立奇点.因此，孤立奇点为 1和1,故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支1nz_ ln|z| i（2k j+arg z）z 1 z 13万A,k 。， argz （6 分）（1）当k 0时，z 1是可去奇点（2）当k 0时，z 1是一阶极点（3） z 1是一阶极点（12分）2、在z平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为 3的割线，试作 一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域

6、保形映射成 W平 面的上半平面（不包括实轴）.解（1）若区域D表示在z平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线，则z2 9将区域D变为（）平面除去正实轴的开区域D1 （6分）（2） w 历将口变为w平面的上半平面Im w 0因此w Jz2 9即为所求（12分）3、试作一个解析函数，它把上半平面Im z0保形双射成w平面的半带域一 Rew , Im w 022解由多角形映射公式知wdtC1由w( 1) 知g-22因,dtarcsint： 冗，故由 w(1) Dc冗-1、,1t21222(6分)所以c 1因此wz dtarcsin z 2(12 分)于是w arcsin z即为所求.四、

7、（22%）证明题Z2因Z1即(Z1 Z2)(Z1 Z2) 1因此(乙Z2)(Z1 z2)Z31,4Z2 Z3Z2 Z30 , | Z31,即 Z1Z2Z1Z1Z1Z2即 |乙 Z2 | 3 ,同理 |Z2 Z3 |证法2由平行四边形公式Z1Z2ZZ2|Z1Z2Z2|Z1Z3|2，则 4Z22故(Z1 Z2)Z21|Z1Z3 |2| Z1Z3 |2_222(| Z1 | |Z3|) |Z1Z3 |2 ,而 Z1Z2Z30因此| Z1Z3|2 2(| Z1 |2|Z312)| Z2|2 43,|Z1同理| Z2，|4z2 |2、若在z1内,f (z)解析,并且|f(z)11f (0)n!2 df(z)|z| f (0) |n!2 %|Z|11 |Z|士 |dz|z|n n 12 兀(n 1)n2 % n