高中数学二次函数的图像与性质北师大版必修1知识精讲

1、高一数学二次函数的图像与性质北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：二次函数的图像与性质二次函数及图像二次函数的性质二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系二.学习目标1、进一步研究二次函数及其图像；2、理解在二次函数的图像中 a, b, c, h, k的作用，领会研究二次函数图像移动的方法，并能迁移到其他函数；3、能够熟练地对一般二次函数解析式配方，研究二次函数图像的上下左右移动，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标；4、了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，善于利用三个“二次”的关系进行相关问题的处理；5、培养抓住一个典型例子及化

2、归的意识，学到讨论参数的能力；三.知识要点1、二次函数：形如 y=ax2+bx + c (aO)的函数称为二次函数，其定义域是R。2、二次函数的解析式：一般式：y = ax2 + bx + c ( aQ ；b 2 4ac bb 4ac b顶点式： y a(x 一),其中顶点白坐标为(- -,)；2a 4a2a 4a零点式(两根式)：y=a(x-xi)(x x2)(aw。，其中，xi、x2是函数y= ax2+ bx+ c (aw。的零点(或是方程 ax2+bx+c=0的两个根)。3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线4、二次函数的图像的性质：开口方向：当 a>0时，开口向上；当 a

3、<0时，开口向下；顶点坐标：(-b-,4ac b2)；2a 4a对称轴方程：x ； 2a开口大小：a值越大，开口越小；a值越小，开口越大；单调性：若a>0,单调增区间为(,+ oo)单调减区间为(8上)若2a2aa<0,单调增区间为(一E ),单调减区间为(-,+oo);2a2a5、三个“二次”的关系：一元二次方程ax2+bx + c=。的两个根xi、x2是函数y=ax2 +bx+c (aw。的两个零点，也是对应的一元二次不等式 ax2 + bx+c>0(或<0)的解集的端点。【典型例题】考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f (x)满足f (2) =- 1

4、, f (-1) = 1,且f (x)的最大值是8, 试求f (x)。解答：法一：利用二次函数的一般式方程设 f (x) =ax2+bx+c (awo),由题意4a 2b c1a4a b c1b44ac b2c784a故得 f (x) = 4x2+4x+7。法二：利用二次函数的顶点式方程设 f (x) = a (x m) 2+ n2(1) 11由f (2) =f (-1)可知其对称轴万程为 x 一，故m=；222又由f (x)的最大值是8可知，a<0且n=8；由f ( 2) =- 1可解得a= 4。1故 f(x) 4(x -)2 84x2 4x 7。2法三：利用二次函数的零点式方程由f

5、(2) = 1, f ( 1) = 1可知f (x) =- 1的两根为2和一1,故可设F (x)= f (x) + 1 = a (x 2) (x+1)。又由f (x)的最大值是8可知F (x)的最大值是9,从而解 得a= - 4或0 (舍)。所以 f (x) = 4x2+4x+7。说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。考点二二次函数的图像变换例2. (2020年浙江卷)已知t为常数，函数y x2 2x t在区间0, 3上的最大值为 2,贝U t=o解答：作出y x2 2x t的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax=f(3)=2可 解得t=1

6、； II、若图像有部分在 x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到y x2 2x t的图像，则ymax=f (1)或ymax=f (3),解得t= 3或t=1,经检验， t=1。综上所述，t=1。考点三二次函数的图像的应用例3.已知函数f (x) =4x2mx+5在区间2, +°°上是增函数，则f (1)的范围是()A. f (1) >25B. f (1) = 25C. f (1) < 25D. f (1) >25解答：函数f (x) = 4x2-mx+ 5在区间 2, +9 上是增函数，则区间 2, +9必在对称轴的右侧，从而 m 2 m

7、16 ,故f (1) = 9m>25选A。8说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。考点四二次函数的性质的应用例 4.设 f (x) x2f (x)的值域中共1的定义域是n, n+ 1 (n是自然数)，试判断2有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。解答：f (x) x2 x数在n, n+1上是增函数。2f (x)min f (n) n1一的对称轴为x2故1 一、n - , f ( x)max21,因为n是自然数，故2f (n 1) (n 1)2 (n 1)f (n 1) f (n) 2n 2故知：值域中共有 2n+2个整数。说明：本题利用了函数的单调性，很快求出

8、了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。考点五二次函数的最值例5.试求函数f (x)x2分析:本题需就对称轴C1 ， 2,3解答:函数的对称轴(a 1)x 2在区间1, 3上的最值。1 a 与区间的相对位置关系进行分类讨论:21 a>3。21 a<1,<11时：函数在13f(x)minIIf(x)minf厅)2,f(x)1 a2amax2aIIIf(x)minf(IV 、f ( x )max综上?)1 aa41 aa2 2a4>3 即af (3) 3a一,f ( x) max,f ( x) max8;2f (3)f(1)3a8;313f ( x ) maxf(1)所

9、述：3时,f(1)2, f(x)minf (3) 3a2, f(x)maxf(3)3a 8，f(x)min一、一 1f(x)min%1 af(v)23)aa2 2a 742a 74,f ( x) maxf(3) 3a 8 ;,f(x)max f(1)a 2；当a 5时,a 2, f(x)min f(3) 3a 8。考点六方程的根或函数零点的分布问题例6.已知二次方程 x (a 1)x a 2 0的一个根比1大，另一个根比1小，试求a的取 值范围。解答：设 f(x) x2 (a2 1)x a 2,则 f(1) 0 a2 a 2 02 a 1；例7.当m为何实数时，关于x的方程x2 2(m 2)x

10、 m2 1 0(I)有两个正实根；(II)有一个正实根，一个负实根。解答：(I)设 f(x) x2 2(m 2)x m22f (0)0 m 1004(m2)24(m2m 2 0 m 2022(II)设 f (x) x 2(m 2)x m 1 ,f(0) 0 m2 1 004(m 2)2 4(m2 1) 01 ,由方程有两个正实根，结合图像可知：51) 0m1或 m 14结合图像可知：1 m 1说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像, 考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。考点七三个“二次”的关系0的解集为x|1 x 2，试解关

11、于x例8.已知关于x的一元二次不等式 ax2 bx c的一兀一次不等式cx2 bx a 0 °解答:0, 一元二次不等式法一：由题意可知，a2bax bx c 0的两个根是1和2,故 一a2 .CC 2b,cx bx a 0 x x 1a a即关于x的一元二次不等式cx2 bx aax2 bx c 0对应的一元二次方程3,c 2；又 a210 2x 3x 10- x 12，一, J ,0的解集为 x|- x 1 。法二：122以 t 一代入 cx bx a 0可得：at bt c 01 t 2x元二次不等式 cx2 bx a,1,0的解集为 xq x 1 。考点八二次函数的应用例9.

12、 (2020北京春招)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为 3000元时,可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。(I)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(II)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少?解答：（I）当每辆车的月租金定为故租出了 88辆；（II ）设每辆车月租金x 3000f(x) (100 )(x 150)507E为300050x元，则租赁公司的月收益为12 cc C C50 （x 4050）307050503600元时，未租出

13、的车辆数为3600 3000 12509、二次函数 f ( x ) ax 2bx c的值恒为负的条件是故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元。四.本讲涉及的主要数学思想方法1、函数与方程的思想：研究二次函数零点、最值等问题可以借助方程的思想，研究方程 根的分布、二次函数的应用等问题可以借助函数的思想，二者相互渗透；2、数形结合的思想：利用数形结合可以很方便地处理方程根的分布、函数的单调性、值 域和最值及某些求参数范围的问题。3、分类讨论的思想：对含有参数的二次函数的值域或最值的求解、单调性的研究等往往 要进行分类讨论。【模拟试题】（答题时间：40分钟）、选择题1、（2

14、020年安徽卷）a 0是方程ax2 2xA.必要不充分条件C.充分必要条件2、二次函数 y f（x）满足 f（3 x） f （31 0至少有一个负数根的（）B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件x）且f （x） 0有两个实根，则这两个实根的和为（）A. 0B. 323、如果函数f (x) ax bxA. f(1) f(2)f(4)C. f(2)f(4)f(1)4、(2020济宁调研)已知函数C. 6D.不能确定c(a 0)对任意实数t都有f(2 t) f (2 t),那么() B. f(2)f(1) f(4)D. f(4)f(2)f(1)2f (x) ax bx c的图像经过点(一1, 3

15、)和(1, 1),若0<c<1 ,则实数a的取值范围是（）A. 2, 35、若 f(x) x2 axA. a >2 或 a < 26、设函数f (x)x2B. 1, 31有负值，则实数B. - 2< a <2x a(a 0),若C. （1, 2）a的取值范围是（）C. a妥f （m） 0 ,则（）D. (1, 3)D. 1< a <3A f(m 1) 0B. f(m 1) 07、(2020年江西卷)已知函数 f (x)实数x , f (x)与g(x)至少有一个为正数,A. (0,2)B. (0,8)C. f(m 1) 0D. f(m 1党0的关系

16、不确定22mx 2(4 m)x 1, g(x) mx,若对于任一则实数 m的取值范围是()C. (2,8)D. (,0)二、填空题8、（2020年湖北卷）已知函数f(x)x2 2xa,f (bx) 9x26x2,其中x R,a,b为常数，则方程f （ax b） 0的解集为三 . 解答题10、已知函数f(x) x2 ax b对任意x R都有f (1 x) f (1 x)成立.( I )求实数 a 的范围；(II)利用单调性的定义判断函数f(x)在区间1, + 3上的单调性.11 、函数 y f (x) 的图像与 y 3x2 2x 1 的图像关于原点对称，试求y f (x) 。12、已知 f(x)

17、 x2 ax 3 a ，当 x 2,2 时 f (x) 0恒成立，求a 的范围。2213、 求二次函数f(x) x2 2(2a 1)x 5a2 4a 2在区间 0， 1上的最小值g(a) 的解析式。【试题答案】一、BCBCABB二、8、9、 a0 且 b2 4ac 0；a三、10、(I)由f(1 x) f (1 x)可知函数的对称轴是 X=1,即一 1 a 22(II)单增(证明略)11、设y f(x)上任意点P(x,y),关于原点的对称点 Q( x, y)在函数y 3x2 2x 上，即 y 3( x)2 2( x) 1 y3x2 2x 1。12、设 f(x)min g(a),依题意，只需 g(a) 0.a7I.当一a2即a 4时,g(a) f( 2) 7 3a 0 a 7,故a;232;、r. aa2II .当万 2,2 即 4 a 4寸,g(