线面垂直及面面垂直典型例题

1、基础要点1、若直线A、/线面垂直与面面垂直a与平面2、在斜三棱柱 ABC足为H，则H一定在A、直线AC上3、如图示，平面所成的角相等，则平面不一定平行于A1B1C1, BACB、直线AB上，平面 ，A , B过A B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、2:1B、3:1C、3:24、如图示，直三棱柱 ABB1 DCC1中,BC 2,CG IDCk有一动点 P,则4与的位置关系是（B ）不平行于D、以上结论都不正确90：，又 BC1 AC ,过 C1 作 C1H，底面 ABC 垂C、直线BC上,AB与两平面D、4:3ABB1 90 , ABAPCi周长的最小值是5.已知长方体 ABCD A1B1cl

2、D1 中，A1A AB 2,若棱AB上存在点 巳使得D1P PC ,则棱AD长的取值范围是D、ABC勺内部所成的角分别为一和一464,AB题型一：直线、平面垂直的应用1) （2014,江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC中，D, E, F分别为棱PC, AG AB的中点.已知 PA AC, PA 6, BC 8, DF 5.求证： （1） PA 平面 DEF PA | 平面 DEF ；（2）平面BDE 平面ABC BDEJ.平面ABC.证明：（1） 因为D, E分别为棱PC, AC的中点,所以 DE/ PA.又因为 PA ?平面 DEF DE 平面 DEF所以直线PA/平面DEF.2) ) 因为

3、D,E,F分别为棱PGAC,AB的中点，PA= 6,BC= 8,所以DE/PA,DE= - PA2=3, EF= 1 BC= 4. 2又因 DF=5,故 DFDE+EF2,所以/ DEF= 90° ,即 DE± EF.又 PAI AG DE/ PA 所以 DEL AC.因为A6 EF= E, AC 平面ABC EF 平面ABC；所以DE1平面ABC.又DE平面BDE所以平面BDEL平面ABC.2.（2014,北京卷，文科）如图，在三棱柱 ABC A1B1c1中，侧棱垂直于底面，AB BC, AA AC 2, E、F分别为A1C1、BC的中与 八、.（1）求证：平面 ABE

4、平面B1BCC1； （2）求证：CF/平面ABE.证明：（1）在三棱柱ABC ABiC1中,BB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,I k1 AB 平面ABE, 平面ABE 平面B1 BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG FG-1: E、F 分别为 AG、BC 的中点， FG AC, FG AC,27 AC |aCi, AC ACi, FG | ECn FG EC1，则四边形 FGECi 为平行四边形，C1F EG, '/EG 平面 ABE,C1F 平面 ABE, C1F 平面 ABE .3 .如图，P是 ABC所在平面外的一点，且PA 平面

5、ABC,平面PAC 平面PBC .求证 BC AC .分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AD PC ,交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC ,AD 平面PAC，且AD PC ,所以AD 平面PBC ,又因为BC 平面PBC ,于 是有AD BC.另外PA 平面ABC , BC 平面ABC ,所以PA BC .由及 AD PA A,可知BC 平面PAC .因为AC 平面PAC ,所以BC AC .说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关

6、系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直 线线垂直.4 . 过点S引三条不共面的直线SA、 SB、 SC,如图， BSC 90 ,ASC ASB 60 ,若截取 SA SB SC a(1)求证：平面 ABC 平面BSC;(2)求S到平面ABC的距离.A分析：要证明平面 ABC 平面BSC,根据面面垂直的判定定理， 须在平面 ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明：. SA SB SC a,又 ASC ASB 60 , ASB和 ASC都是等边三角形， AB AC a,取BC的中点H ,连结AH , AH BC .在 Rt BSC 中，BS CS a , . SH BC ,

7、 BC V2a , AH 2 AC2 CH 2 a2 号a)2 a- . sh 2 a-. 22222在 SHA 中，. AH2 a-, SH2 a-, SA2 a2, 22 .SA2 SH2 HA2, AH SH , . AH 平面 SBC. AH 平面ABC,，平面ABC 平面BSC.或：: SA AC AB,，顶点A在平面BSC内的射影H为 BSC的外心，又 BSC为Rt , H在斜边BC上，又 BSC为等腰直角三角形， H为BC的中点， AH 平面BSC. AH 平面ABC , 平面ABC 平面BSC.(2)解：由前所证：SH AH , SH BC, SH 平面ABC , BC 2 S

8、H的长即为点S到平面ABC的距离，SH a,221 -k3口匚+, 2点S到平面ABC的距离为 a .5、如图示，ABC时长方形，SA垂直于ABC所在平面，过 A且垂直于SC的平面分别交 SB SG SD于E、F、G,求证：AE± SBAGL SD6 .在四麴t P-ABCD中，侧面PC皿正三角形，且与底面ABCD®直，已知底面是面积为 2工3的菱形， ADC 60 , M是PB中点。(1)求证：PA CD(2)求证：平面 PAB 平面 CDM7 .在多面体 ABCDE, AB=BC=AC=AE=1CD=2AE 面 ABC, AE 图示，在正四棱柱ABCD AB1clD1中

9、，AB 1,BB1 J3 1,E为 BBi 上使 BiE 1的点，平面AEC1交DD1于F,交AD的延长 线于G,求:(1)异面直线 AD与C1G所成的角的大小(2)二面角A C1G A1的正弦值2.如图，点A在锐二面角MN 的棱MN上，在面 内引射线AP,使AP与MN所成的角 PAM为45 ,MN的大小.分析：首先根据条件作出二面角的平面角,然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解.解：在射线AP上取一点连结AH ,则BAH为射线AP与平面所成的角,BAH 30.再作BQMN，交MN于Q ,连结HQ ,则HQ为BQ在平面的射影.由三垂线定理的逆定理， H

10、Q MNBQH为二面角MN的平面角.设BQ a ,在RtBAQ中BQABAMAB 72a ,在 Rt BHQ 中,BHQ90 ,BQa,BH2.a, sin 2BQHBHBQBQH是锐角,BQH45 ,即二面角MN说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角,.面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存,要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.3. 正方体ABCD A1B1c1D1的棱长为1, P是AD的中点.求二面角 A BD1 P的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平 面上分别作棱的垂线，

11、 方法虽简便，但因与其他条件没有联系， 要求这个平面角一般是很不 容易的，所以在解题中不大应用.在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考 虑到AB垂直于平面ADi , BDi在平面ADi上的射影就是 ADi .再过P作ADi的垂线则PF 面ABD1，过F作DB的垂线FE , PEF即为所求二面角的平面角了.解：过 AB面 AD1 , PFABPF ,又 PF又 PE BD1，EF. RtADiDs PFA,，DDi1吊AD的垂线，垂足分别是 E、F ,连结EF .AD1，PF 面 ABD1.BDi,PEF为所求二面角的平面角.PF APDD1 AD1AD1 y'2 ,PF在 PBD1中，PDi在 Rt PEB 中，PE. PB2 BE2"Rt PEF 中,PEF 30 .垂直于矩形ABCN在平面,M E、N分别是AB 0口 PC的中点,(1)求证：MN/平面PAD(2)若二面角 P-DC-A为一，求证：平面MND_平面PDC45.已知正方体中 ABCD A1B1C1D1, E为棱CCi上的动点，(1)求证：AiE XBD (2)当E恰为棱CCi的中点时，求证：平面 ABD，平面EBD(3)在CCi上是否存在一个点 E,可以使二面角 Ai BD E的大小为45如果存在，试 确定E在CCi上的