5.4平面向量的综合应用

1、§5.4平面向量的综合应用取新考明考情考向分析1 .会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题.2 .会用向量方法解决简单的力学问题及 其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数 歹h解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等 问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式 出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.基础知识自主学习回扣基础知识训填整骷题目知干梳理1.向量在平面几何中的应用（i）用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表小线平行、点共线等问题共线向量定理a U b? a= 2b?壁返一&打=0其中 a=(xn yi), b= (x2,

2、 y2), bw0垂直问题数量积的运算性质a± b? a b= 0? xix2 + yiy2= 0,其中 a=(xn yi), b=(x2, y2),且 a, b为非零向量夹角问题数量积的定义a b ，一， 一 ,cos 0= 11（°为向重a，b的夹角），其中|a | |b|a, b为非零向量长度问题数量积的定义|a|=Za2 = /x2+y2,其中 a=(x, y), a 为非零向量（2）用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题一设口匕向量问题一与邕 解决向量问题一史!解决几何问题.2 .向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一

3、种向量描述.它主要强调向量 的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的 主体.3 .平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即 W= Fs=|F|s|cos 9(。为F与s的夹角).4 .向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数卜解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.【知识拓展】 一 一 .- 一1 ,若 G 是 ABC 的重心，则 GA + GB+GC =

4、 0.2 .若直线l的方程为Ax+By+C=0,则向量(A, B)与直线l垂直，向量(B, A)与直线l平行.基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或"X”)(1)若 AB/AC,则 a, B, C 三点共线.( V ), ， ， ， ，一，(2)在 ABC中，若AB BC<0,则 ABC为钝角三角形.(X )(3)若平面四边形 ABCD满足ab + CD=0,(ABAD)品=0,则该四边形一定是菱形.( V )一.一 一 ，.一、，2 兀(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为 ，且F1|=3, |F2|=5,则F 1+ F2的大小为相.(,)(5)

5、设定点A(1,2)与动点P(x, y)满足OPo)A=4,则点P的轨迹方程是x+2y4= 0.( V )(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2, 1), B(0, 10), C(8,0),若动点P满足：0P =7 .，一 -. ，OA+t(AB+AC), tCR,则点 P 的轨迹万程是 xy+1=0.( V )题组二教材改编2. P108A组T5已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4), B(5,2), C(-1, -4),则该三角形为()A .锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 AB = (2, 2), AC=(4, 8), E3C=(-6, -

6、6),曲|=#+(12 2 =2率,|AC| = 16+64 =4/5,|bC|= ,36+36 =6位,|AB|2+ |E3c2=|AC|2,.ABC为直角三角形.3. P103定义已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移 s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=J.答案 300解析 w= F s= |F隅cos F, s>=6X 100Xcos 60 =300(J).题组三易错自纠4. 在ABC中，已知 第=(2,3), AC=(1, k),且ABC的一个内角为直角，则实数 k的值 为.答案2或手或呼3 3 32解析 若A=90°

7、,则有AB aC=0,即2+3k=0,2解得k=3若 B=90°,则有 AB BC=0,因为 bC=AC AB = ( 1, k-3),一,11所以一2+3(k3)=0,解得 k=y；若 C=90°,则有 ACbC = 0,即1 + k(k 3)=0,解得k=呼.综上所述，k=-3或”或 %3.5,在四边形 ABCD中，AC=(1,2), BD = (-4,2),则该四边形的面积为 .答案 5解析 依题意得 A BD= 1X (-4)+2X 2=0,所以ACBD,所以四边形 ABCD的面积为 2|AC| |BD|=1x5X20=5.6.抛物线M的顶点是坐标原点 O,焦点F在

8、x轴的正半轴上，准线与曲线E: x2+y26x+4y3 = 0只有一个公共点，设 A是抛物线 M上一点，若OA AF = - 4,则点 A的坐标是答案(1,2)或(1, 2)解析 设抛物线M的方程为y2 = 2px(p>0),则其准线方程为 x=刍曲线E的方程可化为(x- 3)2+ (y+ 2)2= 16,2一则有3+pL= 4,解得p=2,所以抛物线 M的方程为y2=4x, F(1,0).设Aj, yoj,则OA =2222偿 yo 1, AF=，y0, - yo所以 OA AF=y0,y0，一y2=4,解得 y0=i2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1, -2).题型分类深度剖析

9、真题典超深度剖析重点难点多堆探究题型一向量在平面几何中的应用f师生共研典例(1)在平行四边形 ABCD中，AD=1, Z BAD =60°, E为CD的中点.若AC BE= 1 ,则AB=.,1答案2解析 在平行四边形 ABCD中，取AB的中点F,_ .一 一 一 一 一 1 一则 BE=FD,，BE=FD=AD 2AB,一 一 一 一又：A C=A D+A B,T 一 一 一 八 1 一 'i.AC BE=(AD+AB)他£ABj=AD2-1AD AB+AD AB-；AB2,3 2 1 。1 2=|AD| +2AD|AB|cos 60 - 21ABi= 1+；X

10、11ABi2ab|2=1.口 . :一 一一t 一 T 1 0一 |AB| |AB|=0,又 |AB|W0,|AB|=2(2)已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足6P=oA一， 、一. 一+ XAB+AC),法(0,+8),则点P的轨迹一定通过 ABC的()A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心答案 C解析 由原等式，彳#OPOA= xAB+AC),即aP= xAB+aC),根据平行四边形法则，知aB+aC是 ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过4ABC的重心.引申探究.-> ->'AB AC本例

11、(2)中，若动点P满足OP = OA+ X+ ，入C (0, + 8),则点p的轨迹一定通过 ABCAB + ACqAB| |aC|J,而空和”分别表示平行|AB| |AC|答案内心解析由条件，得OP OA=/差+空 4AB| |AC|J_-> > ,>、，,、，一 AB AC 一 一一 -一 一一一.，、,于AB,AC的单位向量，故二十1平分/ BAC,即AP平分/ BAC,所以点P的轨迹必过4ABC的内心.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

12、(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.跟踪训练(1)在 ABC中，已知向量AB与AC满足皆+ 什 BC=0,且空竿 =2,则 ABC为()A.等边三角形B .直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形答案 AAB AC> ABAC解析 笺，胃分别为平行于AB, AC的单位向量，由平行四边形法则可知-AB + 'ACZBAC的平分线.因为AB + ACQAB| |AC|jBC=0,所以/BAC的平分线垂直于 BC,所以AB = AC.ABAC Y|AB| |AC|AB| |AC|cos/BAC = 1,所以 c

13、os/BAC = 1,又 0</BAC<ti,故/BAC= 223B -解析取HF中点O所以ABC为等边三角形.（2）（2017湖南长沙长郡中学临考冲刺训练）如图，在平彳T四边形 ABCD中，AB=1, AD=2,F, G, H分别是AB, BC, CD, AD边上的中点，则 EF尾 + GH HE等于（）a.23D- -4答案则EFff 2 f 2FG= EF EH =EO -OHGH HE = GH GF = GO2 OH2=1_2=31 卜厂4,A.一3 一因此EF FG + GH HE = 5,故选题型二向量在解析几何中的应用师生共研典例 已知向量OA= (k,12), O

14、B = (4,5), OC = (10, k),且A, B, C三点共线，当k<0时,若k为直线的斜率，则过点（2, 1）的直线方程为答案 2x+y3=0解析 AB=OB OA= (4k, 7), ，BC=OCOB = (6, k-5),且AB/ BC,(4-k)(k-5)+6X7=0,解得k= 2或k= 11.由k<0可知k= 2,则过点(2, 1)且斜率为一2的直线方程为 y+1 = 2(x2),即2x+ y-3=0.(2)若点O和点F分别为椭圆227 +气=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为答案 6解析由题意，得F(- 1,0),设P(xo, y

15、o),-1,解得 y0=3, x0j因为 FP = (xo+1, yo), OP = (xo, yo),所以OP FP = Xo(xo + 1)+y0 = Xo+xo+31l x2；= x2+xo+3,对应的抛物线的对称轴方程为xo一、，-W、“一 一一什，r一，一22=2,因为一2W xo<2,故当x0=2时，O PF P取得最大值 +2 +3= 6.思维升华 向量在解析几何中的 “两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去 “向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.

16、(2)工具作用：利用 a±b? ab=0( a, b为非零向量)，all b? a= ?b(bw0),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.跟踪训练(1)在平面直角坐标系中， O为坐标原点，直线l: xky+1 = 0与圆C： x2+y2=4 相交于A, B两点，OM = OA + OB,若点 M在圆C上，则实数k=.答案 0解析 设AB的中点为D,则有OM = O)A+O)B = 2O)D,. |oM |= 2|oD |= R= 2(R 为圆 C 的半径),|o>D|= 1.|0- 0+ 1|由点到直线的

17、距离公式，得 1= j ,解得k= 0.k2+1(2)(2017安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点A在椭圆25+q=1上，点P满25 9足AP=(X- 1) OA(X R)(O是坐标原点)，且OAOP=72,则线段 OP在x轴上的投影长度的最大值为.答案 15解析因为AP=(卜1)OA,所以OP= BA,即O, A, P三点共线，因为OA OP=72,所以 OA OP= |OA|2=72,设A(x, v), OA与x轴正方向的夹角为依线段OP在x轴上的投影长度为|OP|cos 0|= p|X|72凶72M|72 v 72=15.向x+V瓢噂2再15 .当且仅当|x|=/时取等号.题

18、型三向量的其他应用_国图命题点1向量在不等式中的应用x+ v>2,典例 已知O是坐标原点，点A(-1,2),若点M(x, y)为平面区域，xW1,上的一个动点，、尸2则OAOM的取值范围是()A. -1,0B. 0,1C. 1,3D. 1,4答案 D解析 作出点M(x, y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，设 z=OAoM,因为A(- 1,2), 一一一 一 11 1M(x, v),所以z= OA OM = - x+2y,即y= x+于.平移直线y=-x,由图象可知，当直线 y= 2x+ *经过点C(0,2)时，截距最大，此时一，一，八11.时，截距最小，此时 z最小，最小值为1,故

19、1WzW 4,即 1w6AoMw4.z取大，取大值为 4,当直线y=x+±z经过点B命题点2向量在解三角形中的应用 典例 在ABC中，角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,若20aBC+15bCA+12cAB= 0,则 ABC最小角的正弦值等于()3B.4C.5,7D.4答案 C解析 20aBC+ 15bCA+ 12cAB= 0, _>f一 . 20a(A C-A B) + 15bC A+ 12cA B = 0, . (20a 15b)AC+ (12c 20a)AB=0,.AC与AB不共线,20a-15b=0,12c-20a= 0,，=3a, 解得5c=3a，.ABC

20、最小角为角A,b2+c2a2 cos A=-2bc16a2+25a2_#45=5'2X3aX3a3 . sin故选C.命题点3向量在物理中的应用典例 如图，一质点受到平面上的三个力F 1, F 2, F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1, F2成60°角，且F1, F2的大小分别为2和4,则F3的大小为(B. 2/5D. 6A. 2sC. 2答案 A解析如题图所示，由已知得 F i+F 2+F 3=0,则F 3=- (F i+F 2),即F 3= F 2+F 2+2F1F 2=F2+F2+2|Fi| |F21cos 60 = 28.故|F3|=2币.思维升华 利用

21、向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义 或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.跟踪训练(1)函数y=sin(cox+昉在一个周期内的图象如图所示，M, N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且OM oN = 0,则函数f(x)的最小正周期是 .答案 3解析由图象可知，M(2，1N(xn, 1)，1 1所以 OMoN=亚，1 J (Xn, - 1) = 2XN 1=0,解得Xn=2,所以函数f(x)的最小正周期是2X 2-2 = 3.y>x,(2)已知x,y满足极+ y<2,若0A = (x,1), Ob = (2, y),且OA 而的最大值是最小

22、值的8“a,倍，则实数a的值是.解析 因为 O>A=(x,1),(OB=(2, v), 所以 Oa OB=2x+ y,令 z= 2x+y,依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数Z= 2x+y过点C(1,1)时，Zmax=2X 1+1 =3,目标函数 z= 2x+y 过点 F(a,a)时，zmin = 2a+a = 3a,所以 3= 8X 3a,1 解得a= 1.8审题路线图-三审图形抓特点典例 已知A, B, C, D是函数y=sin(cox+耳卜>0, 0<2： 一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A, 0 B为y轴上的点，C

23、为图象上的最低点，E为该函数图象的一个. .->. 一 . . TT 一对称中心,co,()的值为(B与D关于点E对称，由CD在x轴上的投影为,则审题路线图E为函数图象的对称中心，C为图象最低点作出点C的对称点MD , B两点对称CD和MB对称CD在x轴上的投影是12BM在x轴上的投影OF二金A1忖=4 一三3= 2y= singx+ 4（）兀和丫 = $1 n或图象比较,5= 6M,作MF，x轴，垂足为F,°r.解析 由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点如图.B与D关于点E对称，由CD在x轴上的投影为 比，知 又A6, 0）所以af = T=2：，所以2.同时函数y

24、=sin（3 图象可以看作是由y= sin cox的图象向左平移得到，故可知()()兀口 r兀)='=-,即(b=-3 2 6' W 3.答案 A课时作业b基础保分练1 . （2018株州模拟）在 ABC中,（BC+BA） AC=ACf,则4 ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 由(BC+ BA) AC= AC2,得AC (BC + BAAC) = 0,即 AC (BC + BA+ CA)= 0,2AC BA=0,. ACXBA, . =90°.又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,故 ABC -一定是

25、直角三角形.2.已知点A( 2,0), B(3,0),动点P(x, y)满足PApb=x2,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案 D解析 PA=(-2-x, -y), PB= (3-x, - y), PA PB = ( 2x)(3x)+y2=x2, -y2=x+6,即点P的轨迹是抛物线.3.已知向量 m=(1, cos 机 n= (sin0, 2),且 m± n,则 sin 2 0+ 6cos2 0 的值为(1 A.2B. 2C. 2啦D. 2答案解析由题意可得 m n= sin 0 2cos 0= 0,则tan0= 2,所以 sin 2 0+ 6cos2 0=2

26、 .2sin 0cos 0+ 6cos 0sin2 0+ cos2 02tan。+ 6t 2a = 2.故选 B., ，一 一、，一一 ，1 71 74.（2017长春质量监测）在4ABC中，D为 ABC所在平面内一点，且AD=3AB + 2AC则至BCDSABD等于（1A.61B.3C.2D.3答案解析如图，由已知得点D在 ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处,从而有SaABD = 2sx ABC, SA ACD = 3$ABC , SA BCD =11_1'1 _ 2_ 3户ABC = 6$a ABC,所以SA BCDSaabd13.5.已知F1, F2分别为椭

27、圆C： Xr + y-=1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1 EF2 98的最大值、最小值分别为()A. 9,7B. 8,7C. 9,8D. 17,8答案 B解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1,0), F2(1,0),设E(x, y)(-3<x< 3),则EF=(1 x, y), EF2= (1 x, - y),所以 EF1 EF2= x2-1+y2= x21 + 8声2 =x + 7, 99所以当x=0时，eF E?2有最小值7,当x=七时，E1 E12有最大值8,故选B.6. (2018四川凉山州一诊)若直线ax-y=0(aw0)与函数f(x) =c

28、2 一2cos x+ 1In2+x2-x的图象交于不同的两点A, B,且点C(6,0),若点D(m,n)满足DA+DB=CD,则m + n等于(A. 1B. 2C. 3D. 4答案 B2cos1 x 什 12cos2x + 1解析 因为f(-x)= -/一=2-x2+xIn- In2+x2-xf(x),且直线ax- y=0过坐标原点，所以直22cos x+ 1线与函数f(x) =的图象的两个交点2 + xIn2-xA, B关于原点对称，即xa+xb=0, yA+ yB=0,又DA = (xa m, yA-n),DB=(xbm, yB-n), (CD = (m-6, n),由 DA + DB=C

29、D,得 小 m+xB-m = m-6, yA n+yBn=n,解得 m=2, n= 0,所以 m+n= 2,故选 B.，一， > 一，7.在菱形 ABCD 中，若 AC=4,贝 U CA AB=.答案 8解析设 / CAB= 0, AB=BC=a,由余弦定理得 a2 = 16 + a2 8acos 0, acos 0= 2,CA aB= 4X ax cos(兀一 = 4acos 0= 8.8 .已知|a|=2|b|, |b产0,且关于x的方程x2十|a|x ab= 0有两相等实根，则向量 a与b的 夹角是.答案言3解析 由已知可得 A= |a|2+4a b=0,即 41b|2+4X 21

30、b12cos 0= 0, 1- cos 0= 2.2兀又长0,兀0=39 .已知O为 ABC内一点，且OA+6C + 2OB=0,则 AOC与4ABC的面积之比是 . 答案 1 ： 2解析如图所示，取AC的中点D,入.Oa+Oc=2(Od,.OD=Bo,.O为BD的中点，面积比为高之比.Saaoc DO 1即=二Saabc BD 210.如图所示，半圆的直径 AB = 6, O为圆心，C为半圆上不同于 A, B的任意一点，若 P 为半径OC上的动点，则(RA+PB) pC的最小值为.O答案2解析圆心O是直径AB的中点，一 广一一 .PA+ PB=2PO, . (FA+PB) PC=2PO PC

31、,一一 |PO|+ |PC|=3>2 V|PO| |PC|,，|PO| |pC|w * 9 ，一 ,3 . 一 一即(PA+PB) PC = 2PO PC = - 2|PO| |PC|> 2,当且仅当 |PO|= |PC|=2时，等号成立，故最小值为2., , ， , ， ， ，.，, ， 一，.一 一 二工 11.已知点P(0, 3),点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA A M = 0, A M =-3MQ,当点A在x轴上移动时，求动点 M的轨迹万程.解 设M(x, y)为所求轨迹上任一点，设 A(a,0), Q(0, b)(b>0),-7则PA= (a,3)

32、, AM = (x-a, y), MQ=(-x, b-y),I ，I由 AM = 3MQ,得由 PA AM=0,得 a(x a)+3y=0.b-y)= |x，|(y-bx 一 a= 2'x,33ly=2y2b,a=- 2，bb>0, ，y>0,把a= 2代入到中，得一2"2；+ 3y=0,整理得 y=4x2(xw0).，动点M的轨迹方程为y=1x2(xw 0). 412. (2018酒泉质检)在AABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且满足(V2a c)BA BC=cCB CA.(1)求角B的大小；(2)若|BABC|=M6,求AABC面积的最大

33、值.解 (1)由题意得(啦ac)cos B= bcos C.根据正弦定理得(第sin A sin C)cos B= sin Bcos C,所以需sin Acos B= sin(C+ B),即也sin Acos B= sin A,因为AC (0,%所以sin A>0.所以cos B=¥,又BC(0,在所以B = 4.(2)因为 |BA-BC|=6,所以 |CA|=76.即b=6,根据余弦定理及基本不等式，得6=a2+c2寸2ac>2ac42ac=(2 Q2)ac(当且仅当 a=c 时取等号)，即 ac< 3(2十寸2),13(2 +1 故 ABC 的面积 S=2acs

34、in B<2,32+3即4ABC的面积的最大值为一2-力技能提升练13.已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP= OAABAC十Y _QAB|cos B |AC|cos C J/(0, +oo )，则()A.动点P的轨迹一定通过4ABC的重心B.动点P的轨迹一定通过4ABC的内心C.动点P的轨迹一定通过4ABC的外心D.动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心答案 D解析由条件，得AP=入ABACV|A B|cos B |A C|cos cJ从而AP BC=入AB BC AC BCSB|cos B |AC|cos C)|AB|BC|cos180°=入J|AB|cos B-B)+ 入 mjBCjcosc=0|AC|cos C所以APBC,则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.14.已知圆 C: (x2)2 + y2=4,圆 M: (x 25cos 2+(y5sin 9)2=1(0 R),过圆 M 上任意一点P作圆C的两条切线PE, PF,切点分别为E, F,则PE pF的最小值是答案 6解析 圆(x2)2+y2=4的圆心C(2,0),半径为2,圆 M(x- 2 5cos 2+(y 5sin 9)2=1,圆心 M(2+5cos 0,5sin 0),半径