f分布t分布与卡方分布教学教材

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word可编辑§ 1.4常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导生的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当Xi、X2、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=£ Xi2的 i分布称为自由度等于n的？2分布，记作Z”2(n),它的分布密度P(z 0其他,n _1二 2-uu2 e du,0式中的n =2称为 Gamma®数，且 1=1,=6=e-2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且 Y？2(n), Z7 2(m),则Y+Z2 2(n+m)。证明:先令 Xi

2、、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性，令y=x 2+x 2 + +x n，z=x 匕 +x n+2 + +x n+m，Y+Z= X 2 +x 2 + +X 2 + X ny +x 2+2 + +X 2+m，即可得到 Y+Z72(n+m)2. t分布若X与Y相互独立，且XN(0,1)2(n),则Y的分布称为自由度等于n的t分布，记作Zt(n),它的分布密度：3)P(z)=2-(n).请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的

3、分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。3. F分布若X与Y相互独立，且X？ 2(n), Y？ 2(m), 则z= X /Y的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作 ZF (n, m),它的分布密度n m ,、n _ _ f n+ m 'n .n 2 m 2 i 12 2! z2八p(z)= 7; *, z>°p()但"mi522) 12 ! (m + nz) 20,其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度 的次序有关，当 ZF (n, m)时，工F (m ,n)。Z4. t分布与F分布的关系若 Xt( n

4、),则 Y=X2 F(1, n)。1n + 1、, d2 I 22、n 1证：Xt( n) , X的分布密度 p(x户 ' 2J 1+A -7 :1 n i n j7 n冗 r i ;20Y=X 2 的分布函数 Fy (y) =PY< y=PX 2 <y。当 yw 0 时，FY(y) =0, pY(y)=0 ;当 y>0 时，Fy(y)=P- v,ry<X<Vy L二 / p(x)dx=2 p(x)dx,Y=X 2的分布密度pY(y尸n n22y2-1资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除与第一自由度等于 1、第二自由度等于n 的 F 分布的分布密度相同，

5、因此Y=X2F（1, n）。为应用方便起见， 以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的需要，有三种不同的称呼，即 a分位数、上侧a分位数与双 侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为 F（x）,实数a满足0 <a<1 时，a分位数是使PX< X 口 =F（X a ）= a的数X a ,上侧民分位数是使PX >入=1- F（入户a的数人，双侧a分位数是使 PX<入1=F（入1）=0.5 a的数

6、人1、使 PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 民的数人 2。因为1- F（入户a , F（入）=1- a ,所以上侧a分位数人就是 1- a分位数X 1- % ；F（入1）=0.5民，1- F（入2）=0.5 a ,所以双侧a分位数入1就 是0.5 a分位数X 0.5ot ,双侧a分位数入2就是1- 0.5 a分位 数 x 1- 0.5 a。2）标准正态分布的a分位数记作Ua , 0.5 a分位数记作U 0.5 a，1- 0.5。分位数记作 U 1-0.5P(x)P(x)J£Ox当 X N(0,1)时，PX< ua =F 0,i(ua 尸 a,PX<U 0

7、.5 a = F 0,1 (u 0.5 a )=0.5 & ,PX<u 1- 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a )=1 - 0.5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 & =0.5 时，ua =0；当 a <0.5 时，u 2 <0。ua =- u 1- a °如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查由u 1- a ,然后得到Ua =- u 1- a o论述如下：当 X N(0,1)时，PX< u a = F 0,1 (u a 尸 a ,PX< u 1- a = F 0,1 (u 1- a 户1-

8、8，PX> u 1- a=1- F 0,1 (u 1- a 尸。，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，ua =- u 1- a o例如， u 0.10=- u 0.90=- 1.282,u 0.05= - u 0.95=- 1.645,u 0.01=- u 0.99=- 2.326,u 0.025 = - u 0.975=- 1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576。又因为P|X|< Ul-0.5a =1-0,所以标准正态分布的双侧，分位数分别是Ul-0.5”Ul-0.5a。标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10, u 0.90=1.282;a

9、=0.05, u 0.95=1.645;a =0.01, u 0.99=2.326;a =0.025, u 0.975=1.960;a =0.005 , u 0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位数记作？ 2 口(n)。工 2 a (n)>0，当 X？ 2(n)时，PX< < 2 a (n)=民例如，Z 20.005 (4)=0.21，/ 2 0.025(4)=0.48，2 0.05(4)=0.71 ,2 0.95 (4)=9.49,7 2 0.975(4)=11.12 0.995 (4)=14.9o4) t分布的民分位数记作ta (n)当Xt (n)时，PX<

10、t0(n)=乜,且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有ta (n)=- 11- a (n)，论述同 ua =- u 1- a。例如，t 0.95 (4)=2.132, t 0.975(4)=2.776,t 0.995(4)=4.604, t 0.005(4)=- 4.604,t 0.025(4)=- 2.776, t 0.05(4)=-2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到ta (n),可用ua作为ta (n)的近似值。5) F分布的5分位数记作 八(n , m)oFa (n , m)>0,当 XF (n , m)时,PX<F q(n , m

11、)=民。另外，当。较小时，在表中查不由F a (n, m),须先查一1Fi-a(m, n),再求 Fa(n, m)=。论述如下：F(m , n )当 X F(m, n)时,PX< F 1- a (m, n)=1- a,P >1=1- a , P <1=a ,X F 1-： (m, n)X F 1-： (m,n)又根据F分布的定义，工F(n, m), P <F a (n, m) = a ,XX1 因此 F 民(n, m)=。F1-： (m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975(3,4)=9.98,F 0.99(3,4)=16.7, F 0

12、.95(4,3)=9.12,F 0.975(4,3)=15.1, F 0.99(4,3)=28.7,111F 0.01 (3,4)= 28.7 ' F 0.025 (3,4)=面'F 0.05 (3,4)=获 072 0.05(8),t 0.05(8),2 0.95(12)t 0.95(12)。【课内练习】1 .求分位数2 .求分位数3 .求分位数 F0.05(7,5), F0.95(10,12)4 .由u 0.975=1.960写生有关的上侧分位数与双侧分位数。5 .由t 0.95(4)=2.132写生有关的上侧分位数与双侧分位数6 .若X72 (4), PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95 ,试写 由有关的分位数。7 .若X F(5,3), PX<9.01=0.95 , Y F(3,5), Y<5.41=0.95,试写由有关的分位数。8 .设X 1、X 2、X 10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布,试求 P£ Xi2 >1.44 o习题答案:1.2.73,21.0。2.-1.860, 1.782。3.i4.88, 3.37。侧0.05分位数侧0.1分位数。4. 1.960为