极坐标方程与直角坐标方程的互化

1、、极坐标方程与直角坐标方程的互化2"2"，(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin和直线1： sin(-)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;0,时，求直线1与圆。公共点的一个极坐标.2.（选修4 4:坐标系与参数方程)已知曲线 C的极坐标方程是2sin ，设直线1的参数方程3t 254t5(t为参数)。(1)将曲线c的极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)设直线1与x轴的交点是M N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。3.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2 二6;4cos 9sin(1)若以

2、极点为原点，极轴所在的直线为 x轴，求曲线C的直角坐标方程;(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点，求3x 4y的最大值。5.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线1经过点P(1,1),倾斜角 一。6(1)写出直线l的参数方程;(2)设1与圆x 28* s (是参数)相交于两点 A、B,求点P到A、B两点的距离之 y 2sin积。6.(本题满分10分)为 sin（ ）47圆0的参数方程为xr cos,（为参数，r 0）r sin(I)求圆心的极坐标;(n)当r为何值时，圆O上的点到直线Z的最大距离为3.6.(1)圆心坐标为(高，母x2y2 15分设圆心的极坐标为(，)则.(；

3、)2 (22)21所以圆心的极坐标为(1,5 )4直线l的极坐标方程为亭incos )-6 分r cos圆上的点到直线l的距离d,2r sin 2 21|直线l的普通方程为x y 1| , 2,2rsin( -) 1|圆上的点到直线l的最大距离为迎* 37.7.-10(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程选讲x 2 t、已知直线l的参数万珅为：厂(t为参数)，曲线C的极坐标万程为:y . 3t(1)求曲线C的普通方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.(1)由曲线 C: 2 cos22(cos2sin2 ) 1,得2 cos22 sin2 ) 1,化成普通方程2 cos 21(2)方法

4、一：把直线参数方程化为标准参数方程2 1tL2(t为参数)刍2把代入得:整理，得t2 4t 6 0设其两根为ti,t2,则 t1 t2 4,t1 t26 8 分从而弦长为也t2| J(ti t2)2 4垃2 J42 4( 6) 屈2J10. 10分方法二：把直线l的参数方程化为普通方程为y 点(x 2),代入x2 y2 1,得 2x2 12x 13 0 6 分设l 与 C交于 A(xi,x2), B(x2, y2)则 x1 x2 6,x1 x2 8 分2| AB| .它 (xi x2)2 4xix2 2 62 262 10.10分1、(09广东理14)(坐标系与参数方程选做题)x 1 2t,若

5、直线y 2J为参数)与直线4x ky 15垂直，则常数k=【解析】将y 12 23t化为普通方程为y ：x。斜率匕当k 0时，直线4x ky 1的斜率k2±由k1k2341得k 6;k2k当k 0时，直线y 3x 7与直线4x 1不垂直.22综上可知，k6.x 1 t3、（天津理13）设直线li的参数方程为 x 1 t （t为参数），直线I2的方程为y=3x+4则liy 1 3t与12的距离为【解析】由题直线li的普通方程为3x y 2 0,故它与与12的距离为 口 亚。J05答案 U54、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单

6、位。已知直线的极坐标方程为R）,它与曲线x 1 2cosy 2 2sinC3为直线x 2y 7 0,M到C3的距离d|4cos 3sin 131.（为参数）相交于两点 A和B,则|AB|=.【解析】直线的普通方程为 y x,曲线的普通方程（x 1）2 （y 2）2 4|AB| 2解：(I) C：(x 4)2 (y 3)2 1,C2： 1.649C1为圆心是（4,3）,半径是1的圆.C2为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.；22（111211）2-14答案, ,6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程。已知曲线G： x (II)当 t

7、时，P( 4,4).Q(8cos ,3sin )，故M( 2 4cos ,2 -sin ). cost, （t为参数），C2： x 8co22 , （为参数）。 y 3 sint,y 3sin ,（1）化g, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若G上的点P对应的参数为t , Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线2x 3 2t、.C3： x ,（t为参数）距离的最小值3 y 2 t从而当cos ,sin 9时，d取得最小值名叵555C.选修4 - 4 :坐标系与参数方程x t 1已知曲线C的参数方程为5, （t为参数，t 0）.1 y 3（t ?求曲线c的普通方程。【解析】

8、本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。 满分10分。解因为x2 t 1 2,所以x2 2 t 1 2 tt 3故曲线C的普通方程为：3x2 y 6 0.10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4- 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以。为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 cos （-）=1, M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求 M,N的极坐标；.（2）设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。解（I ）由 cos（ 3） 1 得从而C的直角坐标方程为（II） M点的直角坐标为（2, 0）N点的直

9、角坐标为（0,手）所以p点的直角坐标为（1.233次炉点的极坐标为（为3%）,所以直线OP的极坐标方程为-,（,）1. （2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线Ci, C2的极坐标方程分别为 cos 3 , 4cos> 0,0 0；,则曲线Ci与C2交点的极坐标为 .答案(2、3,-) 65. (2008宁夏理)（10分）选修4 4:坐标系与参数方程选讲已知曲线Ci：(1)指出Ci(2)若把Cix cos （为参数），曲线C2： * 2 t尤仕为参数）.y sin2（）y TtG各是什么曲线，并说明 C1与G公共点的个数；C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1

10、, C2.写出C1 ', C2'的参数方程.G 与C2'公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解（1） g是圆,C2是直线.Ci的普通方程为x2 y2 1 ,圆心a(0,0),半径C2的普通方程为因为圆心C1到直线x y 720的距离为1,所以C2与Ci只有一个公共点.（2）压缩后的参数方程分别为x cos ,C1 :1y -sin2（为参数）；C2旦2刍4（t为参数）.化为普通方程为：C1 ：22x 4yC2联立消元得2x2 2 2x1 0,y2 1上的一个动点, （为参数）,其判别式(2 . 2)2 4所以压缩后的直线C2与椭圆G仍然只有一个公共

11、点，和 Ci与C2公共点个数相同.C:选修4-4 :坐标系与参数方程2在平面直角坐标系xOy中，设P（x,y）是椭圆 3求S=x+y的最大值.v2-ViC.解：由椭圆y2 1的参数方程为x "3c°s 3y sin故可设动点P的坐标为（J3sisin,sin )，其中 03因止匕，S x y 3 cos sin 2 cos21 .一 sin 22sin 一 3所以当时,S取得最大值2.61、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程=cos 9化为直角坐标方程为4、A. (x+1)2C.x2 + (y-答案 D.2)21414B.xD. (x-(y+工)

12、221) 2 + y2（2009广州一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线p sin（ 9 +）=2被4P =4截得的弦长为答案 4.37、（2009广东三校一模）（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为2 cos和sin的两个圆的圆心距为答案211、（2009东莞一模）（参数方程与极坐标选做题）在极坐标系中，点1,0至U直线cos“2答案2sin 2的距离为13、（2009 江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P是曲线x sin cos ( y 1 sin216、（2009 茂名一模）0, 2 ）是参数）上一点，P到点Q（0, 2）距离的最小值（坐标系与参数方程选做题）把极坐标

13、方程cos（ 一） 1化为直角6坐标方程是答案 ,3x y 2 022、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在（V2,）且过极点的圆的方程为_.答案 2.2 cos25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为x cos y sin0,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中的方程为-.若曲线Ci与C2有两个不同的交点，则实数b的取值范围sin cos是.答案1b ,228、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点 A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A、B两点，则|AB| .答案 2341、（200

14、9厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P（1,1）,倾斜角 ,设l与曲6线 x 2cosy 2sin（为参数）交于两点A, B,求点P到A,B两点的距离之积口解直线的参数方程为x1t cosx1t6,即 2y1tsin y1-t62曲线的直角坐标方程为x24,把直线31 t2代入x211t2得(1 a)2 (1 1t)2 4,t2 (、3 1)t 2 022也 2 ,则点P到A,B两点的距离之积为242、（2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线l的参数方程： x 2t （t为参 y 1 4t数），圆C的极坐标方程：22 sin,试判断直线l与圆C的位置关系.4解将直线l的参数

15、方程化为普通方程为：y 2x 1将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x 12 y 12 2从圆方程中可知：圆心 C （1, 1）,半径r/ ，所以，圆心C到直线l的距离d I2J 1 1 -L&r22 （ 1）2.5所以直线l与圆C相交.43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线x sin 过点（0,2）的切线方程. y cos2x sin ,y 1 2sin2 ,消去参数得 2x2 y 1 .设切线为y kx 2,代入得2x2 kx 1 0令k2 8 0 ,得k2姮，故y272x 2即为所求.或y 4x,设切点为（a,b）,则斜率为4a b- 1 2、2 ,解得, 土aa

16、2即得切线方程.44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，设圆3上的点到直线cos V3sin2的距离为d ,求d的最大值.解将极坐标方程3转化为普通方程：x2 y2 9cos . 3sin2 可化为 x 3 y 2在x2 y2 9上任取一点a 3cos ,3sin ，则点a到直线的距离为3cos3 出sin2 6sin（300） 2d J，它的最大值为422x 1 2 cos45、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数万程为厂 ,为参数y - 3 2sin若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为

17、l ,求直线l的极坐标方程.解由题设知，圆心C 1,73 ,P 2.0/ CPO=60 ,故过P点的切线飞倾斜角为 30设M ,，是过P点的圆C的切线上的任一点，则在 PMQK/MOP= OMP 300, OPM 1500由正弦定理得 OM 0P-020sin OPM sin OMP ' sin150 sin 30cos 6001或sin 3001 ,即为所求切线的极坐标方程。46、( 2009厦门英才学校)(极坐标与参数方程)求极坐标系中，圆 2上的点到直线cos；'3 sin6的距离的最小值.解由 2即2 4则易得x2 y2 4 ,由cos <'3sin 6易

18、得x J3y 6 0圆心(0,0)到直线的距离为d010 0 63i2商Q 又圆的半径为2 ,圆上的点到直线的距离的最小值为d d0 2 3 2 1.53、(2009通州第四次调研)求经过极点O(0,0), A(6,), B(6V2,2)三点的圆的极坐标方程 24解 将点的极坐标化为直角坐标，点O,A, B的直角坐标分别为 0,0 , 0,6 , 6,6 ,故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为 3,3 ,半径为3点，圆的直角坐标方程为x 3 2 y 32 18,即x2 y2 6x 6y 0 ,将x cos , y sin 代入上述方程，得 2 6 cos sin0,即 6,2 cos

19、 .54、(2009盐城中学第七次月考)若两条曲线的极坐标方程分别为1与 2cos ,3它们相交于A,B两点，求线段AB的长.解由 1得x2 y2 1 ,又Q 2cos( ) cos . 3 sin ,2 cos 、. 3 sinx2 y2 x 6y 0,由 x2 y2 11、. 3由 22 厂 得 A(1,0),B(-,),x2 y2 x .3y 022AB1. (2009番禺一模)x 2cos ( y 2 2sin2在直角坐标系中圆C的参数方程为为参数），若以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为答案4sin16. （2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两

20、条曲线的极坐标方程分别为=l与ABTt =2cos ( 0 + -3-),匕们相交于 A,B两点，求线段AB的长.1得x2y21,2cos(3)cos 3sin ,2cos 3 sin0,2 y2 y得 A(1,0), B(0221 3 一1 -0 32 217. （2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为（1 , 5）,点M的极坐标为（4，-O).若直线l过点P,且倾余角为 3 ,圆C以M为圆心、4为半径.（I ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;（n）试判定直线1和圆C的位置关系.x解（I ）直线l的参数

21、方程为y12t圆C的极坐标方程为8sin（n）因为m 4,- 对应的直角坐标为20,4直线l化为普通方程为73x y 5 73 0圆心到直线l的距离d045/3jn9T3 5,所以直线1与圆C相离.x 1 2t. 一1. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）若直线的参数万程为（t为参数），则直y 2 3t线的斜率为（）A. 2 B .2 C .3 D332【解析】k y_J J!2x 1 2t2答案D2. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）32F列在曲线x sin2（为参数）上的点是y cos sin（ ）A. （1,扬 B . （ 3,1） C . （2j3） D . （1,7

22、3） 24 2【解析】转化为普通方程：y2 1 x,当x 3时，y 142答案B2 Qin23. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）将参数方程 2 :（为参数）化为普通方y sin程为（）A. y x 2 B . y x 2 C . y x 2（2 x 3） D . y x 2（0 y 1）【解析】转化为普通方程：y x 2,但是x 2,3, y 0,1答案 C4. （ 2007-2008泰兴市蒋华中学基础训练）化极坐标方程 2 cos0为直角坐标方程为（ ）A. x2 y2 0或y 1 B . x 1 C . x2 y2 0或x 1 D . y 1【解析】 （cos 1） 0,&am

23、p;y2 0,或 cos x 1答案C5. （2007-2008泰兴市蒋华中学基础训练）点M的直角坐标是（1,73）,则点M的极坐标A. (2,-)B . (2, -)C . (2,2T) D-(2,2 k ),(k Z)32【解析】（2,2k2-）,（ k Z）都是极坐标3答案C6. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）极坐标方程 cos2sin2表示的曲线为（A. 一条射线和一个圆B .两条直线C.一条直线和一个圆. 一个圆【解析】cos 4sin cos ,cos 0,或 4sin ，即* 2 * 4 sink 一,或 x222y 4y答案(2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练

24、）直线4t5t （t为参数）的斜率为12. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）参数方程【解析】y2y22et(x2e tx 2) 42(ete t)（t为参数）的普通方程为2答案-42 L161,(x2)13 . ( 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知直线l1:3t 4t （t为参数）与直线l2:2x 4y 5相交于点 B,又点 A(1,2),则AB【解析】将x 1 3t代入2x 4y 5得t 1 y 2 4t2答案5 214. （20072008泰兴市蒋华中学基础训练）-5 一一则 B(2,0),而 A(1,2),得 |ABx直线y1-t2 (t为参数)被圆x* 2 * *11t2y2 4截得的弦长为。【解析】直线为x y 1 0 ,圆心到直线的距离d -i在，弦长的一半为22得