全国初中数学竞赛试卷(含答案)

1、全国初中数学竞赛试卷、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a、b、c都是实数，并且abc,那么下列式子中正确的是（A、ab bcB、C、 a b b cD、2、如果方程X2px的两根之差是1,那么p的值为（A、B、D、3、在ABC中,已知那么ABC的面积等于（BD和CE分别是两边上的中线，并且）BDCEBDCE6,A、12B、 14C、16D、184、已知abc 0 ,并且那么直线y pxp一定通过第A、二B、二C、D、9x5、如果不等式组 °8xa 0a 0的整数解仅为b 03,那么适合这个不等式组的整数a、有序数对（a、b）共有（A、17 个二、填空题：（每小题B、64 个6

2、分，共30分）C、72 个D、816、在矩形ABCD中,已知两邻边AD 12AB5 , P是AD边上任意一点， PEPF AC , E、F分别是垂足，那么 PEPF.27、已知直线y 2x 3与抛物线y2 .X相交于A、B两点，O为坐标原点，那么 OAB的面积等于8、已知圆环内直径为 acm,外直径为 锁链，那么这条锁链拉直后的长度为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条 cm.9、已知方程a2x2 3a2 8ax 2a2 13a 15 0 （其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a10、B船在A船的西偏北450处，两船相距10*5,若A船向西航行，B船同时向南航行,且B船的速

3、度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是km.三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰 ABC中，AB 1, A 90 ,点E为腰AC中点，点F在底边BC上,且FE BE ,求 CEF的面积。ABF C25 .12、设抛物线y x 2a 1 x 2a 的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求 4a18 323a 6 的值。13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台， E 市 10 台。已知：从A 市调运一台机器到 D 市、 E 市的运费为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、 E 市的运费为

4、300 元和 700 元； 从 C 市调运一台机器到 D 市、 E 市的运费为 400 元和 500 元。（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费 W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值。（ 2）设从 A 市调 x 台到 D 市， B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用 x、 y 表示 总运费W （元），并求 W的最大值和最小值。1998年全国初中数学竞赛试卷参考答案一、选择题1、根据不等式性质，选 B.2、由 p24 0及p 2 ,设 , X2为方程两根，那么有 Xi又由 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1 x2得：

5、12 p 24所以 p2 5 , p V5 p 2故选D13、如图，连ED,贝U酮边形bcde BD CE 122又因为DE是ABC两边中点连线所以SABC§ S四边形BCDE4 12 163故选C.abpc4、由条件得bcpaacpb三式相加得：2 a b c p a b c所以有p 2或a b c 0当p 2时，y 2x 2,则直线通过第一、二、三象限当a b c 0时，不妨取a b c,于是p -b 1 c 0 c所以y x 1 ,则直线通过第二、三、四象限综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限故选B5、由原不等式组可得 a x b ,在数轴上画出这个不等式组的解的可以区间

6、，如图 98ab-10123b 4598不难看出0 1,3 4 981,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9共 9 个a一 1 得：0 a 9,则 a9由3 b 4 得：3 8 b 4 8,则 b 3 8 1,38 2, 3 8 3,，3 8 8,共 8 8个，9 8 72 (个)故选C6、如图，过A作AG BD于G等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 PEPFAGAD12,AB 5 BD13AG125 601313故PE60PF137、如图，直线y 2x 3与抛物线y的交点坐标为A (1,作AA1 , BB1分别垂直于x轴，垂足为AiS AOBS梯形 AA1B1BS A

7、A10 S BB1011-9 321), B(8、如图，当圆环为3个时，链长为3a2a（厘米）当圆环为50个时,链长为50 a49a（厘米）9、因为a 0 ,解得X12a 3X210、如图，设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1B1设AA1是 BB1 2x由ABAC BC10ACAB1|10 x|,B1C |102x|. |10 x|2 |10 2x|2x 6 2 10x 6时,A1B12>/5 最小11、解法如图，过C作CD CE与EF的延长线交于D.ABEAEB 90 ,CED AEB 90ABECEDRt ABE s Rt CEDS CDES EAB2CEABCECD幽2 AE又

8、 ECF DCF 45.CF 是DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等S CEFS CDFCE 2CD2sS CDE31 SS ABE4解法2如图，作FHCE 于 H,S ABC24FHABEAEB 90AEB90ABECED Rt ABEs Rt CEDFH空，即EHAE2hHCHCFH2hCEF2ECFH2412、(1);抛物线与x轴只有个交点所以二次方程2a1 x 2a有两个相等的实根,2a 1 22a1.5(2)(1)知,反复利用此式可得2a3a3a9a2 12a21a 1316 a21a 1322441a546 a169 987a61018 a987a610 a987a21597

9、a 6102584a 15973a 2 a 18a 5 64a264a658a 1318a138a 5a18 323a 6 2584a 1597 323 8a 13579613、 （ 1）由题设知， A 市、 B 市、 C 市发往D 市的机器台数分别为x ， x， 18 2x ，发往 E市的机器台数分别为 10 x， 10 x ， 2x 10 于是W 200x 300x 400 18 2x 800 10 x 700 10 x 500 2x 10800x 172000 x 100 18 2x 80 x 105x95x9W 800x 17200 5 x 9, x是整数由上式可知，W是随着x的增加而减少的，当x 9时，W取到最小值10000元；当x 5时，W取到最大值13200元.（ 2）由题设知， A 市、 B 市、 C 市发往 D 市的机器台数分别为 x， y ， 18 x y ，发往 E 市 10 x ， 10 y ， x y 10 于是W 200x 800 10 x 300y 700 10 y 400 18 x y 500 x y 10500x 300y 172000 x 10又 0 y 100 18 x y 180 x 100 y 1010 x y 180W 500x 300y 17200 且 0 10W 200x 300 x y 17200.当 x 10, y