专题14平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”初升高衔接教材系列二(解析版)

1、僮信公众号：每H一题高中数学专题14平行线分线段成比例定理及三角形的“四心”一、知识点精讲(-)平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线 常能产生一些重要的长度比.1在一张方格纸上，我们作平行线乙，/，直线。交人/于点人用。，48 = 2,80 = 3,另作直线b交/于点A,以C,AB40不难发现行=D C我们将这个结论般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.ar DEAB DE如图，IJ/U/I有天厂=户当然，也可以得出寸.在运用该定理解决问题的过程中，我们一 BC EFAC

2、DF定要注意线段之间的而应关系，是“对应”线段成比例.二、典例精析【典例1】.如图，t，21，且48 = 2,8C = 3.OF = 4,求。石工厂.【答案】见解析僮信公众号：每H一题高中教学.AB DE 2【解析】V/./3,A BC EF 33Q7ITDE = -DF = 2,EF = DF =.2 + 352 + 35【典例2】在/16c中，。工为边A5.AC上的点，DEf/BC.求证:AD AE _ DEAC 5C5【答案】见解析【解析】 证明（1） v DE/ BC、，ZADE = ZABGZAED = NACB,j.tADE s ABC,AD _AE _ DEAB - AC-BC证

3、明(2)An AF如图过A作直线/6C, t/。七SC,.竽=牛.AB AC过E作七厂A8交AB 丁。，得口BDEF，因而0E = 8E丁 , iAEBFDEADAEDEv EF / AB,.9.=./.=.ACBCBCABACBC从上例可以得出如卜结论：平行于三角膨的一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边而应成比例. 【典例3】已知A8C,。在AC上，AO:OC = 2:1,能否在A5上找到一点E，使得线段EC的中点 在BD上.【答案】见解析【解析】A图334假设能找到，如图3.14,设

4、EC交6。于尸，则尸为EC的中点，作EGAC交8。于G EGH AC、EF = FC ,/. aEGF =aCDF , I1EG = DC,1 RF EG 1：.EG心 ADhBEG AD , E = = 1,=2BA AD 2二.E为A8的中点.可见，行E为A5的中点时，EC的中点在50上.AB _ BD7c - DC我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.【典例4】在4803 AO为N8AC的平分线，求证:【答案】见解析【解析】证明：过。作CE4。，交84延长线于E,03.1-5BDDCRAAD/CE. AEAD 平分N8AC,. NBA。=

5、NDAC, 由 AD/ CE 知 /BAO = ZE,ZDAC = ZACE.NE = 4CE#|ME = AC,AB BD* AC - DC例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的龈然料T豺敷 【典例5】如图3.1-12,在直角三角形ABC中，N8AC为直隹，ADJ.8C于。.求证：(1) AB2 =BDBC，(2) AC2 = CD CBx/2 = 2应.又S,A8C = ； AC,6E,解得BE =殍(2)如图,/为内心,则/到三边的距离均为人连/AB/C, Sc = S. + S + %c，即2& = ；A8 r + ；8C r + ；C4r, 解得r

6、 =也.2(3) A6c是等腰三角形，外心。在40上，连80,则中，OD = AD-R.OB2 = BD2 + OD2,：.R2 = (2&- Rf + r,解得 A =. 8【说明】在直角三角形ABC中，44为直角，垂心为直角顶点A,外心。为斜边8C的中点，内心I在三角形的内部，旦内切圆的半径为也（其中n,Ac分别为三角形的三边8C,C4工8的长），为什么？（该 2直角三角形的三边长满足勾股定理：AC-+ AB-= BC22.如图，在ABC中，AB=AC,尸为8C上任意一点.求证：AP2 = AB1 - PB PC 【解析】证明：过A作4。J. 6。于D在心BD 中,AD2=AB2-BD在

7、A/aAP。中，AP2 = AD2-DP2- AP2 = AB2 - BD2 + DP2 = AB2 - (BD + DP)(BD - DP).AB = AC. AD BC,. BD = DC.#僮信公众号：每H一题高中教学 BD-DP = CD - DP = PC .AP2 = AB2-PBPC.3.已知等边三角形ABC和点P,设点P到三边AB, AC, BC的距离分别为九，俶惠，三角形4BC的高为h，“若点尸在一边BC上（如图a）,此时4=0,可得结论：4+4+/?3=人”请直接应用以上信息解决卜.列问题：当（1）点尸在AB。内（如图b）, （2）点在46C外（如图c）,这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明：若不成立，%,生，由与人之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.【答案】见解析【解析】（1）当点尸在/!6c内时,法一如图，过户作8。分别交A8.AM.AC于B.AT,。,由题设知AM=PD + PE.故PD+PE + PF = AM ,即4+ 生+%=.法二如图,* S&ABC SPAB + Smac + S“BC，.-BCAM=-ABPD + -ACPE + -BCPF, 2222又 AB = 8C = AC.,AM = PD + PE + PF ,即九+九+力3=/l(2)当点P在A6C外如图位置时，4+生+%=万不成立，猜想：h】+h2