(完整版)北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

1、三角形的证明单元检测卷9.如图所示，在 4ABC中，AB=AC , D、E是AABC内两点,AD平分/ BAC . / EBC= / E=60 °,若 BE=6 , DE=2 ,贝U BC 的长度是（1. （4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是（）A. 80°B. 80°或 20°C. 80°或 50°D. 20°2. （4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A.如果a>0, b>0,则a+b>0B.直角都相等C.两直线平行，同位角相等D.若a=6,则|a|二|b|

2、3. AABC 中，/A: /B: /C=1: 2: 3,最小边 BC=4 cm,最长边 AB 的长是A . 5cmB. 6 cmC. 7cmD . 8cmA.6 B.8 C.9 D.104. （4分）如图，已知 AE=CF, /AFD=/CEB,那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADFCBE的是（）A. ZA=ZC B. AD=CBC. BE=DF10. （4 分）（2013?遂宁）如图，在MBC 中，/C=90°, Z B=30°, 以A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点M和N , 再分另以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交2于点P,连结AP并延

3、长交BC于点D,则下列说法中正确的个 数是（）AD是/ BAC的平分线； / ADC=60 °点D在AB的5. （4分）如图，在 AABC中，ZB=30 °, BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为（）A. 10B. 8C. 5A. 1B. 2C. 312. （4分）如图，在平面直角坐标系 xOy中, （0, 6）,动点C在直线y=x上.若以A、B、的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（6.如图，D 为 4ABC 内一点，CD 平分 / ACB , BEX CD 垂足为 D,交 AC 于点 E, / A= / ABE .若 AC=5 , BC=3 则

4、BD的长为（）D. 4A （0, 2）, BC三点为顶点）A. 2.5B, 1.5C. 2D. 17. （4 分）如图，AB=AC , BE LAC 于点 E, CFXAB 于 点F, BE、CF相交于点 D,则 ABE/ACF; ABDFACDE; 点D在/ BAC的平分线上. 以上 结论正确的是（）D.A. 2B. 3C. 4A.8. （4分）如图所示，AB ± BC , DC± BC , E是BC上一点, / BAE= / DEC=60 °, AB=3 , CE=4,则 AD 等于（）D. 48A. 10B. 12C. 24D. 513. （4分）如图，在等

5、腰 RtAABC中，ZC=90°, AC=8 , F是AB边上的中点，点D, E分别在AC, BC边上运动，且保持 AD=CE .连接DE , DF, EF.在此运动变化的过程中，下列结论：4DFE是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形，DE长度的最小值为4;四边形CDFE的面积保持不变；4CDE面积的最大值为 8.其中正确的结论是（）A.B.二、填空题（每小题 4分，共24分）2614. （4分）用反证法证明命题主角形中必有一个内角小于或等于60。时，首先应假设这个三角形中 .15. （4分）若（a- 1） 2+|b-2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 .16.

6、 （4分）如图，在 RtA ABC中，/ABC=90 °, DE是AC的垂直平分线，交 AC17. （4分）如图，在 4ABC中，BI、CI分别平分/ABC、/ ACF , DE过点I,且DE / BC . BD=8cm , CE=5cm ,贝U DE 等于.18 .如图，圆柱形容器中，高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部 0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m.19 .如图，在 RtA ABC 中，/C=90°, / B=60 °,点 D 是 BC 边上的 点，C

7、D=1 ,将4ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E 处，若点P是直线AD上的动点，则4PEB的周长的最小值是 . 三、解答题（每小题 7分，共14分）20 . （7分）如图，C是AB的中点，AD=BE , CD=CE .求证：/ A= / B.21 . （7分）如图，两条公路 OA和 OB相交于。点，在/AOB的内部有 工厂C和D,现要修建一个货站 P,使货站P到两条公路 OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.四、解答题（每小题10分，共40分）22. （10 分）在四边形 ABCD 中，AB / CD, Z D=90 °, / DCA=

8、30 °, CA 平分 / DCB , AD=4cm ,求 AB 的长度？ 23. （10 分）如图，在4ABC 中，ZC=90°, AD 平分 / CAB , 交CB于点D,过点D作DELAB于点E.（1）求证：ACDAED;（2）若/ B=30 °, CD=1 ,求 BD 的长.的位置.F, G分别是BD, BE上的点，BF=BG,延长CF与DG交于点H. （1）求证：CF=DG; （2）求出/FHG的度数.25. （10 分）已知：如图， 4ABC 中，Z ABC=45 °, DH 垂直平分 BC交AB于点D, BE平分/ ABC ,且BEX AC

9、 于E,与CD相交于点F.（1）求证：BF=AC ;（2）求证：五、解答题（每小题 12分.共24分）26. （12分）如图，在4ABC中，D是BC是中点，过点D 的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G, DELDF交AB于点E,连接EG、EF.（1）求证：BG=CF; （2）求证：EG=EF;（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.27. （12分）4ABC中，AB=AC，点D为射线 BC上一个动点（不与 B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作4ADE ,使AD=AE , / DAE= / BAC ,过点E作BC的平行线，交直线 AB于点F,连接BE.（1）如图

10、 1,若/ BAC= / DAE=60 °,则 4BEF 是 三角形；（2）若/ BAC= / DAE 咤0° 如图2,当点D在线段BC上移动，判断4BEF的形状并证明；当点D在线段BC的延长线上移动，4BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形.命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的北师大版八年级下册第1章三角3. (4 分)4ABC 中，/A: /B: / C=1 : 2: 3,最小边 BC=4 cm,最长边 AB形的证明2014年单元检测卷A（一）的长是（）A. 5cmD.参考答案与试题解析考点： 分析：一、选择题（每小题 4分

11、，共48分）1. （4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是A. 80B. 80°或 20°80。，则它顶角的度数是（C. 80°或 50°解答:D. 20°点评:含30度角的直角三角形.三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数.以及直角三角形中角 的一半.解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是 边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8,故选D.此题主要是运用了直角三角形中角30。所对的直角边是斜边的一半.考点： 专题： 分析： 解答:等腰三角形的性质.分类讨论.分80。角是顶角与底角两种情况

12、讨论求解.解：80°角是顶角时，三角形的顶角为4. （4分）（2013?安顺）如图，已知 AE=CF 条件后，仍无法判定 ADFCBE的是（,/ AFD= / CEB ,那么添加下列一个）点评:80°,80°角是底角时，顶角为 180°-80°凌=20°,综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80。或20。.故选B.本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解.A. ZA=ZC2. （4分）下列命题的逆命题是真命题的是（A.如果 a>0, b>0,则 a+b>0C.两直线平行，同位角相等B.D.直角都相

13、等若 a=6,则 |a|二|b|B. AD=CBC. BE=DFD.考点： 分析： 解答:命题与定理.先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可.解；A .如果a>0, b>0,则a+b>0：如果a+b> 0,则a> 0, b>0,是假命题;B.直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C.两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题;D.若a=6,则|a|二|b|的逆命题是若|a|=|b|,则a=6,是假命题.故选：C.点评:考点： 分析： 解答：全等三角形的判定.求出AF=CE ,再根据全等三角形的判定定理判断即可.解：.AE=CF,

14、AE+EF=CF+EF ,AF=CE ,A、二.在ADF 和 CBE 中ZA=ZC =CE Zafd=Zceb此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结逡ADFACBE （ASA）,正确，故本选项错误；又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.正醺的根据AD=CB , AF=CE , / AFD= / CEB不能推出ADFCBE,错误,C、二.在ADF 和 CBE 中Caf=cbZAFI>ZCEB D4BEAADFACBE (SAS),正确，故本选项错误;D、 AD / BC ,ZA= ZC,在

15、4ADF 和 CBE 中NA= NC研=CEtZAFD=ZCEBAADFACBE (ASA),正确，故本选项错误;故选B.6. （4 分）（2013?邯郸一模）如图，D 为4ABC 内一点，CD 平分 / ACB , BEXCD,垂足为D,交AC于点E, ZA= Z ABE ,若AC=5 , BC=3 ,贝U BD的长为（）考点：等腰三角形的判定与性质.C. 2D.分析:由已知条件判定 4BEC的等腰三角形，且BC=CE ;由等角对等边判定 AE=BE JO点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SSS.5. （4分）（2012?河池）如图，在 4AB

16、C中，ZB=30 °, BC的垂直平分线交 AB于巳垂足为D.若ED=5,则CE的长为（）考点：线段垂直平分线的性质；含 30度角的直角三角形.分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE,根据含30度角的直角三角形性质求出解答： 解：.口£是线段BC的垂直平分线，BE=CE , / BDE=90。（线段垂直平分线的性质），ZB=30°,BE=2DE=2 X5=10 （直角三角形的性质）， CE=BE=10 .故选A .点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到 题目比较典型，难度适中.SAS，- ACAAAS ,解答： 解：

17、如图，CD平分/ACB, BEX CD,BC=CE .又 Z A= Z ABE , AE=BE .，BD'BEAE（AC-BC）.232AC=5 , BC=3,BD± （5- 3） =1 .D. 2.52故选D.点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形三合一 ”性质的运用BE的长，即可求出 CE长.7. （4分）如图，AB=AC , BEX AC于点E, CFXAB于点F, BE、CF相交于点 D, 则 ABE0ACF; ABDFACDE ;点D在/ BAC的平分线上.以上 结论正确的是（）A.考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.

18、常规题型.从已知条件进行分析，首先可得ABEACF得到角相等和边相等论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.解：1. BEX AC 于 E, CFXAB 于 FZAEB= / AFC=90 °,. AB=AC , /A=/A, AABEAACF （ 正确）B. 12C. 24D.AE=AF ,.BF=CE,. BEAC 于 E, CFAB 于 F, / BDF= / CDE ,. ABDFACDE （ 正确）DF=DE , 连接AD , AE=AF , DE=DF , AD=AD , AAED AAFD , / FAD= / EAD ,即点D在/ BAC的平分线上（ 正

19、确） 故选D.考点：勾股定理；含30度角的直角三角形.分析： 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质.解答： 解：/AB ± BC, DC ±BC , Z BAE= Z DEC=60 °ZAEB= / CDE=30 °30 °所对的直角边是斜边的一半AE=6 , DE=8又 ZAED=90 °根据勾股定理AD=10 .故选A .点评： 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，的性质.30 °所对的直角边AD平分9. （4分）如图所示，在 4ABC中，AB=AC , D、E是4ABC内两点,

20、 / BAC . / EBC= / E=60 °,若 BE=6 , DE=2 ,贝U BC 的长度是（）点评:此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用, 不重不漏.8. （4 分）如图所示， AB ± BC , DC ± BC, E 是 BC 上一点，Z BAE= Z DEC=60 °,AB=3 , CE=4,贝U AD 等于（）A. 6B. 8C. 9D.的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正考点： 分析：解答:等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.确的个数是（）作出辅助线后根据等

21、腰三角形的性质得出BE=6, DE=2,进而得出4BEM为等边AD悬YEBAC为箝吩却/ ADC=60。；点D在AB的中垂线上；Sadac：角形，从而得出BN的长，进而求出答案.解：延长ED交BC于M ,延长 AD交BC于N ,作DF / BC , AB=AC , AD 平分 / BAC , ANXBC, BN=CN , ZEBC= / E=60°, .BEM为等边三角形，AEFD为等边三角形， BE=6, DE=2,DM=4 ,.BEM为等边三角形，Z EMB=60 °, ANXBC,/DNM=90 °,/NDM=30 °,NM=2 ,BN=4 ,BC

22、=2BN=8 ,故选B.A. 1B. 2C. 3考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图一基本作图.专题：压轴题.分析： 根据作图的过程可以判定 AD是/BAC的角平分线； 利用角平分线的定义可以推知 Z CAD=30 °,则由直角三角形的性质来求利用等角对等边可以证得 4ADB的等腰三角形，由等腰三角形的 三合一 中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角 解答： 解：根据作图的过程可知，AD是/BAC的平分线.故正确；D.ZAD(”的性点评: 如图，二.在4ABC 中，/C=90°, /B=30°, Z CAB=6

23、0 °.又.AD是/ BAC的平分线，/ 1 = Z2=|ZCAB=30 °,Z3=90°- Z 2=60°,即/ADC=60 °.此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键故正确;10. （4 分）（2013?遂宁）如图，在 4ABC 中，ZC=90 °, /B=30°,以 A 为圆心， 任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点M和N ,再分别以M、N为圆心，大于4MN / 1 = Z B=30 °,AD=BD ,点D在AB的中垂线上.故正确；二.如图，在直角 4ACD中，7

24、2=30°,CD=AD , 2考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质.专题：压轴题.分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直311 .BC=CD+BD= AAD+AD= AD , Sa dac AC ?CD=-AC ?AD . 2224Sa abc=Zc ? BC= -AC ?-AD=2223AC?AD4求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线 y=x的交点为点 的距离可知以点 B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点.解答： 解：如图，AB的垂直平分线与直线 y=x相交于点Ci,- A （0, 2）, B （0, 6）,A

25、. 2B. 31FJSadac： Saabc=4aC?AD ： AC?AD=1 ： 3.44故正确.综上所述，正确的结论是：，共有4个.故选D.A点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图.解题时, 的判定与性质.12. （4分）（2013?龙岩）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A （0, 2）, B （0, 6）, 动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（）C. 4AB=6 2=4,以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线 y=x的交点为C2, C3,OB=6,，点B到直线y=x的距离为63万 >4,以点B

26、为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线 y=x没有交点, 所以，点C的个数是1+2=3.故选B.点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思13. （4 分）（2009?重庆）如图，在等腰 RtAABC 中，/C=90°, AC=8 , F 是 AB 边上的中点，点 D, E分别在AC, BC边上运动，且保持 AD=CE .连接DE, DF , EF.在此运动变化的过程中，下列结论：D.4DFE是等腰直角三角形;四边形CDFE不可能为正方形, DE长度的最小值为4;因此正确.由于4DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小;四边形CDFE的面积

27、保持不变;4CDE面积的最大值为 8.其中正确的结论是（）A.即当DFLAC时，DE最小，此时 DFBC=4.2DE=&DF=46；因此错误.当4CDE面积最大时，由 知，此时4DEF的面积最小.此时 SACDE=S 四边形 cefd Sa def=Saafc - Sa def=16 8=8; 因此正确.故选B.B.C.D.考点： 专题： 分析：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.压轴题；动点型.解此题的关键在于判断 4DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接DCF,由SAS定理 ADF全等，从而可证/DFE=90°, DF=EF .所以 DEF是等腰直

28、角三角形.可证 正确， 错误，再在割补法可知 是正确的；点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大.但作为选择题可采判断，比较麻烦，因为 4DEF是等腰直角三角形 DE=&DF,当DF与BC垂直，即睡”版肖闹E一些.取最小值4故 错误，4CDE最大的面积等于四边形 CDEF的面积减去 DEF的最小面积，由可知是正确的.故只有 正确.解答：解：连接CF；.ABC是等腰直角三角形，/ FCB= / A=45 °, CF=AF=FB ;AD=CE ,AADFACEF;EF=DF, /CFE=/AFD; ZAFD+ / CFD=90 °, / CFE+ /

29、CFD= / EFD=90 °,AEDF是等腰直角三角形.因此正确.当D、E分别为AC、BC中点时，四边形 CDFE是正方形.因此错误. AADFACEF, 1 Sacef=Saadf S 四边形 cefd=Saafc ,二、填空题（每小题 4分，共24分）14. （4分）用反证法证明命题 主角形中必有一个内角小于或等于60。时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于 60。.考点：反证法.分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可.解答： 解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角故答案为：每一个内角都大于60°.点评： 此题主要考查了反证法，反证

30、法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况 定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.15. （4分）（2013?雅安）若（a-1） 2+|b-2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 .考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系.专题：分类讨论.17. （4分）如图，在 4ABC中，BI、CI分别平分/ABC、/ ACF , DE过点I,且分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可.解答：解：根据题意得，a- 1=0, b-2=0,解得 a=1,

31、 b=2 ,若a=1是腰长，则底边为2,三角形的三边分别为 1、1、2, 1+1=2,.不能组成三角形，若a=2是腰长，则底边为1,三角形的三边分别为 2、2、1, 能组成三角形，周长=2+2+1=5 .故答案为：5.DE / BC . BD=8cm , CE=5cm ,贝U DE 等于 3cm考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.分析： 由BI、CI分别平分/ ABC、/ ACF , DE过点I,且DE / BC ,易得ABDI与 得答案.点评:本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解答： 解：.旧、CI分别平分/ ABC、ZACF,16. （

32、4分）如图，在RtA ABC中,于点D,交BC于点E, Z BAE=20/ABC=90 °, DE是AC的垂直平分线，交 ACZABI= ZCBI , /ECI=/ICF, DE / BC,ZDIB= ZCBI , /EIC=/ICF, ZABI= ZDIB , /ECI=/EIC, DI=BD=8cm , EI=CE=5cm , DE=DI - EI=3 (cm).故答案为：3cm.点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质.注意由角平分线与平行考点：线段垂直平分线的性质.分析： 由DE是AC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,18. （4分）（2013?东营）如图

33、，圆柱形容器中，高为1.2m,底面周长为1m,在容可得AE=CE ,又由在R幽Afim容器底ABC=93mi,的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容/ BAE=20 °,即可求得/ C的度数.解答： 解：.DE是AC的垂直平分线，AE=CE ,/C=/ CAE ,.在 RtABE 中，ZABC=90 °, Z BAE=20 °,Z AEC=70 °,/C+/ CAE=70 °,ZC=35°.故答案为：35°.点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,器上沿0.3m与蚊子相对的点 A处

34、，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 厚度忽略不计）.1.3 m (容器考点：平面展开-最短路径问题.专题：压轴题.分析:解答:pc5D将容器侧面展开，建立 A关于EF的对称点A 根据两点之间线段最短可知 AB的长度艮岫所求.解：如图：,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点 A处，AD=0.5m , BD=1.2m ,点评:，将容器侧面展开，作 A关于EF的对称点A 连接AB,则A'B即为最短距离，=1.3 (m).故答案为：1.3.E考点： 专题： 分析：解答:轴对称-最短路线问题;压轴题.连

35、接CE,交AD于M 的周长最小，最小值是解：连接CE,交AD含 30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BPBE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，于M,沿AD折叠C和E重合，. / ACD= ZAED=90 °, AC=AE , / CAD= / EAD ,. AD垂直平分 CE,即C和E关于AD对称，CD=DE=1 ,.当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时4BPE的周长最小，最小值是BE+PE+ / DEA=90本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进

36、行计算是解题的DEB=90关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.ZB=60°,°°DE=1 ,BE=：3即 BC=119. （4 分）（2013?资阳）如图，在 RtAABC 中，ZC=90°, /B=60°,点 D 是BC 边上的点，CD=1 ,将4ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若 点P是直线AD上的动点，则4PEB的周长的最小值是 1+J5APEB的周长的最小值是 BC+BE=1 + 故答案为：1+73.点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含 的应用，关键是求出 P点的位置，题

37、目比较好，难度适中.三、解答题（每小题 7分，共14分）20. （7 分）（2013?常州）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE , CD=CE . 求证：/ A= / B .考点： 分析：作图一应用与设计作图.根据点P到/AOB两边距离相等，到点 C、D的距离也相等，点 P既在/AOB E直平分线上，即/AOB的角平分线和 CD垂直平分线的交点处即为点 P.解：如图所示：作 CD的垂直平分线，ZAOB的角平分线的交点 P即为所求.考点： 专题： 分析：解答:全等三角形的判定与性质.证明题；压轴题.根据中点定义求出 AC=BC ,然后利用SSS”证明4ACD和 BCE全等, 即可.证明：.C

38、是AB的中点，AC=BC ,解答:点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握在MCD和4BCE中,AC=BC AD = BE CD=CEAACD ABCE ( SSS), ZA= ZB.四、解答题（每小题 10分，共40分）22.（10分）（2013?攀枝花模拟）在四边形 ABCD 中，AB /CD , / D=90 °, / DCA=30 °,CA 平分 / DCB , AD=4cm ,求AB的长度？点评:本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等P以及全等二 角形对应角相等的性质.B21. （7分）

39、（2013?兰州）如图，两条公路 OA和OB相交于。点，在/ AOB的内 部有工厂C和D,现要修建一个货站 P,使货站P到两条公路 OA、OB的距离相 等，且到两工厂 C、D的距离相等，用尺规作出货站 P的位置.（要求：不写作法， 保留作图痕迹，写出结论）考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.专题：压轴题.分析： 过B作BEX AC ,由AD=4m和/ D=90 °, / DCA=30 °,可以求出 AC的长，根据以及等腰三角形的性质即可求出AD的长.解答： 解：./D=90 °, /DCA=30 °, AD=4cm , . A

40、C=2AD=8cm , CA 平分 / DCB , AB / CD,ZCAB= ZACB=30 °,AB=BC , 过 B 作 BEX AC ,AE= AC=4cm , 2 cos/EAB=1-=' COS乙 EAB= = , 邺2AB=-cm-分析：（1）根据角平分线性质求出 CD=DE ,根据HL定理求出另三角形全等即可;（2）求出Z DEB=90 °, DE=1 ,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.解答： （1）证明：.AD 平分/CAB, DE LAB, /C=90°,CD=ED , /DEA=/C=90°,在 RtAACD 和 R

41、tAAED 中CAD=AD CDRE RtAACD RtAAED （HL）;（2）解：DC=DE=1 , DE ± AB , Z DEB=90 °, ZB=30°, BD=2DE=2 .点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应点到角两边的距离相等.24. （10分）（2013?大庆）如图，把一个直角三角形 ACB （/ACB=90°）绕着顶点 B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD , BE上的点，BF=BG，延长 CF与DG交于点H.点评：本题考查了平

42、行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是作高线构造南怵涌形,CF=DG;利用锐角三角函数求出 AB的长.23. （10 分）（2013?温州）如图，在 4ABC 中，ZC=90°, AD 平分 / CAB ,交 CB 于点D,过点D作DELAB于点E.(1)求证：ACDAED;(2)若/ B=30 °, CD=1 ,求 BD 的长.考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形.（2）求出/ FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性质.分析：（1）在4CBF和4DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角（2）根据全等三

43、角形的对应角相等，即可证得/ DHF= / CBF=60 °,从而求解.解答： （1）证明：二.在4CBF和4DBG中，irBC=BD，/CBF=NBDG二60，:即二 BG ACBFADBG (SAS),CF=DG ;(2)解： ACBFA DBG ,/ BCF= / BDG , 又 /CFB= / DFH ,/ DHF= / CBF=60 °, /FHG=180°- /DHF=180 - 60 =120°.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.ABDFACDA , BF=AC .(2)由(1)得 BF=AC ,. BE 平

44、分/ABC,且 BEXAC ,fzabe=zc&e在 4ABE 和 4CBE 中，* BE=BE,bZAEB=ZCEB=90"AABE ACBE (ASA),CE=AE=AC=BF.21点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应25. (10分)已知：如图， 4ABC中，/ABC=45°, DH垂直平分 BC交AB于点五、解答题(每小题 12分.共24分)D, BE平分/ ABC ,且BEX AC于E,与CD相交于点F.(1)求证：BF=AC ;(2)求证：克=为9.26. (12分)如图，在 4ABC中，D是BC是中点，过点 D的

45、直线GF交AC于点 F,交AC的平行线BG于点G, DEXDF交AB于点E,连接EG、EF.(1)求证：BG=CF;(2)求证：EG=EF;(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.专题：证明题.分析：(1)由ASA证BDFCDA,进而可得出第(1)问的结论；考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.(2)在4ABC中由垂直平分线可得 AB=BC ,即点E是AC的中点，再结合第一问的辅论即可限解求出/C=/GBD, BD=DC ,根据ASA证出CFDBGD即可.解答： 证明：(1) DH垂直平分BC,且/ABC=45。，( 2)根据全等得出 GD=DF ,根据线段垂直平分线性质得出即可.BD=DC ,且 / BDC=90 °, / A+ / AB