解析几何大题的解题技巧

1、目录解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） 一、设点或直线二、转化条件（1）求弦长（2）求面积（3）分式取值判断（4）点差法的使用四、能力要求五、补充知识关于直线关于椭圆：例题解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） 一条分割线 一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为5,比匕|，等。对于胞1匹+5上的唯一的动点，还可以设为 ”.。在抛物线即生的点，也可 以设为11”。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点|“.词并且不与y轴平行，可以设点斜式由一，1，如果不与x轴平行，可以设 卜-飞一

2、 （m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程 j%一餐，其中a是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于 y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线 /- II的表达式中不含 x的二次项，所以直线设为!，或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧， 可以极大地降

3、低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于 0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于 0）, 平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1 ）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0,关于y=±x对称则斜率积为1 （使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目 给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三 思而后行。三、代数运算转化完条件只需要算数了

4、。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方 程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。（1）求弦长解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式d =+-T2）'-1门门=,二4 1，设参数近程时，叔长公式可以简化为rf =+修了一1内（2）求面积解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点 A、B坐标分别为I、二川向J： # AB与x轴交于D,则、望旧口二:同印=屉-(d是且O到AB，的距离；第三个公式教材没 有，解要用的话需要把下面的推导过程抄一下，理解一下。)。在 A ABC 中，设施=(X，yx) 5AC = (x2jy2)SAABC = : |AB1

5、1AC|sinZBAC=i J|AB|21ACp - |M|2 |AC|2cos2ZBAC=iJ|AB|2|AC|2 -(碌 硝七；+ 一值建？ + 八尸=4 #xiY2 +yi - 2x1x2y1y2=| |x1y工一xy/如果考试允许使用课外知识的话，直接写1 .I1S“bc = 2AB 乂力口=万”一全月14 就可以了。(3)分式取值判断解析几何题目的运算中可能需要求分式的取值范围，所以我这里也总结一下常见的六种类型分式取值范围的求B = 1 一法。 小I,其中f(x)的次数为m, g(x)的次数为n o(4)点差法的使用在椭圆的题目中还有一种方法叫点差法，虽然适用范围不大， 但是能用点

6、差法做的题目用点差发真的会比常规方法简单不少。 这类题目一般都会涉及到弦的中点，做题时一定不要忘了点差法的存在。设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式， 或者说得到两点联线斜率与中点与原点连线的斜率积。因为点差法得到的是斜率关系，所以将点差法与转化斜率关系一起使用效果更佳。(当然前提是这道题得能用斜率转化)，我单找了一些点差法的例题，希望能对点差法有更深的理解设椭L过点（1 口作直线I与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点M在直线尸x”l上，求I的方程一 设A（Xi，%）,所以 B（2k°入山2%-%），于是有 1

7、6xj + 25yf - 400 = 0 和 16（2x0 无力2 + 25（2y0 力尸_ 400 = 0,将两式相减，整理可粹口 = 一警，A、 画一曲 25yoM、（10,0）三点共线，所以有纥生二.，代入上式，消jco-10去江3整理可得25%=-16欧+ 160%。©因为M在Al-x0线y=x-l上，所以有丁0 =与一 1,代入上式I消去小，解出£0=*或5,因而M（gO或（5,4）（在椭圆外,舍去工经也点M和5可以写出的方程，为"与"1/ -4在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 （：:片+。=1,过原点的直 43线交椭圆C于M、N两点，过M作

8、x轴的垂线交x轴于A,线段AM中点为B,连接BN,延长NB交牖圆C于点P; 求证PM、PN的斜率之积为定值（II）求证PM_LMNp0）设 P%, M&,打一（一加 _ 一灿仇+为） 'e*1 _ 一和）51 _%）（，工 +xo）于是 N（右，九）*4耳1一耳o两点在椭圆C上。所以3比4 4光- 12=0, 31+ 4光- 12 = 0,两式相减，整理得 :If1：；。；=：'即"pm左pn =（"） C（xj1yl）. kPN = kCN =所以2 = ±与卅所求培果相近可得到 了（一4）4 勺4kpz 3MNPN = 11 即 PM

9、-L MN c “ 例二(2013北京理19)已知A、B、C是椭圆W:2十/二1上的 4三个点，。是坐标原点当点B是W的右顶点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形的面积川)当点B不是W的右顶点 时.判断四边形口ABC是否可能为菱形，并说明理由.“(I)当点B是W的右顶点，此时A(l,丹 B(2,0),菱形面积为75n (II)设AGi.yJ, C(x2Jy2)o P> M两点在椭 圆C上u所以蜉+ 4资-4 = 0,另+4一 4 二。，两式相减，整理得磊给二安;隆籍二i二三一例三 -所以四边形OABC不可能为菱形二抛物线也有点差法，用抛物线的点差法可以得到抛物线上两点的连线斜率与这两点

10、中点纵坐标的乘积是焦准距, 但是用的不多。三、能力要求做解析几何的题目，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正 考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一簧。使自己的这些能力得到培养必然少不了平时的训练。四、补充知识这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容关于直线：1、将直线的 两点式整理后，可以得到这个方程：也一+.门生一 ."火 =。”

11、 如果需要写过11.此】粗1口,短两点的直线方程，直接代入这个式子就可以得到，没必要由直线的两点式或点斜式重新化简。至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与 y轴垂直都没有关系。2、直线一般式 Ax+By+C=0所表示的直线和向量垂直；过定点的直线的一般式可以由r.J 4 入 加化简得到。一句这两条推论可以直接写出两点的垂直平分线的方程。3、可能有的老师没仔细讲直线的参数方程，所以在这里补充一点直线的参数方程的东西，希望对解题有若直线1过点”Go,也)并且和向量至-(m, n)平行，设1上一点P(x, y), 根据而就有工k纥组设口于是有仁二这便 是直线的参蛾方程(在推导过程中要求皿1分。，但对皿

12、E的情况也适用)， 如果满足m三+ M = 1且nNO,这是就有m=eosa ,n=sin a ( a是直线1的项 斜角),直统的参数方程也就可以写成心;；：篙二的形式.在下面的讨 y - jo liiiiu论都是针对这种情况而言的，直线参数方程中的t是育实际意义的£以”为坐标原点，沿1向上的方向为正方向，工就是P点的坐标口若要将直线的参豺方程化为直线的一般式,可以根据4口0 (X-Xa)- cosafy- y0) = 07将它括号打开即可m帮助PS :用直线的参数方程设抛物线的焦点弦并与抛物线联立，可以解出两焦点坐标，而且没有根号！关于椭圆：I2门产_+1)4、椭圆丁*k J的焦点

13、弦弦长为rJ-3八炉."(其中”是直线的倾斜角，k是l的斜率)5、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆的准线是十一，下面是推导过程在椭圆十三=1中，焦点F（c,O）,设椭圆上一点F （x。，y。），P至收=式的 距离为dIFP|R（两一c产+y产Jl 一Zcxq+十 b一 '后二J、巳一2网 十不咛一3d五、例题上面给出的几个内容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用。比如前两条内容， 用的时候稍稍变换一下，老师也不一定知道你是在套结论。如果想用第4条的话，可以装模作样地算算，实际上再套用结论，估计老师也未必

14、'能看出来。至于第5个内容，如果老师没讲过，解体又用得着，那就把下面的推导过程抄下来再用。用这些结论，都能或多或少地减小运算量，降低算错的几率。下面看几道例题。建议看解题 过程之前最好先自己做一做。就算不做也可以要看啊，里面涉及到有好多方法的！例1例2例3例4已知懒圆明/ = 直线1与，交于M N两点，1与k轴、y轴交于C、D两点，0为坐标原点.是否存在1使C、D为MN的两个三等分点？着存在，求出L的方程着 不存在，请说明理由0 一设文电,0 D(O.yD)C是DM中点，所以1。知.-加卜D是CN中点，所以N(-x口纣口户HI、N两点在椭圆W上.有2虻+呢=lt |x 4- 4y

15、63; = 1*将片和好当作未知数，管绑出唾和靖 遗而能求出勺=±注 &=士去 口3i：- + - = 1, 代入得 1、而工+ 2、5y + 2 = 0或TSx 2巡y+Z = 0或gx + 2、弓y-2 = 0 或曰而c 2>/5y 2 = 0+,下面介绍一下这道题非要用韦达定理的话怎么做,一设M(xPy1) , N(x2(y2) »由三等分点的条件,用向量不难写出。C = ：0M + oN和 0D = ;0M + |0Nr代入得到0+ 2=。和2门+力=Q (其实到这步之后，根据两点 在楠园上，把IN坐标代入椭圆方程来解也是可以的)利用士+士=-;=&a

16、mp;±二_流，-：=必3壮-2就可以用一元二次方程的韦达定理来做了，例5门力 2 咏已知抛物线C;x2 = 4y,过点的动直线I与C相交于A、 B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线AQ. BQ 与x轴分别交于点E、J判断是否存在点P使得四边形PEQF为矩形？ 若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由0 设A&i，U，根据MX和而共线,可以得到/的=4m. 抛物线方程y =M,求导得寸=二工，则在a、B处切线的斜率分别 42是、工和三如 因为四边形PEQF为矩形，所以有乙曲=-L求出 2222m二用点斜式写出抛物线C在点A和点B处的切线方程并整理，得 到2工

17、速4丁 二工:和2# 4y二片，解方程组，得到Q(，为十 4),一1)口令切线方程中y=0求得Etjxi,O), F(ix2,0),再利用 QP = QEQFt 能知道 P(0,l)例7已知抛物线C;y2 =4/,设Q为抛物线C上的两个不 关于x轴对称的点，判断在x轴上是否存在点R使得 PQR是以R为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由。.设RG3O)。Q点位置有两种情况，下面分别讨论.Q点在 PR上方。如图所示，根据全等关系.可以由P和R的坐标写 出Q的坐标，再代入抛物线方程中，求出勺=3,但这时P、 Q两点关于x轴对称,不符题意u (2)Q点在PR下方,如图

18、所 示，通过全等关系同样可以写出Q的坐标，再代入抛物线方 程中，解出事=7,经检验符合题意。综上，R的坐标为亿0)(2015江苏18)如图.在平面直角坐标系xQy中己知椭圆曰+ M = 1>0)的离心率为它.且右焦 点F到左准线的距离为3. (1)求椭圆的标准方程:(2) mF的直线与桶图交与A. B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线1和AB于点P, C,若PC=2AB,求直线AB的方程“，11)由题目条件可列出方程：土+c = 3和工=4, ca 2解出a=V2, c=l, b=l s桶国的标准方程为日+ y2 = 1 2(2)作椭圆的右港线1, .过C作CC" _11于广

19、'；过C作CC' ±V于C'；过A作入T ±r 于T ；恻a过B作BB' ±V于B'=设AB的倾斜角为。a 8AF.AA' , BF&BB'，AA7 -BB' =2CC',所以 AB=VjCC' 3221 + tcosa=tsinaPC=2AB, PC里、CC' YC，包=4，所以 4YX' =2V2sinaCC, * finaCAftjt cosa + l.tiSina), B(t2cosa + 1,0since)与椭圆方程联立，ft3(sin2a +1) +

20、 2tcosa - 1 = 0“由一元二次方程的韦达定理，有凸十七=一彗二炉 5insa+lC的横坐标飞 = 1 +区虫。0室覆，CCJ =2-xc=-ry- 2smzot+l代入上面的方程，解出sina=Y，于是Ug：x-y- 1 =。或工+ ¥-1 =。；如图,抛物线C:* = Zpx的焦点为F,抛物线上一定点Q（10u求 抛物线C的方程及准线I的方程；过焦点F的直线（不经过Q点） 与抛物线交于A、B两点，与准线I交于点M,记QA, QB, QC的斜 率分别为七，也，心，问是否存在常数人使得的4七=加3成立，若 存在人，求出入的值；若不存在，说明理由0/根据Q（L2在抛物线上,能

21、求出p-2»于是C:/ = 4Xu设 lAS：x my + 1T AGnpi + L%），B（my2 + l,y2）,将心耳与抛物线方 程联立，得到y*-4my-4 = 5 所以力十%二4加，yty2 = -45 由加方程可得M（T-篙 三个斜率的表达式分别为七=潦.七=笆心=1+工根据题意，）=牛=也丝二产=:2（2015山东理20）平面直角坐标系 网中，已知椭圆+ =的离心率L EJ-为今 左、右焦点分别是小 5J证为HI心以3为半径的圆与以玛为圆心以1为半径 的图相交，目焦点在椭国C上, （I）求椭国。的方程（ID设椭圆E1弓+4;】，P 4a*4b*为辅圆C上任意一点，过点P的直线产k"m交椭圆E于M B两点，射线由交椭圆E 于点Q （D求罂的值0口求汹面积的最大值*/（D由题可知2a二% ：二斗,解得42, b=1,椭圆C的方程为9 4必=1"GD 6）设器=内Fdo.yo）zOP = （x0J y0）, OQ = -uOP = （-nx0（-ny0）t 所以Q（一W/一口九）。因为Q在椭圆E上，代入椭圆E的方程，解得口=基即第=2（ii）设 &