线性代数复习总结

1、线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 aij n（ 1）（j1j2 jn）a1jia2j2anjnj1 j2j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质： 行列式行列互换，其值不变。（转置行列式D DT ）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列

2、）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式 Mj、代数余子式 Aj （ 1）i jMj定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：Dj非齐次线性方程组 ：当系数行列式 D 0时，有唯一解：X （j 1、2n）D齐次线性方程组：当系数行列式D 1 0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则 D等于零反对称行列式：aj aji奇数阶的反对称行列式值为零aiia12a13a21a220a310a33三线性行列式方法：用ka22把a2i化为零，。化为三角形行列式特殊行列式:aiia12ai3aiia2ia3i转置行列式：a2ia22a23a12a22a32a3ia32a3

3、3ai3a23a33对称行列式：aij aji上（下）三角形行列式：行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念:1n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算:加法（同型矩阵）交换、结合律数乘 kA (kaij )m*n分配、结合律A* B (aik)m*l*(bkj)l*ni(aik bkj )m*1n注意什么时候有意义般AB=BA不满足消去律;AB=O,不能得A=0或B=0转置（AT）T A(AB)TATBT(kA)T kAT(AB)TBTAT（反序定理）方哥：Ak1Ak2

4、Ak1k2(Ak1 ) k2Ak1 k2几种特殊的矩阵：AE）都是n阶对角阵对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则 kA、A+B、数量矩阵：相当于个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,A 1 B(非矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的 K倍加到另行（列）初等变换不改变矩阵的

5、可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）Ir等价标准形矩阵DrO矩阵的秩r（A）:满秩矩阵 降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r （AB） =r （B） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样 ；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是个数表，对应元素相等才相等；矩阵（kaij）n k（aij）n ,行列式kaijkn naaij逆矩阵注： AB=BA=I则A与B 一定是方阵 BA=AB=I则A与B 一定互逆;不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆

6、矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的 运算律：、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且 （A 1） 1 A、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且（kA） 1、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且（AT） 1(A1)T、两个可逆矩阵 A与B的乘积AB也是可逆的，且1(AB) 11A 1但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆,即使可逆,(A B)A为N阶方阵，若冏=0 ,5、若A可逆，则A 1则称A为奇异矩阵，否则为1伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：A非奇异矩阵。A1A12A21A22（代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2,前提是每个矩阵都可逆）、分块矩阵D1A 1BCC 1、准对角矩阵AA*判断

7、矩阵是否可逆求逆矩阵的方法：定义法AA 1伴随矩阵法AA1A2A3A4A* A AIAAA1A1 1A2A3A41（A可逆）（A可逆）*ATAB：充要条件是0,此时初等变换法 A|In In|A1只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设A a j/n是m*n阶矩阵，则对 A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的 m阶初等矩阵左乘以A：又A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以 A（行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵一简化阶梯型矩阵r（AB尸r（B尸r当r=n时，有唯一解；当 r n时，有无穷多解r（AB）r（B）,无解齐次线性方程组

8、：仅有零解充要r（A）=n有非零解充要r（A）n当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|二0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量 0 ,负向量，相等向量，转置向量句量间的线性关系：线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义p79司量组的秩：极大无关组（定义 P188）定理：如果j j j是向量组 1 2$的线性无关的部分组，则它是极大无关组的充要Ji , j2 ,J r1 , 2 1s条件是：1, 2,.s中的每一个向量都可由.

9、j线性表出。1, 2, sJ1 , J2 ,Jr秩：极大无关组中所含的向量个数。定理：设A为m*n矩阵，则r（A） r的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示 注：两个向量“ 3 ,若 k则”是3线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注：n个n维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量3可由1, 2,. n线性表示的充要条件是 r( 1T 2T.

10、nT ) r( 1T 2T. nT T)判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设k1k2.kn,求k1k2.kn (适合维数低的)2、向量间关系法 P83 ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法(n个m维向量组)P180 ：线性相关(充要) r( 1T 2T. nT) n线性无关(充要)r( 1T 2T. nT) n推论当m=n时，相关，则 1T 2T 3T0；无关，则 1T 2T 3T 0当m<n时，线性相关推广：若向量 1, 2,. $组线性无关，则当s为奇数时，向量组 12, 23,. s 1也线性无关;，<，sIM，MO，S当s为偶数时，向量组也线性相关。定理：

11、如果向量组1, 2,. s,线性相关，则向量 可由向量组 1, 2,. s线性表出，且表示法唯一l,J,A的充分必要条件是1, 2,. s线性无关。极大无关组 注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组(I)解的结构：解为1, 2.(I)的两个解的和12仍是它的解；(I)解的任意倍数k 还是它的解；(I)解的线性组合C1 1 C2 2 . Cs s也是它的解，C1,C2,.Cs是任意常数。非齐次线性方程组(II )解的结构：解为1, 2.(II )的两

12、个解的差12仍是它的解；若 是非齐次线T方程组 AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是(II )的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A) r n ,则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。若是非齐次线性方程组 AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是(II )的全部解。第四章向量空间向量的内积 实向量定义：(a, 3) = T a1b1 a2b2 . anbn性质：非负性、对称性、线性性( a ,k 3 )=k( a ,()；，-、2(k a ,k 3 )= k ( a , 3 );( a + 3 ,)=( a ,

13、 )+( a ,)+(3,)+(3,)；rsr s(ki i," j) ki lj( i, j)一，Rn,i 1j 1i 1 j 1向量的长度II 式,)0的充要条件是 a =0； a是单位向量的充要条件是(a, a) =1单位化向量的夹角正交向量：a 3 是正交向量的充要条件是(a, 3)=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：n阶矩阵AAAT ATA I性质：1、若A为正交矩阵，则A可逆，且 A 1 AT ,且A 1也是正交矩阵；2、若A为正交矩阵，则 A 1;3、若A、B为同阶正交矩阵，则A B也是正交矩阵；4、n阶矩阵A= (aj )是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是准

14、正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量个特征值，此A 是N阶方阵，若数 使AX= X,即(I-A) =0有非零解，则称 为A的一 时，非零解称为 A的属于特征值的特征向量。|A|二.*一*12. n注：1 、 AX= X2 、求特征值、特征向量的方法| I A 0求i将i代入(I-A) X=0求出所有非零解3 、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根(主要学习的)特殊：(I )n的特征向量为任意 N阶非零向量或ClC2 (ci不全为零)4、特征值：若(0)是A的特征值则Al-则Amm贝 U kA k若 A2=A 贝U=0或1若 A2=I 贝U=-1 或 1若 Ak=O 贝U

15、=0迹 tr(A ):迹(A) = an a?ann性质：1 、N阶方阵可逆的充要条件是 A的特征值全是非零的2 、A与A 1有相同的特征值3 、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关4 、5、 P281相似矩阵定义P283: A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵 巳满足P 1AP B ,则矩阵A与B相似,记作AB性质1、自身性：AA,P=I2 、对称性：若 AB则 BA P 1AP B A PBP 1 (P 1) 1BP 1 A3 、传递性：若 AB、 BC 则 ACP 1AP1 BP2 1BP2 C - (PP2)1A(P1P2) C4 、若AB,则A与B同(不)可逆5 、若 AB,则

16、 A1B1 P 1AP B 两边同取逆，P 1A 1P B 16、若AB,则它们有相同的特征值。(特征值相同的矩阵不一定相似)7 、若AB,则r(A) r(B)初等变换不改变矩阵的秩例子：P 1AP B 贝UA100 PB100P 1P 1AP O A=OP 1AP I A=IP 1API A= I矩阵对角化 定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量注：1、P与人中的xi与i顺序一致2 、AA,则人与P不是唯一的推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则 Aa(P281)定理：n阶方阵A a的充要条件是对于每一个Ki重特征根 仆都有r( J A) n Ki约当形

17、矩阵约当块：形如 J注：三角形矩阵、数量矩阵I 的特征值为主对角线。11的 n 阶矩阵称为n 阶约当块；1约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵J1JJ2( J i 是约当块)称为约当形矩阵。Jn定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在 n 阶可逆矩阵P 1AP J 。第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的 n 元多项式 f() 称为一个 n 元二次型，简称二次型。标准型：形如的二次型，称为标准型。规范型：形如的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设 AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C,使得 则称A与B是合同的，记作 A B。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩

18、、化二次型为标准型 ：配方法、做变换(二次型中不含有平方项)A不可逆r（A） nA Ax有非零解0是刖勺特征值A的列（行）向量线性相关A可逆r（A） nAx 0只有零解A的特征值全不为零A|A的列（行）向量线性无关AT A是正定矩阵A与同阶单位阵等价A P1P2 Ps,R是初等阵Rn,Ax总有唯一解向量组等价相似矩阵 具有 反身性、对称性、传递性矩阵合同V关于ee, ©:称为？ n的标准基，？n中的自然基，单位坐标向量;e©, ,en1;tr(E尸n ;任意一个n维向量都可以用自,备，©线性表示.V行列式的计算:若A与B都是方阵（不必同阶），则AB(1)mn A

19、B上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积ain关于副对角线:a2n ia2n i1)n( n i)-2-aa2n KanianianiV逆矩阵的求法:(AME)初等行变换(EMA i)iadbcaia2anaiia2aiiana2A2A2V方阵的事的性质:AmAnAm nia2V 设 f(x) amxmm i am ixLax a0为A的一个多项式.V设Am n，Bn S，A的列向量为ri,2,L ,%则：riA i,i i,2,L ,s,即 A(若(b,b2,L ,bn)T,则 AiananA2An i(Am)n (A)mn对n阶矩阵A规定：f (A), s)b2,B的列向量为(A i

20、, A 2,L , A s)2 L b1n即：AB的第i个列向量L是A勺列向量的线性组合，组合系数就是 AB的第i个行向量是B的行向量的线性组合，组合系数就是mamAiaim i .am i A Lai A a0Es , AB的列向量为用A, B中简单的一个提 i的各分量；高运算速度 i的各分量.V用对角矩阵 左乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;用对角矩阵右乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘AiB11与分块对角阵相乘类似，即：AA22O ，BAkkB22OBkkABAiiBiA22B2AAkV

21、矩阵方程的解法：设法化成(I) AX B或(II) XA B当A0时,(I)的解法：构造(AhB)初等行变换(EMK)(当B为一列时，即为克莱姆法则)(II)的解法：将等式两边转置化为AT XTBT,用(I)的方法求出XT,再转置得XV Ax 和Bx 同解(A,B列向量个数相同)，则: 它们的极大无关组相对应，从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系.V判断1, 2,L , s是Ax 0的基础解系的条件：1, 2,L , s线性无关；1, 2,L , s是Ax 0的解；s n r(A)每个解向量中自由变量的个数零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量

22、正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关. 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 向量组1, 2, , n中任一向量i(1wi wn)都是此向量组的线性组合.向量组1, 2,线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组1, 2,线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组1,2, , n线性相关r(A) n;m维列向量组i,2, , n线性无关r(A) n. r(A) 0 A1, 2, , n线性无关，而线

23、性相关，则可由1, 2 , n线性表示，且表示法惟?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.向量组等价可以相互线性表示.记作:1,2, n %1, 2, n矩阵等价A经过有限次初等变换化为B. 记作：A %B?矩阵A与B等价r(A) r(B)A,B作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价r(n) r( 1, 2,)r ( 1, 2,矩阵A与B等价.?向量组1, 2,s可由向量组1,2,线性表示r ( 1, 2,1,

24、2 , s)r(1,2,n) r( 1, 2,s) & r(1, 2,n).?向量组1, 2,s可由向量组1,2,线性表示,且sn，则s线性相关.向量组1, 2,s线性无关,且可由2, , n线性表示，则s w n.?向量组1, 2,s可由向量组1, 2,n线性表示,且(1, 2, s) r(1, 2, , n),则两向量组等价;?任一向量组和它的极大无关组等价.?向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等.?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.?若A是m n矩阵，则r(A) min m,n，若r(A) m , A的行向量线性无关；若r(A) n ,

25、 A的列向量线性无关，即:1, 2, , n线性无关.线性方程组的矩阵式Ax向量式Xi 1 X2 2 L Xn naiia2ia12a22LLa1na2nx,b11 jX2b2A,x,j一 ,J1,2,L ,nMMMMMMamiam2LamnxnbmmJAx有无穷多解Ax 有非零解当A为方阵时1, 2,L , n线性相关可由1, 2,L , n线性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Ax有唯一组解A Ax1, 2,L , n线性无关r(AM )r(AM )1 r(AM)当敌方阵时克莱姆法则r(A)不可由1, 2,L , n线性表示Ax 无解 r(A)r(A)矩阵转置的性质：(AT)T A(A

26、B)T BTAT(kA)TkATATIA(A B)T AT BT矩阵可逆的性质：(A1) 1 A_1_ 11(AB) 1 B 1A 1111(kA) 1 k 1A 1A1IA1(A1)T (AT)1(A 1)k (Ak) 1 A k伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB) B A(kA) kn 1AAlIAn1(A 1)(A) 1 4(AT) (A )T(A )k (Ak)AA A A | A En若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1AB |A|B|kA kn AAkIAk线 性 方 程 组 解 的 性 质(1)32是Ax 0的解，12也是它的解(2)是Ax 0的解，对任

27、意k, k也是它的解、工口口齐次方程组(3) 1, 2,L , k是Ax 0的解，对任意k个常数1, 2,L , k, 1 12 2 k k也是它的解(4)是Ax 的解，是其导出组Ax 0的解，是Ax的解(5) 1, 2Ax的两个解，12是其导出组Ax 0的解(6) 2是Ax的解，则1也是它的解12是其导出组Ax 0的解(7) 1, 2,L , k是Ax的解，则1 12 2 k k也是Ax的解 12k 11 12 2 k k是 Ax 0 的解12k 0，设A为m n矩阵，若r(A) m,则r(A) r(AM),从而Ax一定有解当m n时，一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数 向量个数则该

28、向量组线性相关.m是r(A)和r(AM )的上限.V矩阵的秩的性质： r(A) r (AT) r (AT A) r(A B尸 r(A) r(B) r(AB) < min r(A),r(B) r(kA)r(A)若 k 00 若k 0r(A) r(B)若A 0,则r(A)1 0 若Am n,Bn s,且r(AB) 0,则r(A) r(B)< n若P,Q可逆，则 r(PA) r(AQ) r(A)若A可逆，则r(AB) r(B)若B可逆，则r(AB) r(A)若r(A) n,则r(AB) r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律AB 0AB AC标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交，每个

29、向量长度为1.与正交 (，)是单位向量| | |V内积的性质：施密特 1, 20.T1 1.正定性：(对称性：(双线性：( 1(c3线性无关，正交化单位化)。,且(，)0)(，)12)( , 1)(2， ) ( 1，)()(c , ) ( ,c1 1(2，1 )2 2(11)(3, 1 )3 3( 1 1)_1_1 二2，2)2， )1(3，2)1( 2 2)22_3_二一3 一I正交矩阵 AAT E .V A是正交矩阵的充要条件：A的n个行(列)向量构成？n的一组标准正交基.V正交矩阵的性质： AT A1; AAT A A E ;A是正交阵，则AT (或A1)也是正交阵；两个正交阵之积仍是正

30、交阵；正交阵的行列式等于1或-1.A的特征矩阵E A.A的特征多项支| E A f().A的特征方程| E A 0.Ax xAx与x线性相关V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.，若A 0,则0为A的特征值，且Ax 0的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量nM A 1 2L ni tr A1aiV 若 r(A) 1 ,则 A 一定可分解为 A = a2 b1, b2, L , bM 12n2A(a1bl a2b2 Lanbn)A从而 A 的特征值为1 tr Aa1bla2b2Lanbn,23 L n 0.V若A的全部特征值1, 2,L , n, f(x)是多项式，则:

31、f (A)的全部特征值为f ( 1), f ( 2),L , f ( n)； 当A可逆时，A1的全部特征值为1产,L , 12n 1A的全部特征值为®,®,L卢.12nV是A的特征值，则:kAaA bE分别有特征值ka b12，xzlA关于的特征向量A与B相似1B P 1APAmAkAaA bE，则x也是关于ka b2的特征向量.AmAIA（P为可逆阵）记为：A: BV A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P1AP为对角阵，主对角线上的元素为A的特征值.ki为i的重数.V A可对角化的充要条件：n r（ iE A） kiV若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似.A与B正交相似B P 1AP（P为正交矩阵）V相似矩阵的性质： A1 : B 1若A,B均可逆 AT : BT Ak : Bk（k为整数）E B ,从而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.即：x是A关于0的特征向量，P 1x是B关于0的特征向量.从而A, B同时可逆或不可逆