2020年高考平面向量常考题型总结

1、平面向量题型分类r 2 一 一 ，一.b2是求向量的模常用的题型一：向量模的求法方法一r/ft利用| a | Va求解使用背景一般没有坐标背景.解题步骤r/ft直接代入公式|a | Qa化简即可.r r r r r _ r r r【例1】设向量a, b满足|a| 1,|a b| 73, a (a b)r r0 ,求12a b|【点评】公式 |a b . (a b)2 a2ago b a 2 |a |b | cos公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式r r r r r r【变式1】已知向量a,b满足|a| 2,|b| 1,|a b| 2.(1)求a b的值；(2)求|a b|

2、的值.方法二利用r aJx2 y2求解使用背景一般有坐标背景.解题步骤r先求a的坐标，再代入公式r aJx2 y2即可.rr【例2】已知向量a (sin ,1),b (1,cos工一一224 r r, r ,r ,一，(i)若a b,求；(n)求a b的最大值.【变式2】已知直角梯形ABCD，ADBC，ADC 900，AD 2, BC 1,p是腰DC上的动点, urnuur则PA 3PB的最小值为.题型二：向量夹角的求法方法一r r利用公式cos a,bur a( 彳i 力 1-求解.使用情景一般没有坐标背景.解题步骤r r r r先求a案, | a |,|b |,再代入公式cosr ra,b

3、 -uu r ago r r allb求解.rrru r r r r r r【例 1】已知 x a b, y 2a b,且 |a| |b| 1,a b.rirr u(1)求| x |和| y | ； (2)求x, y夹角的余弦值.【变式1】已知a, b都是非零向量，且 a 3b与7arr r rr r5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.方法二利用公式cos； X1X2 y1y2求解./ 22/227x y1& y使用情景一般有坐标背景.解题步骤先求出a,b的坐标，再代入公式 cosj x12 yy 求解./ 22 J 22Vx1 y vx2 y2)的图像与y轴交于点(0,1).

4、【例2】 如图，函数y 2sin( x ), x R (其中0(I)求 的值;(n)设P是图像上的最高点， M、N是图像与x轴的交点,uuuu ULLTPM与PN的夹角的余弦.r r _ r r _【变式2】已知|a| 1,|b|邪,a b (邪,1),rr rr rr(1)试求|ab|;(2)ab与ab的夹角.题型三：向量位置关系问题的解法方法一利用两个向重平仃或垂直的充要条件(没有坐标目景)使用情景已知条件没有涉及坐标.解题步骤r r r r r r直接证明b a (a 0)或a(b 0【例1】 设两非零向量a和b不共线，如果 AB=a + b,CD=3(ab), BC 2a 8b, 求证

5、：A、B、D三点共线.【变式1】设5、b是两个不共线的非零向量(t R)(1)记OA a,OB tb,OC La b),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线?3 若|a| |b| 1且Wb夹角为120 ,那么实数x为何值时|a xb|的值最小？【例2】已知PQ过三角形OAB的重心G,且P、Q分别在OA、OB上，设uur uuu uur uuu11OP mOA,OQ mOB, m、n R,则, ,的值为. n m【变式2】如图，在平行四边形 ABCD中，M、N分别是AB、AD上的点，且uuur 3 uuu uuir 2 uuurunruuurAM -AB, AN AD,连接AC、MN交于点P

6、点，若AP AC ,则 的值为（）43A.617B.13C.37D.35方法二利用两个向重平仃或垂直的充要条件(坐标背景)使用情景已知条件涉及坐标.解题步骤直接证明 x1y2 x2y10 或 x1x2y1y2 0.r【例3】已知a (1,2), b ( 3,2)，当k为何值时,r r r r(1) ka b 与 a 3b 垂直？r r(2) ka b与a 3 b平行？平行时它们是同向还是反向?uuuuuuumr【变式 3】已知向量 OA (3, 4),OB (6, 3),OC (5 m, (3 m).若点A、B、C不能构成三角形，求实数 m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求实数 m的

7、值.题型四：数量积的运算方法一r r坐标公式agbx1x2y1y2求解使用情景已知中涉及了坐标或方便建立坐标系.解题步骤r rr r先求出对应向量 a,b的坐标，再代入公式 agb x1x2 y1y2计算.【例1】已知正方形 ABCD的边长为2,点E是AB边上的中点，则uur uurDE?DC的值为(A. 1B. 2C. 4D. 6【变式1】在ABC中，AB ACAB AC , AB2 , AC 1 , E、F为BC的三等分点，则uur uurAE AF =()A 8 B9109259269【例2】uuur r uuu等边 ABC的边长为1,记BC a,CAr uuub, ABr r r r r r rc,则a b b c c a等于方法二公式a - b=| a b cos求解使用情景一般没用坐标，也不方便建立直角坐标系.解题步骤r rr r r r先分别计算出|a|,|b|,cos ,再代入公式a b=| a| b| cos求解.uuu r uuu uur 2OA 0 ,则 CA CBuur uur【变式2】ABC的外接圆半径为1,圆心点为O, AB ACA. 3方法三基底法使用情景利用公式法，解题比较复杂 .解题步骤r r选定平面向量的基底 a,b,再用基底表示出未知的向量，再利用数量积公式解答uuuu 1 uuu 2 uuu【例3】若等