2012年广州市普通高中毕业班综合测试(文科)(二)

1、试卷类型：A图12012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2012. 4本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 .用2B铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位 置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2 .选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原

2、来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 .4 .作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 .5 .考生必须保持答题卡的整洁 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A满足A 1,2 ,则集合A的个数为A. 4B.C.D. 12.已知i为虚数单位，复数z1aZ2 ,则实数a的值为A. 2B.C.D.2或 03.已知双曲线21的虚轴长是实轴长的 m2倍，则实数m的值是C.D.44.某

3、中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x y的值为A. 7C. 9B. 8D. 108975x08629uuuuuu5 .已知向量OA 3, 4 ,OBumr6 , 3 , OCm,muuu uuu1 ,若 AB/OC ,则实数m的值为B.D.6.已知函数f xex e x 1 （e是自然对数的底数），若f a2,则f a的值为A.1 eB. eC. eD.1 e7 .已知两条不同直线 m、l ,两个不同平面 、，在下列条件中，可得出的是8 . m l, I l , m8

4、.下列说法正确的是一一 .1 ，、一，一，一一A .函数f X一在其定乂域上是减函数XB .两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件22C.命题“ X R, X2 X 1 0”的否定是“ X R, X2D.给定命题p、q,若p q是真命题，则 p是假命题9 .阅读图2的程序框图，该程序运行后输出的 k的值为A. 9B. 10C. 11D. 12,2.2一 _10.已知实数a,b满足a b 4a 3 0 ,函数f x asin x bcosX 1的最大值记为a, b ,则 a, b的最小值为A. 1B. 2C. 73 1D. 3二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 （一）必做题（1113

5、题）4小题，每小题5分，？茜分20分.-211 .不等式X 2x 3 0的解集是.12 .如图3, A,B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4 .从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 13 .已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，OP J2 （点O为坐标原点）点M 1,0 ,则cos OPM的取值范围是ABC （顶点A , B, C按顺时（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14 .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形针方向排列）的顶点A, B的极坐标分别为2- , 2, ,则顶点C的极坐标66为.15

6、.（几何证明选讲选做题）如图 4, AB是圆使BC 2OB, CD是圆。的切线，切点为AD则CD的值为BD三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16.（本小题满分12分）已知函数 f x cosx sinx cosx sin x .（1）求函数f x的最小正周期；12.的值.(2)右 01,0 一，且 f 一 一，f 一，求 sin22232317.（本小题满分12分）甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示:食物类型甲乙丙维生素C （单位/kg）300500300维生素D （单位/kg）700100300成本（元/kg）543某工厂欲将这三种

7、食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为xkg、ykg、z kg.（1）试以x、y表示混合食物的成本 P;（2）若混合食物至少需含 35000单位维生素C及40000单位维生素D,问x、y、z取什么值时，混合食物的成本最少?18.（本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体 MN ABCD,下半部分是长方体 ABCD ABC1D1（如图5）.该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图 6,其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成(1)求线段AM的长;(2)证明：平面ABNM 平面CDMN ;(3)求该建筑物的体积.19.（本小

8、题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆_2. _Ci与抛物线C2 : x 4y有一个相同的焦点 Fi ,直线l : y2x m与抛物线C2只有一个公共点.（1）求直线l的方程;（2）若椭圆C1经过直线l上的点P,当椭圆C1的长轴长取得最小值时，求椭圆 C1的方程及点P的坐标.20 .(本小题满分14分)a an 4已知数列 an的前n项和为Sn,对任意n N ,都有an 0且Snqnln an(1)求数列 an的通项公式;(2)使乘积bi?b2bk为整数的k(k N )叫“龙数”，求区间1,2012内的所有“龙数”之和；(3)判断bn与bn 1的大小关系，并说明理由21.(本小题满分14分

9、)19已知函数 f x ln x -ax x , a R.2(1)求函数f x的单调区间；(2)是否存在实数a ,使得函数f x的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存 在，说明理由.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准11.3,1112.314. 2.3, 315.、,2说明：第14题答案可以是2.3, 2k (k Z) 3题号12345678910答案ACABADCDCB、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题，每小题5分，满分50分.5小题，考生作答 4小题,每小题5分，满分20分.其中1415题是选做题，考生只能选做一题.二、

10、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共2分三、解答题：本大题共 6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力）(1) 解： f x cosx sin x cosx sinx2. 2cos x sin x cos2x,，函数f x的最小正周期为T（2）解：由（1）cos2x.13，f11 cos -,cos3 0一,02sin.1 cos2sin1 cos210分sincoscos sin11分4.2912分17.

11、（本小题满分12分)（本小题主要考查线性规划等知识考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意得x y z100,P 5x 4y 3z.由 x y z 100,得 z 100 x y,代入 P 5x 4y 3z,得 P 300 2x y.(2)解:依题意知x、y、z要满足的条件为x 0, y 0, z 0,300x 500y 300z 35000,700x 100y 300z 40000.0,x 0, y，当x 37.5(kg), y 25 (kg), z 37.5(kg)时，混合食物的成本最少. 12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何

12、体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)解：作MO 平面ABCD ,垂足为O ,连接AO ,由于AB 平面ABCD ,故MO AB.作MPAB ,垂足为P ,连接PO ,又 MOI MP M ,且 MO平面MPO ， MP平面MPO ，B1 AB 平面 MPO.由题意知 MO PO AP 1, AA1 4, AD 2,在 RtPOM 中，PM JPOMo J2, 在 Rt apm 中，am Jap2 pm 2 M, .线段AM的长为J3.(2)解：延长PO交CD于点Q,连接MQ ,由(1)知AB 平面MPO. MQ 平面 MP

13、O , AB MQ .4分MN /AB,，MN MQ . 6 分在 PMQ 中，MQ MP 72, PQ 2 , MP2 MQ2 4 PQ2 , . MP MQ . 7 分. MP I MN M ,MP 平面 ABNM , MN 平面 ABNM , MQ 平面 ABNM . MQ 平面 CDMN，.平面 ABNM 平面 CDMN .9 分(3)解法1：作NR/MP交AB于点作NQ1 /MQ交CD于点Q1 ,由题意知多面体MN ABCD可分割为两个等体积的四棱锥 M APQD和N RBCQi和一个直三棱柱 MPQ NRQi.1 _ _ _12四棱锥 M APQD 的体积为 V1 -gAPgADg

14、MO -12 1 , 10 分3331 1-直二棱枉mpq NPQ1的体积为V2gMPgMQgMN-&亚 2 2,11分2 22一10.多面体MN ABCD的体积为V 2V1V2 2 2 . 12分3 3长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积为 V3 ABgBCgAA 4 2 4 32 . 13 分建筑物的体积为 V V3 ”63解法2：如图将多面体 MN ABCD补成一个直三棱柱 ADQ BCQ1 ,依题意知 AQ DQ BQ1 CQ1 J2,MQ NQ1 1 , AD 2.多面体MN ABCD的体积等于直三棱柱 ADQ BCQ1的体积减去两个等体积的三棱锥 M ADQ和N BC

15、Q1的体积. AQ2 DQ2 4 AD2, AQD 90 .11直二棱枉 ADQ BCQaq体积为 V1 1gAQgDQgAB42 421八一.11分3三棱锥MADQ的体积为V23g2gAQgDQgMQ多面体MN ABCD的体积为V V1 2V2 41 1 .23 22 10.3312分15分13分长方体 ABCD AB1clD1的体积为 V3 ABgBCgAA 4 2 4 32 .建筑物的体积为 V V3106319.（本小题满分14分）（本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解法1：由' 2

16、'消去y ,得x2 8x 4 m 0. 1分x2 4y直线l与抛物线C2只有一个公共点,284 4m 0 ,解得 m 4. 3 分直线l的方程为y 2x 4.解法2：设直线l与抛物线C2的公共点坐标为 xo,y0 ,.1、一 1八,一,直线l的斜率k y x % -xo .依题意得一xo2 ,解得 4. 2分x022把xo4代入抛物线C2的方程，得yo4.丁点xo,yo在直线l上,- 4 2 4 m ,解得m 4.，直线l的方程为y 2x 4. 4分解法1： 抛物线C2的焦点为F1 O,1 ,依题意知椭圆 g的两个焦点的坐标为 F1 O,1 ,F2 O, 1 . 5分椭圆 G 的长轴长

17、 2a PF1 PF2 PF1' |PF2| |F1'F2| 4, 11 分其中当点P与点FO重合时，上面不等式取等号12分当a 2时，椭圆a的长轴长取得最小值，其值为 4.22此时椭圆C1的方程为-y- 1,点P的坐标为4332,14分解法2： 抛物线C2的焦点为F1 0,1 ,依题意知椭圆Ci的两个焦点的坐标为 Fl 0,1 ,F20,2设椭圆C1的方程为与 a2xa2 1y2y2a2x2x4,a2 1得5a24 x216 a2a2 116 a20. (*)得5a4，当a16 a24 5a24 a21 160,20a20.2解得a4.11分2时，椭圆C1的长轴长取得最小值，

18、其值为4.1232，y22y x 此时椭圆C1的方程为工一 1.把a 2代入（*）方程，得x 4314.点P的坐标为 31 .2,20.（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识 ，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以an 0 ,an an11.4分及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识（1）解：由于an 1an2 an2an 221 时，a1a1a12一 一 2整理得a1a12 0,解得a12a11.an 0a12.2 时，anSn12anan22an 1an222化简得anan 1anan 10,anan 1 anan 110.，数列an是首项为2,公差为

19、1的等差数列(2)解：bnln an 1 ln n 2In anln n 1bkln3 ln4雨蓊*ln k 2gln k 1In k 2In 2log2 k 2 .6 分令 log2 km,则k 2m 2(m为整数)由12m2 2012,得 3 2m2014,2,3,4,L ,10.，在区间1,2012内的k值为222,232,L-10 c,22其和为22 223210222 23L2102 9182026.10分In nln n 2(3)解法1:0ln n 1InIn n 1bn 1bnIn n 2In n 2In n 1ln n 3In n 1ln解法2:bnlnIn n 3 gn n

20、1ln2ln24ln1 22ln n 2ln n 14ln21.1bn.14lnln n 11, , bn 1ln n 3ln n 2lnln n 2lnn 3 ln n 1n 3 gn n1 ln2ln2 n 2lngn nln2ln n 3 n 1ln221n2 gn n 12ln2ln n 2 gn n 1ln n 2 gn n 10., , bn 1bn.14分 ln x 1、解法3：设f x x 2 ,则f xIn xx 2,gn x -c|n x 1ln2 x11分gnx -C|n x 1 x 1 xgn x c|n x 1 x x0.f x 0.函数f x在2, 上单调递减. nN* , 2 n 1 n 2.In n 3In n 2- .- bn 1bn. 14 分In n 2In n 121.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识,考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力分类与整合、)(1)解：函数f x的定义域为 0,ax2 axx 1 .2x0,0时,函数单调递增区间为0,当a0时,2 ax- x 0,2 ax0.4a.0,即a14时,2 ax0,x的单调递增区间为0,(ii)当0,即a1一时