《点集拓扑学》复习题.docx

1、点集拓扑复习题一、概念叙述1、拓扑空间4、闭包7、(有限)积空间10、连通集13、人空间16> Lindeloff 空间19、正规空间2、邻域、邻域系基子基58、隔离了集11、连通分支14、德间17、7;空间(/20、紧致空间22、列紧空间23、序列紧空间3、集合A的凝聚点6、子空间9、连通集12、局部连通空间15、可分空间1,2,3,4)18、正则空间21、可数紧空间24、局部紧空间二、判断题1、有限集不可能有聚点()2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是 A = A ()3、女口果贝=()4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。() 5

2、、若是同胚映射，贝lj f(X)= Y6、离散空间中任意子集的导集都是空集(7、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集8、度量空间必是血空间（）9、在尺中，仙叶是开集（）1 0、映射f: XY是连续映射的。若拓扑空间X中序列匕收敛于xeX,贝时卜拓空间Y中和应序列 /&） 收敛于/（）1 1、设X为拓扑空间，C为连通分支，Y是X的一个连通子集，则Yu c（）1 2、%空间必为可分空间（）1 3、止则且止规空间必为7;空间 （）1 4、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）1 5、设X是一个拓扑空间，AuX,则点兀是集合A的一个凝聚点。在A - ”中有一个序列收敛于兀（）1 6、度量空间

3、也是拓扑空间（）1 7、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）1 8、拓扑空间X是一个连通空间当且仅当 X中不存在既开又闭的 非空真子集.（）19、若拓扑空间中的子集 A是连通集，则它的闭包方也是一个连通集。20、设A、B是拓扑空间X44的两个连通子集，则 A 58也是X的一个连通子集 021、如果人、B是拓扑空间X中两个不交的开子集，贝剧、 B必是X中隔离子集 （）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性（）23正规空间必是Hausdoff空间（）24、在一个紧致的石空间中，一个集合是紧致子集。它是一个闭集（）25、紧空间必是Lindelof空间 （）26、度量空间中紧

4、致集必是有界闭集（）27、正则空间必是Hausdoff空间（）28、设X = X”是空间X、X?的积空间，AUX,BUX2分别是X|、X2中闭集（）29、设A、3是拓扑空间X中两个子集，并且则有 d （AcB） = d(A) cd (B)()30、若拓扑空间X是连通空间，则X必是局部连通空间()三、填空1、设f: X->Y是同胚映射，则/必是一一映射，并且一和一都是 连续的。2、设丫是拓扑空间(x,s)的子集，口的拓扑着L称为 ;拓扑空间(r,3|r)称为(x,?的 o3、连通空间X中既开又闭的子集只能是一和一 o4、设X是拓扑空间，若X的每一 覆盖都有一个,则X是Lindelof空间。

5、5、规规的一空间或紧致的空间是7;空间。6、X是拓扑空间。若X的每一个开 覆盖都有，则X是可数紧致空间。7、果4是离散空间X中一个非空连通子集，则力必是 o如果X是一个可数集，则X上的可数补拓扑空间必定是 o9、设X是离散度量空间，X上度量为二则*中任一点0,兀=儿x的球形邻域 B(x,l) = o10、在拓扑空间X中，如果子集A是开集，B是闭集，则A-3是一B-A 是 o11、设(X,3)是实数集上的可数补空间，A是X中一个可数集，B是X中一个不可数集，贝 o12、如果集合X上的任一拓扑3,拓扑空间(X,3)都是紧致空间，则X必是 o13、在平面空间F中，度量。定义为任意两点d 二(旺，兀2

6、)# = ()12),(")=卜卜开|+卜2 -力| ,贝U以原点O为中 心，殳0为半径的球形邻域3(0，可的图形是 o14、 积空间X = X,xX 2的子基元素的一般形式是或 O15、设丫 = 0,l)u2,3)是实数空间/?的一个子空间，则0的子集0,1)是F的 o16、实数空间/?中，取A为整数集，B为有理数集，则，B =o 17、AX=agbyc , X 上拓扑 3 = 0,X,亿 b,取子集 A = b 9 则d (A)二 oA,18、如果X是平庸空间，则X必为紧致空间，它的每一个开覆盖必有有限子覆盖人=o四、单选题1、设*=但扫©,它的一个拓扑是()(A) 0

7、,d,d,b,d,b,c (B) 0,b,c,a,b,c(C) 0,a,b,a,c,a,b,c( B) 0,ab,c,a,b yc2、设X是拓扑空F为所有闭集构成的族，则有().I可一I ”(4)若 A.gF (i = l,2,L)则有 A,uA2UL uAfl uL e F若 A, wF (心 则有 At c AC_ c A cL g F 1,2,L )(C)0,X «F(D)若 AwF 贝 iJX-AeF3、设X为拓扑空则对PA,BuX ,必有().(A'R，0 = X (B) AczA (C) AUB = AnB (D)灭是闭集4、设X为拓扑空间，"X,则有(

8、A)兀的任意邻域都是 X的开集 (町x的任意邻域都是X的闭集(C)包含兀的开集都是兀的邻域(D)若402是兀的邻域，但UU不是x的邻域5、已知(0,1)是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间 (0,1)中的开集是().(力)0,b) (B)亿列(C)a9b (£>) 0其中 w (O,l) ?6、设X =a,b,c, 3是平庸拓扑，(X,?中两子集是隔离的是。.(A) a与/?(B) a,b与b,c(C) a与b,c(D) 0 与a7、下面命题中止确的是()(A)平庸空间是7;空间(B)在空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列(C) 7;空间未必是空间(D) 

9、3;空间中每一单点集都是闭集8>若X是Hausdoff空间，则X必是()？(A)正则空间(B)止规空间(C) 7;空间(D) 7;空间9、下面不连通的拓扑空间是()？(A)实数空间(B)平庸空间(C)包含多于两个点的离散空间/ .拓扑学家正弦曲线5=jp,sin-L/?2|0<x<l( )A x j10、卜面止确的命题是().(A)设f:XY是连续映射，若X满足第二可数性公理(即 *是%空间)，则7也是空间。(B) A空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。(C)若拓扑空间Xy (|</<n)都是短空间，则积空间X,xX2xL xXm也是亿空间。(D) %空间未

10、必满足第一可数性公理。11>拓扑空间X中，是隔离子集，则在子空间 AB中子集A是()?(A)开集，但不是闭集()闭集，但不是开集（c）既是开集，又是闭集 （D）既不是开集，又不是闭集12、在实数空间中，子集 4 = （0,1, B = 0,l） , C = （0.1） , D = 0,1, 其 中可能有同胚关系的是（）.（A） A 与 B （B） C 与 D （C） A 与 C （D） B 与 D13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff 空间"的（）。（人）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既不是充分条件，也不必要条件14、设丫

11、= 0,l） u2,3）是实数空间R的一个子空间，则Y中的子集0,1）是Y的（）.（A）开集，但不是闭集（B）闭集，但不是开集（C）既是开集，乂是闭集（D）既不是开集，乂不是闭集15、设（X,3）集合/?上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（）（力）X是A空间（B） X是舛空间（C） X是可分空间（D） X是Lindeloff空间16、拓扑空间X中“只有单点集”是“X为离散空间”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(P)既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设X是一个集合，令3 = 0, X,则3是X的一个拓扑.2、有理数集Q作为实数空间R的子空间是不连通的.3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理.4、拓扑空间X的子集U是开集的充要条件是 U是它的每一点的邻域.5、若X是E空间，则X中的每个单点集都是闭集。6实数空间R不是一个紧致空间。7、包含不少于两个点的平庸空间不是To空间。8、设(X, ° )为度量空间，如果X为有限集，证明：(X, ° )为离散空 间。9、设(X, 3)为拓扑空间，证明：如果 X的每一个子集A都满足d(A) =0,贝J(X,可是离散空间。10、设X为拓扑空间，f.XiR