初中数学分讨论问题专题

1、中考数学专题复习分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。三、教学难点对于分类的“界点”、 “标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。五、教学用

2、具打印互动背景资料、三角板、多媒体。六、作业布置附后1：分式方程无解的分类讨论问题例题1: （2011武汉）-X-三无解，求ax 3 x2 9 x 3解：去分母，得：3（x 3） ax 4（x 3）（a-1） x 21,21,、 21,、由已知-±3或-23或a 1 0a-1a-1a 8,a6或者 a 1猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a 8或a6例题2: （2011郴州） 2- 二一2无解，求a x 1 x 12: “一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3: （2010上海）已知方程m2x2 （2m 1）x 1 0有实数根，求m的取值范围。（1） 当m2 0时，即m=0时，

3、方程为一元一次方程 x+1=0,有实数根x= 1（2）当m2 0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：22110（2m 1） 4m 4m 1 Q即m -，且 m 041综（1） （2）得，m 14常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略m2 0的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两 种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程， 不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行 讨论的。例题4: （2011益阳）当 m是什么整数时，关于 x的一元二次方程 mx2

4、4x 4 0与x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数。2解：因为是一兀二次方程，所以二次项系数不为0,即m 0, m 0,i 0,解得m 1.5 5.一 同理， 20,解得m .一m 1且m0,又因为m为整数 mW1或1.6 4（1）当m= 1时，第一个方程的根为 x 2 2<2不是整数，所以 m=1舍去。（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以 m=1.练习：已知关于x的一元二次方程（m 1）x2 x 1 0有实数根，则m的取值范围是：3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题:5: （2011青海）方程x2 9x 18 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三

5、角形的周长为（）A 12B 12或15 C 15D不能确定例题6: （2011武汉）三角形一边长 AB为13cm,另一边AC为15cm, BC 上的高为12cm,求此三角形白面积。（54或84）析：，没有给图形的计算题得多留意多解；图形的可能性例题7: （2011湘西）若两圆相切，圆心距是7,其中一圆的半径为4,则另 一圆的半径为：3或11.例题8: （2011四校联考）一条绳子对折 后成右图A、B, A.B上一点C,且有 BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长 度为：60cm 或 120cm分析：1、折点A、B都有可能;给了图形的指代不明导致多解4

6、:动点问题的分类分类讨论问题6.1: 常见平面问题中动点问题的分类讨论;分段函数引起思考不同时段不同的关系例题9: (2011永州)正方形ABCD的边长为10cm, 一动点P从点A出发， 以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A点停止，求点P 运动t秒时，P, D两点间的距离。P4>、*P*解：点P从A点出发，分别走到B, C, D, A所 10_203040用时间是 了秒，彳秒，了秒，了秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。. (1)当 0&t<5 时，点 P在线段 AB ±,|PD|=|PiD|= 一，cm)(2)当 50t<10 时，

7、点 P 在线段 BC 上，|PD|=|P2D|二 70-it)2 no3 =25/t3-20n-125(3)当 10&t<15 时，点 P在线段 CD 上，|PD|=|RD|=30-2t(4)当15<t020 时，点 P在线段 DA 上，|PD|=|F4D|=2t-30WF 4 25 Gm) (0 < i < 5) 工 Jt0 -20t + l力(cm (5 < t < 100 (30 -(IC < t <155综上得:总结：本题从运动的观点，考查了动点 P与定点D之间的距离，应根据P点 的不同位置构造出不同的几何图形，将线段 PD放在直

8、角三角形中求解或直接观 察图形求解。6.2: 组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类例题10: (2010福建)已知一次函数y x 3J行与x轴、y轴的交点3分析：本题中4PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪 两条是腰也没有确定。4PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情 况加以分类：(1) PA=PB; (2) PA=AB ; (3) PB=AB。先可以求出B点坐标 (0，3后,A点坐标(9, 0) o设P点坐标为(x,0),利用两点间距离公式可对 三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为 (9,0)、(3,0)、(9 6M,0

9、)>(9 6M3,0)。(不适合条件的解已舍去)总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也 会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置 分别求其结果，否则漏解。例11: (2010湖北)如图，正方形 ABCD勺边长是2, BE=CE MN=1线段 MN的两端在CD AD上滑动.当DM=时，ZXABE与以D> A M N为项点的三角形相似。分析与解答 勾股定理可得AE=.当4ABE与 以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是 对应边，也可以与AB是对应边

10、，所以本题分两种情况：B(1)当DMf BE是对应边时，照MN,AB AE '即DM 二,DM 也.(2)当DMt AB是对应边时， 155DM MN DM 1 2、552 5,即-j=,DM 故DM的长是一或AB AE '2,5 ,555例题12: (2011湘潭)如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点, 过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C (3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使三角形ABQ是等腰三角形？若存 在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛.这类试题的解

11、题思 路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需 要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确 全面求解的根本保证.解析：(1)抛物线解析式的求法：1,三点式；2,顶点式(h,k) ; 3,交点式。 易得： y a(x 1)(x 3)再结合点B(0,3)在抛物线上yx2 2x 3(2)依题意得AB 痴,抛物线的对称轴为x=1，设Q(1, y)1)以AQ为底，则有AB=QB,及百0 #2 (y 3)2解得,y=0或y=6,又因为点(1,6)在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)2)以BQ为底，同理则有 AB=AQ,解的Q(1,V6

12、) Q(1, 66)3)以AB为底，同理则有 QA=QB,存在点Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：（1,0）、（1,1）、（1,、（1, 同【作业训练】1 .已知等腰 ABC勺周长为 18 cm, BC=8cm.若 ABdA B'C',则"/ B 'C'中一定有一定有条边等于（）A. 7 cm B .2 cm 或 7 cm C . 5 cm D . 2 cm 或 7 cm2. （2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为（）度。A 30B 60C 30 或 90D 603. A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向 而行.已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相 距50千米，则t的值是（）A. 2 或 2. 5 B. 2 或 10C. 10 或 12. 5 D. 2 或 12. 54.已知。的半径为2,点P是。外一点，OP的长为3,那么以P这圆心， 且与。相切的圆的半径一定是（）A.1或5 B. 1C. 5 D.不能确定5. （2011株洲市）两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程x2 5x 4 0的两根，判断这两圆的位置关系： .6. 已知点P是半径为2的。外一点，PA是。的切线