专题12一元二次不等式的解法初升高衔接教材系列二(解析版)

1、猿信公北号:等m髭鬲步就学专题12 一元二次不等式的解法二知识点精讲【弓I例】二次函数 y=x2-x- 6的对应值表与图象如下:x-3-2101234y60一 4一 6一 6一 406由对应值表及函数图象(如图2.31)可知当 x= 2,或 x=3 时，y=0,即 x2x=6=0；当 xv 2,或 x>3 时，y>0,即 x2x6>0;当一2vxv3 时，y<0,即 x2-x-6< 0.这就是说，如果抛物线 y= x2-x-6与x轴的交点是(2, 0)与(3, 0),那么一元二次方程x2 x6=0的解就是xi=_2, x2=3；同样，结合抛物线与 x轴的相关位置，

2、可以得到一元二次不等式 x2-x-6>0的解是xv 2,或x> 3；一元二次不等式 x2 x 6<0的解是一2vxv3.上例表明：由抛物线与 x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.那么，怎样解一元二次不等式ax2+bx+c>0(aw班？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y=ax2+bx+c(aw0的图象来解一元二次不等式ax2+bx+ c> 0(a w 0)为了方便起见，我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a>0),设= b2-4ac,它的解的

3、情形按照 4>。，A=0, < 0分别为下列三种情况 一一有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y=ax2+bXC射0”居轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3 2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应图23 2(1)当A> 0时，抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x轴有两个公共点(xi, 0)和(x20),方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根xi和x2(xi v x2),由图2.32可知不等式ax2+bx+c> 0的解为xvxi,或x>x2；不等式ax2+bx+cv 0的解为xixvx2.

4、(2)当A= 0时，抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2+ bx+ c= 0 有两个相等的实数根xi=x2=- 2a ,由图2.3 2可知b不等式ax2+bx+c> 0的解为x= 2a ；不等式ax2 + bx+ cv 0无解.(3)如果< 0,抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x轴没有公共点，方程 ax2 + bx+c= 0没有实数根，由图2.3 2可知不等式ax2+bx+c> 0的解为一切实数；不等式ax2 + bx+ cv 0无解.今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如

5、果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.二、典例精析【典例1】解下列不等式:(1) x2+2x 3W0；(3) 4x2+4x+1>0；(2) xx2+6v0；(4) x2 6x+9WQ的一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)与 ax2+bx+cv 0 (a>0)的解.(5) 4 + x-x2< 0.【答案】见解析 【解析】(1) A>0,方程 x2+2x3=0 的解是 xi=3, x2=1.，不等式的解为3<x<L(2)整理，得 x2-x-6>0.A>

6、;0,方程 x2-x-6=0 的解为 xi=_ 2, x2=3.，原不等式的解为 x<- 2,或xv 3.(3)整理，得(2x+ 1)2>0.由于上式对任意实数 x都成立，原不等式的解为一切实数.(4)整理，得(x-3)2< 0.由于当x=3时，(x3)2=0成立；而对任意的实数 x, (x3)2<0都不成立，原不等式的解为 x=3.(5)整理，得x2-x + 4>0. Av 0,所以，原不等式的解为一切实数.【典例2】已知不等式ax2 bx c 0(a 0)的解是x 2,或x 3求不等式bx2 ax c 0的解【答案】见解析【解析】由不等式 ax2 bx c 0

7、(a 0)的解为x 2,或x 3 ,可知b _ c 一a 0,且方程ax bx c 0的两根分力1J为2和3，. 5, 6,aab一 c即一5, 6.由于a 0,所以不等式bx ax c 0可变为aax2 x c 0 ,即5x2 x 6 0, a a整理，得5x2 x 6 0,所以，不等式bx2 ax c 0的解是xv 1,或x>' .5【说明】：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.【典例3解关于x的一元二次不等式 x2 ax 1 0(a为实数).【答案】见解析【分析】对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次

8、不等式的解，要讨论根的判别式的符号，而这里的是关于未知系数的代数式,7的符号取决于未知系数的取值范围，因此，再根据解题的需要，对的符号进行分类僚留众*母1附好【解析】：a2 4，当0,即a2或a 2时，方程x2 ax 10的解是x1所以，原不等式的解集为x a Ja2 4或x2，a当= 0,即a=虫时，原不等式的解为 xw 2 ；当 0,即2 a 2时,原不等式的解为一切实数综上，当a J2,或a>2时，原不等式的解是 xa a2 4：;2当2 a 2时，原不等式的解为一切实数.【典例4】已知函数y= x22ax+1(a为常数)在2awi上的最小值为n,试将n用a表示出来.【答案】见解析

9、【分析】：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置 进行分类讨论.【解析】：: y= (x a)2+1 a2,，抛物线y=x22ax+1的对称轴方程是 x= a.图23T(1)若一2<aw,由图2.3-3可知，当x= a时，该函数取最小值 n=1-a2;(2)若av -2时，由图2.3-3可知，当x= -2时，该函数取最小值n=4a+5;(3)若a> 1时，由图2.3-3可知，当x= 1时，该函数取最小值 n= -2a+2.综上，函数的最小值为 n4a 5, a 2,1 a2, 2 a 1,2a 2, a 1.三、对点精练1 .解下列不等

10、式：(2) x2-x- 12<0；(4) 16 8x+ x2<o.(1) 3x2-x-4>0；(3) x2+3x 4>0；【答案】见解析【解析】4(1) 3x2-x-4>0x1或x 3(2) x2-x-12<03x4(3) x2+3x 4>0 x 4或x 1 ;(4) 16-8x+x2<0 x 4 .2.解关于x的不等式x2 + 2x+1-a2<0 (a为常数).【答案】见解析【解析】不等式可以变为(x+ 1 + a)( x+1 a)wQ(1)当一1 av 1 + a,即 a>0 时， 1 ax3 1 + a；(2)当一1 a=1 +

11、 a,即 a=0 时，不等式即为(x+1)2wq . . x= 1;(3)当一 1 一a> 1 + a,即 a<0 时，一 1 + ax3 1 一a.综上，当a>0时，原不等式的解为-1 a»w 1 + a;当a=0时，原不等式的解为 x= 1；当a<0时，原不等式的解为-1 + aaw 1一a.3 .解下列不等式： x2 x 6 0(2) (x 1)(x 2) (x 2)(2x 1)【答案】见解析【解析】x 3 0解法一：原不等式可以化为：(x 3)(x 2) 0 ,于是：或x 2 0猿信公北号:等m髭鬲步就学x 3 x 3或x 2 x3或x 2所以，原不等

12、式的解是 x3或x 2.解法二：解相应的方程x2 x 6 0得：3, x2 2,所以原不等式的解是 xMx 2.(2)解法一：原不等式可化为：x2 4x 0，即x2 4x 0 x(x 4) 0于是：x 0x 03或x 0或x 4 ,所以原不等式的解是 x 0或x 4 .解法二：原不等式可化为:x 4 0 x 4 0x2 4x 0 , 即 x2 4x 0 , 解相应方程 x2 4x 0 ,得 xi 0, x2所以原不等式的解是 x 0或x 4 .【说明】：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不 等式的解.4 .求关于x的不等式m2x 2 2mx m的解

13、【答案】见解析【解析】原不等式可化为：m(m 2)x m 2_1当m 2 0即m 2时，mx 1 ,不等式的解为 x 一； m(2)当 m 2 0即m 2时，mx 1 .10 m 2时，不等式的解为 x ；m1m 0时，不等式的解为x ； m 0时，不等式的解为全体实数.当m 2 0即m 2时，不等式无解.110时,综上所述：当m 0或m 2时，不等式白斛为x 一；当0 m 2时，不等式白解为x 一；当mmm不等式的解为全体实数；当 m 2时，不等式无解.5.解下列不等式：222 x 2x 8 0(2) x 4x 4 0(3) x x 2 0【答案】见解析(1)不等式可化为(x 2)(x 4)0不等式的解是2x42(2)不等式可化为(x 2)0不等式白解是x 2；,1、27-(3)不等式可化为(x )- 0不等式无解。246.已知对于任意实数x, kx2 2x k恒为正数，求实数k的取值范围.【答案】见解析【解析】显然k 0不合题意，于是:k 0(2)2 4k2 0k 0k2 1 092x 37.解下列不等式:(2) 3x 2【答案】见解析【分析】(1)类似于一元二次不等式的解法，运用符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因