高考数学三角函数.知识框架

1、<三角函数高中数学 三角函数.知识框架20出M归模块框架任意向与五度制H三角函数基本概念卜）1任意角的三常的故，角函数的话厅公式。，角函数续一.一啮散的现调性一 一域 1角函数的期与对祢 三龙一数的T-仲缩变换河三角函数得图像与性质目二乎兜?f定义 二用函数的图像三角函数;角函敝的交点问颗、二角函数拊绝对值变换两脚和与一的正按、氽、正切公式 广角恒等变换以一布角的正弦余弦正切公式一1 ' _. , "I笥单的/恒等变换三角函数综合题kS;向恒等更换的磔介题 与二次诵数的综合题 与不等式的综合题一 与数形暗合的综合题 ,，口它函数的蜀:含腹 ,与向战的综合题 、三%函数杂

2、题高考要求三角函数要求层次重难点任意角的概念和弧度 制B掌握角的概念的推广， 终边相同的角的表示弧度与角度的互化B掌握弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧 长公式，能正确地进行弧度和角度的互化任意角的正弦、余弦、 正切的定义C理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了 解任意角的余切、正割、余割的定义用单位圆中的三角函 数线表示正弦、余弦C会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余 弦、正切和正切诱导公式C熟练运用诱导公式一一“奇变偶小变，符号 看象限”，并能运用这些公式进行求值、化 简与证明同角三角函数的基本 关系式C理解同角三角函数的基本关系式：sin2 x + cos2 x = 1 , Sin x

3、=tanx ; 借助单位 cosx圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式，并掌握其应用y =sin x,y = cosx , y = tan x的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的 画法函数y = Asin（cox +中）的图象C会用“五点法”回止弦、余弦函数和函数y = Asin（cox +中）的简图，理解 A,。，中的物理意义，掌握由函数y=sinx的图象到函数y = Asin（ox十）的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解 决一些简单的实际问 题B掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或 对称中心三角函数的定义域和 值域B掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质C

4、掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题，会求经过简单的恒等变形可化为 y = Asin®x +中）的三角函数的性质三角函数的图象和性 质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单 调区间的求解及其应用两角和与差的正弦、 余弦、正切公式C掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求 值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明.二倍角的正弦、余弦、 正切公式C掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求 值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式

5、的求值，化简与恒等式的证明.简单的恒等变形B知识内容任意角与弧度制1 .角的概念的推广角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角 正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在 x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这 个角是第几象限角.若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角教师备案 可通过初中角的概念的定义引出角的

6、概念的推广.初中角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.角还可以看成是一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.初中学此定义时，不考虑旋转方向，旋转的绝对量是一样的，而且旋转的 绝对量不超过一个周角.转角：旋转生成的角，又常叫做转角.各角和的旋转量等于各角旋转量的和 .2 .终边相同的角的集合：设 支表示任意角，所有与口终边相同的角，包括口本 身构成一个集合，这个集合可记为S=P|P =ot +k 360tkwz.集合S的每一个 元素都与口的终边相同，当k=0时，对应元素为a .教师备案 终边相同的角不一定相等，但相等的角的

7、终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.正确理解角：0口90白间的角”指的是：00<6<90°；第一象限的角"，貌角”，小于90吨勺角”，这三种角的集合分别表示为：fe|k 3600<e<k 3600+90°,k-Z , 叫 0*<8<90°, 6|0 <90°.3 .弧度制和弧度制与角度制的换算角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量 角的制度叫做角度制.教师备案 一些特殊角的度数与弧度数的对应表：度啜0°15°30°4

8、5°60°75°90s120°135°150°弧度0兀12兀6兀4兀35兀72兀22兀33兀45兀6度啜,1180*210°225240°270。300°315°330°360。弧度兀7兀5兀4兀三3兀25兀72t-411兀62支1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角a的弧度数的绝对值这种以弧度”作为单位来度量角的制度叫做 r弧度制.180弧度与角度的换算：180J = Ttrad, 1 r

9、ad = I 屋57.30。= 57咒8,L兀!教师备案 >比值L与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关.度量角的制度除角度制和弧度制外，还有军事上常用的密位制，密位制的单位6000密位定16.7密位；1密位=竺、=0.06,除了以上三种以外，还有所以1是“密位”，1密位就是圆周的的弧所对的圆心角.因为360口=6000密位, 60003606000其他的角的度量单位，这里不再一一介绍.1.三角函数定义在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点 P （除了原点）的坐标为（x, y）, 它与原点的距离为r（r = j x |2 +| y |2 =q'x2 +y2 >

10、;0）,那么比值y r叫做a的正弦，记作sina ,即 sin a =； r比值-叫做a的余弦，记作xcosa ,即 cos a =一；rr比值y叫做a的正切，记作tana ,即 tana =；xx比值-叫做a的余切，记作xcot a ,即 cot a =一；yy比值-叫做a的正割，记作seca ,即 seca =-；xx比值-叫做a的余害U,记作csca ,即 csca =-.yy教师备案a的始边与x轴的非负半轴重合，a的终边没有表明口一定是正角或负角，以及a的大小，只表明与口的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角a ,六个比值不以点P（x,y）在口的终边上的位置的改变

11、而改变大小；当a=2+kMk WZ）时，口的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标 x都等 2于0 ,所以tance ='与se夕=r无意义；同理，当ct=k小WZ）时，coyct="x与csc ：,=无意义；y除以上两种情况外，对于确定的值支，比值且、）、上、- > 工、-分别是r r x y x y一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数2.三角函数的定义域、值域函数定义域值域y =sin 豆R-1,1y =cosaR-1,1y =tanctf兀1a | ot 丰一+k 兀，k w Z 12

12、JR3 .三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知:正弦值且对于第一、二象限为正(y>0,r>0),对于第三、四象限为负 r(y <0, r >0);余弦值二对于第一、四象限为正(x>0, r>0),对于第二、三象限为负 r(x <0, r >0);正切值y对于第一、三象限为正(x,y同号)，对于第二、四象限为负(x, y异号) x可以用下图表示：十十tancc, cotasinctj csca说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值教师备案 >三角函数在各象限的符号是学习诱导公式的基础，因此建议教师

13、在此处多举例让学生口答，灵活掌握这部分知识，在例题中没有放此类题目.可按以下方式 举例：如 COS250口<0; sin<0; (3) tan(-672°)>0 ; (4) tan5>0 , ,43cot9 3) .0关于3rad的判断方法，可根据 -<3 <71,则3rad所在的象限为第二象限24 .同角三角函数的基本关系式：平方关系： sin2 x+cos2 x =1, sec2 x-tan2 x =1,将¥ , sin x , cosx,商数关系： =tan x , =cotxcosxsin x庆力11.1倒数关系： secx =,

14、csc x =,tan x =cosx cosx cotx教师备案 注意同角”，至于角的形式无关重要，如sin 24a+cos2 4口 =1等;注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如,k兀，-tan « cota =19 0-pk =z );对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)sin j. &cos a =芫tan、工如:2 2 2cos a =1 sin a , sin a =1 cos a ,角30兀6兀4兀3兀22兀可3兀 T5兀"6兀3兀 22支since012也 2皂 21正 2短 2120-10cosct1宓 2亚

15、212012也一 2烫 一 2-101tana0理 31杂不 存 在-J3-1正 30/、存 在0特殊角的三角函数值6.诱导公式：角口与ot+k 2小WZ)的三角函数间的关系；sin(a +2kjt) =sina , cos(a +2k兀)=cosot, tan(a +2k = tana ;角a与t的三角函数间的关系；sin( - : ) - -sin、工,cos( - ： ) = cos、工，tan() - - tan、工;角c(与a +(2k +1)Mk WZ)的三角函数间的关系；sin k 4(2k +1) 7t= -since, cosh + (2k +1)兀=cosot , tan

16、k +(2k +1) 7t=tancc;角u与a+2的三角函数间的关系.2(兀) sin,2ccos: cos 一,.2.，/上兀),=-sin a , tan let 2 | = cota.教师备案 诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三 (兀角函数，以y =sin !m - r2|为例，若m为视的偶数倍，则函数名不改变,根据角中所在象限判断变换后的三角函数的符号，若m为1的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看象限 .4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角

17、函数的种数，适当配凑和 拆分，统一切割化弦等等.单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为A(1,0), A'(1,0),而与y轴的交点分别为 B(0,1), B'(0, 1).由三角函数的定 义可知，点 P 的坐标为(cosa,sina),即 P(cosa,sin a).其中 cosa =OM , sina=ON .这就是说，角«的余弦和正弦分别等于角 a终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点A(1, 0)作单位圆的切线，它与角a的终边或其反向延长线交与点T (或T '),则 tana =AT (或 AT )

18、有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负 三角函数线的定义：(I>(n>(皿)(w)设任意角口的顶点在原点 O,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x,y),过P作x轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角a的 终边或其反向延长线交与点 T .我们就分别称有向线段 /R 后 为正弦线、余弦线、正切线.教师备案 三条有向线段的位置：正弦线为a的终边与单位圆的交点到 x轴的垂直线 段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与 x轴正方向的交点的切线上，三

19、条 有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向 口的终边与单位圆的交点；余弦线 由原点指向垂足；正切线由切点指向与 a的终边的交点.三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面由于三角函数线的知识是下面学习同角三角函数的基本关系式及诱导公式的基础，因此建议教师作即时性练习，此知识点的练习不作为例题出现.以下列 各角为例，作出各角的正弦线、余弦线、正切线 .2；看；-§；T.数值的变化情况，取值范围等等，增强学生的“数形结合”意识.三角函数的性质1.三角函数的图象-2n/X20y=sinxxi Lyy=cosx教师备案 >会用正弦

20、线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象,用诱导公式画出余弦函数和余切函数的图象.并能够在此基础上利2.函数y = Asin（x +中）（A>0® >0, x= R ）的图象的作法五点法确定函数的最小正周期T_ 一TT令6x+中=0、一、/、21片-中）、（2）, , , 2于是得到五个关键点（2,0）、（-（- 一9）,1）、 2（工（冗9）,0）、（兰一中）,1）、J（2i）,0）；.一;.；.? 2描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数y = Ain xA 0 , >R ）能图象.3. y =

21、 Asin （切x +邛）（A >0,© >0,x£ R ）的图象函数y = Asin （®x +中）（A >0,8>0,x w R ）的图象可以用下面的方法得到：先把丫=$冶*的图象上所有点向左（邛>0）或向右促<0）平行移动|叼个单位；再 把所得各点的横坐标缩短 （切>1）或伸长（0<1）到原来的。倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0 < A<1）到原来的A倍（横坐标不变），从而得到y = Asin（切x +邛）的图象.当函数 y = Asin（m x +中）表示一个

22、振 动量时：A叫做振幅；T叫做周期；工叫做频率；8x +平叫做相位，邛叫做初相.T上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数.下面把这个过程分解一下：（1）相位变换要得到函数y =sin（x+cp）（tP #0）的图象，可以令x = x十中，也就是原来的x变成了现在的x+中，相当于x减小了中即<0）,即可以看做是把 y=sinx的图象上的各点向左即>0）或向右（平<0）平行移动 即|个单位而得到的.这种由y=sinx的图象变换为y =sin（x十）的图象的变换，使相位由x变为x +平，我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.（

23、2）周期变换要得到函数y =sinsx（。A0© #1）的图象，令x = cox,即现在的x缩小到了原来的co倍，就可以看做是把y =sin x的图象上的各点的横坐标缩短8 >1）或伸长1（0<与<1）到原来的一倍（纵坐标不变）得到，由 y=sinx的图象变换为 y = sin（ox2的图象，其周期由2九变为2，这种变换叫周期变换.周期变换是一种横向的伸缩.（3）振幅变换要得到y = Asin x（A>0,且A=1）的图象，令y =,即相当于y变为原来的 A A倍，也就是把y =sin x的图象上的各点的纵坐标伸长 （A >1）或缩短（0 < A&

24、lt;1）到原来 的A倍（横坐标不变）而得到的.这种变换叫做振幅变换.振幅变换是一种纵向的伸 缩.【说明】本题的所有变换都是针对x和y来的，也就是说所有的转换都是用在x和y身上的，他们的系数也不包括在内.例如y = Asin （cox +平）（Aa0,ea0,xWR） 的图象，如果先把y=sinx各点的横坐标缩短 仰>1）或伸长（0 <« <1）到原来1的2倍（纵坐标不变）变成y =sincox ,再把所得的各点的纵坐标伸长（A >1）co或缩短（0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变），得到y = Asincox,而最后才所有点向左（中>0）

25、或向右（中<0）平行移动F|个单位，这样得到就是 y=Asin8（x+邛）,而不是y = Asin（8x+*）.希望大家能够从中理解”坐标 变换是针对x和y做的”这句话的意义.教师备案>1 .函数图象平移基本结论小结如下：,/ 左移a个单位（afy = f （x）y = f （x a）y = f(x) y = f(x) y = f(x)右移a个单位(a 9上移a个单位(a 0)下移a个单位(a盘y = f (x a) y -a = f (x) > y a = f (x)各点横坐标变成原来的 1倍y = f (x)二 y = f ( x)各点纵坐标变成原来的 1倍y =f (x

26、)A- Ay = f (x)工, 、绕x轴翻折工. 、y = f (x) y = f (x)一、绕y轴翻折一、y = f (x)y = f(-x)这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以 左移a个单位的解析式变化为例：设P(x0,y。)为y = f(x)左移a个单位后所得图象上的任意一点，则将P右移a个单位得到的P'(x。+a,y。)必在y = f(x)的图象上，故 y0 = f(xo+a),又P(x0,y°)点任意，故y = f(x)的图象左移a个单位得到 的新的函数的解析式为： y=f(x + a).函数变换可以用下图表示:1向上平b福>0)向下平

27、b(b<0)横坐标燧(coi) ©1横坐标关t (0<gd)y- y=s i(nx+cP)纵坐标扩大司机>1)y=Asi(nx+9+b 纵坐标缩&(0<A<1)1.三角函数的性质函数y =sin xy = cosxy = tanxy = cot x定义域RRx|xw R,且x#kn +-,k Z2x|xw R,且x#kn, kw Z值域-1,1-1,1RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有界性有界函数| sin x区1有界函数| cosx 悍 1无界函数无界函数周期性 （最小正 周期）T =2兀T =2兀T =兀T =兀单调性在2k(_,2ku+-

28、汇 223在2k：t + ,2女冗 十 一 22(冗 WZ)在(2 k-1)« 2kq|_ ,2ku ,(2k+1)航 (Y Z)在(g2 k 九+ j L -Z)在(kak兀+可 (代Z)最值花x = 2k?t + -，2y max =1 ;花x = 2k 冗一，2ymin =-1(k WZ)x = 2k 区y max = 1 ;x=(2k + 1)冗，ymin = -1Y Z)无无对称轴x = k 冗+ (k u Z)2x = k Mk w Z)无无对称点(k 2( Y Z)花(k /一，0)2(Y Z)(k 40)( k w Z)冗一一(k/-,0)(k- Z)2. y =|s

29、in x| 与 y =sin |x| 的性质函数y =|sin x|y =sin|x定义域RR值域0 ,1-1, 1奇偶性偶函数偶函数周期T =n不是周期函数单调性ku, k”片为增区间， 2增减区间规律不明显，只能就具体 区间分析k 7t + , kjt+1 为减区间（k z Z）! 2 三角恒等变换1 .两角和与差的三角函数公式：sin（ .二 I ） =sin -icosl-二 cos 二：sin : cos（、之二 P） =cos： cos : +sin 二 sin :tan 二 _ tan :1 + tan 二 tan :2 .倍角公式sin2a =2sino（ coss ；-2.

30、22 一 2cos2： = cos 二 一sin : =1 2sin : = 2cos 二 一 1tan 2：2 tan 二-21 一 tan -sin3 1二3sin 1 一4sin3 ：3；cos3a =4cos a -3cos« ； tan 3久-33tan 二 一tan ;21 一 3tan ;3 .半角公式asin =2atan -21 cos-：1 一 cos ;1 一 cos 二4 .万能公式sin :=ct2tan 一 22 ：1 - tan 一2 :.1 tan 2cos：=Ct2tan22 :1 tan 2/2三1 - tan 25 .积化和差公式1 _sin，c

31、ossin（:- P） sin（: - -）2：1cos" sin B = 一sin（久十口） 一sin（久 一 0）;2.1 一： 一：cos - coscos（二 '' ''''） cos（； _ ）2:1二sin 二 sin 一 二cos（-：，-） 一cos（； 一 ）26 .和差化积公式. R c.a+P « -Psin ,二 sin -2sincos22_ ，- R ca +P -a - Pcos 工" cos - - 2coscos；sin : -sin - - 2cosa + P . asin；cos

32、： -cos - - -2sinsin 一【说明】这里的三倍角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式都属于了解内容, 不要求必须掌握.不建议大家去记这些公式，首先 sin（o（ + P） = sin u cos P + cosa sin P这个公式比应该很容易了.下面给出其较容易记，而且如果大家不记其他公式不记其他公式的话, 他公式通过这个公式的推导过程：7 .公式的推导：sin（:工 I '） =sin,二（-P） =sin ±cos（-B）cos工sin（ 一二）=sin = cos - -cos-：sin :cos（二一）=sin （'：） =sin（- ）

33、（-） 22JTJ=sin（- ： ）cos（cos（- 二）sin（ 一；：） c cos二 cos : sin 二 sin（一.：）22=cos = cos . 一sin 二 sin :cos（sin - -（- - -） = sin（ - - - ） .22=sin（- - - ）cos，»cos（一一二）sin : = cos：cos， »sin-： sin : 22tan（-（ 1-1）工sin（-i - ,-'） sin 二 cos : cos- sin :cos（二 b1-'）cos二 cos : -sin： sin :两边同时除以cosu c

34、osP可彳导tan（支+ P）=tan 二二 tan :1 Tan - tan :tan 工 " tan（l .） tan（ - ） =tana （ - -）：1 -tan : tan（-）tan 二 Tan :1 tan : tan :然后把上面各式中的P代换为a ,则可得到二倍角公式sin 2- =sin（'工'工）=sin-： cos： ；cos-：sin =2sin-：cos-：cos2 ： -cos（：£i£） =cos、工 cos： -sin、工 sin： -cos2： -sin2 ：再利用sin2u+cos2s =1 ,可得：2.222cos2 - =cos m sin - =2cos 7 1 =1 - 2sin -tan2- -tan 二:一tan - tan 二 2tan ;一21 -tan - tan -1 -tan ;CL tan 一2. ). 2 ：s