《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

1、抛物线典型例题抛物线典型例题12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1) x2 4y(2) x ay2(a 0)分析：(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及 焦点坐标与准线方程.解：(1) p 2, 焦点坐标是(0, 1),准线方程是：y 1(2)原抛物线方程为：y2 1x, 2p 1 aa当a 0时，p 。抛物线开口向右2 4a焦点坐标是(工,0),准线方程是：x .4a4a当a 0时，p 工，抛物线开口向左，2 4a1、，、一 一1焦点坐标是(,0),准线方程

2、是：x .4a4a综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为(2,0),准线方程是：4ax工 4a典型例题二例2若直线y kx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k的方程求解.另由于已知与直 线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用作差法”求k.y kx 2 一解法一：设AGy)、B(x2，y2),则由： 2 可得：y 8x2 2一k x (4k 8)x 4 0.二.直线与抛物线相交，k 0且 0,.AB中点横坐标为：Jx2竺一2,2 k MM1| 2AB ,故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 说明：类

3、似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点 弦为直径的圆与相应的准线相交. 典型例题四 例4 (1)设抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为3病,求k化 (2)以(1)中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面解得：k 2或k 1 (舍去).故所求直线方程为：y 2x 2.解法二：设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 y； 8x1 y22 8x2.两式作差解：(y1y2)(y1y2)8(x1x2),即-y一y2一8一.x1 x2 y1 y2x1 x24 y1 y2 kx1 2 kx2 2 k(x1 x2) 4 4k 4,8.k 故k 2或k 1

4、(舍去).4k 4则所求直线方程为：y 2x 2.典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2 2Px(p 0) .如图所示，只须证明 四 IMM 1 , 2则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AAi l于A1,BB1 l于Bi . M为AB中点，作MM1 l于M1,则由抛物线的定义可知：AA AF，BB1 BF在直角梯形BB1A1A中：111MM1| 2(AA| BB1|) -(AF| |BF) 2AB积为9时，求P点坐标.分析：(1)题可利用弦长公式求k, (2)题可利用面积求高，再用点到直线距 离求P点坐标.24解：(1)由

5、y X 得：4x2 (4k 4)x k2 0 y 2x kk2 设直线与抛物线父于A(x1,y1)与B(x2, y2)两点.则有：x x? 1 k, x x? 一4ABJ(122)(xix2)25(xix2)24取2/5(1k)2k2J5(12 k)AB 3 J5, <5(1 2 k) 3< 5，即 k 4(2)S 9,底边长为3痣，.三角形高h W返355二.点P在x轴上，设P点坐标是(x0,0)则点P到直线y 2x 4的距离就等于h,即已 0 4 迤 .22 125x01或x0 5 ,即所求P点坐标是(一1, 0)或(5, 0).典型例题五例5已知定直线l及定点A (A不在l上

6、)，n为过A且垂直于l的直线，设N 为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证 P的轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由 A为 定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA PN且PN l即可.证明：如图所示，连结FA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.丁AN也垂直平分PB,则四边形PABN为菱形.即有PA PN .AB l. PN l.则P点符合抛物线上点的条件：到定点 A的距离与到定直线的距离相等，所以

7、P点的轨迹为抛物线.典型例题六例6若线段PF2为抛物线C : y2 2 Px( p 0)的一条焦点弦，F为C的焦点，求证:112PiF|IP2FIP分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点问 的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物 线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：F(1,0),若过F的直线即线段PP2所在则有PFP2F111 1 _2P，厢厨下6直线斜率不存在时，16y k(x £)(k 0),若线段P1P2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为: 且设"(x1,y1), P2(x2, y2).y k(x

8、 !),2 2由 x1 x2- 根据抛物线定义有：|rf|x1今P2Fx1p,IP1P2x1x2p用 11FI 同Fl X x2 px x2 p际T*1*何 (x%诲E) XX R(x x )目(x1 2 八 x2 2) x x2 2 (x x2) 4 得：k2x2 p(k2 2)x 0p4y k(x )22_x x P(k2)x x22山k请将代入并化简得:112PiF| 四一P证法二：如图所示，设P,、P2、F点在C的准线l上的射影分别是Pi、P2、F ,且不妨设|F2F2n mB点，由抛物线定义知,P2F| n, PF m, FF又 P2AF s P2BPi,AF|BP|BFP2P即 U

9、 _JL_ m n m nPiPi ,又设P>在FF、PP上的射影分别是A、p(m n) 2mn工 i 2 m n p故原命题成立.典型例题七例7设抛物线方程为2 2px(p 0),过焦点F的弦AB的倾斜角为,求证：焦点弦长为AB2P sin2分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y4 21,p sin42p2sin即AB- sin证法二：如图所示，分别作AM BB1垂直于准线1.由抛物线定义有: af| aa| |af| cos pBF| |BB1| p |BF| cos于是可得出：AF p- BF - 2px(p 0)的焦点为(；p,0), 过

10、焦点的弦AB所在的直线方程为：y tan (x )由方程组y tan (x y2 2px2)消去y得:tan2设 A(xi, yi), B(x2, y2),则XiX2XiX2/2p(tan 2)2 、p(i 2cot2 )2tan2p4又 y1y2 tan (x x2)AB J(1 tan cos 1AB| |AF BFpp1 cos 1 cos2p 1 cos )(% x2)2(1 tan2 )(x1 x2)2 4x1x2 2(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 4Sec4p2cot2 (1 cot2 )(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条

11、件可确定出圆锥曲线 C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k,弓S AB与椭圆相交于不同的两点，可求出 k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出 M的坐标，利用韦达定理 化简即可.解：(1)由已知得|PF| 4 .故P到x 1的距离d 4,从而|PF d曲线C是抛物线，具方程为y2 4x.设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x2 2y2 2无交点.k存在.设AB的方程为y k(x 1)由 y 4x 可得：ky2 4y 4k 0y k(x 1)4设 A、B 坐标分别为(%*)、(x2, y2),则：y1 V2 一 y1 y24kAB V(1 J)(y1

12、 y2)21 k2 2,：(% N2 4丫佻 k4(1 k2)k弦AB的长度不超过8,4(1 2k ) 8即k2 1k2.y k(x 1)由 22 得：(2k2 3)x2 4k2x 2(k2 1) 03x 2y 2AB与椭圆相交于不同的两点，k2 3由k2 1和k2 3可得：1 k m或V3 k 1故 1 tanV3 或 73 tan 123又0,所求 的取值氾围是：一一或一一4334(2)设 CD 中点 M(x,y)、也加)、DdyJr y k(x 1) ,口(2k2 3)x2 4k2x 2(k2 1)由y 2 ( 2 )得:3x 2y 2X34k2x4 2F-3,x3 2k2Xi2(k2

13、1)2k2 322k2 y- 33k25则252k2k321 2k22k22k2 322 (x 1)2化简得：3x22y2 3x;所求轨迹方程为：3x2222.2y2 3x 0(- x ) 53典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题，因此只要研究 A、 B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD, 又M到准线的垂线为MN , C、D和N是垂足，则1113MN(A

14、CBD)(AFBF)- AB-.2222、一 1.设M点的横坐标为x ,纵坐标为y , MN x -，则x4等式成立的条件是AB过点F .5c1当 x 时，yy2P24 p csc (1,故442221 c(y1 v2小 y2 2丫佻 2x 2 2,yy2 板，y5. 2一、一一 ，一. 5所以M(5, ),此时M到y轴的距离的最小值为5 .42y4说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较 简.典型例题十例10过抛物线y 2Px的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A、B两点，求AB的最小值.分析：本题可分一和2一两种情况讨论.当 2万时，先写出AB的表达式，再求

15、范围.解：(1)若2,此时AB2P.若因有两交点，所以AB: y tan (x ),即 x y2tan代入抛物线方程，有2 2pyiPP*22 0.故(y2 y1)2 74Pr tan/2,224p 4 p csc ,(x2 x1)(y2 y1)2tan22, 2 csc4P tan所以AB空sin22P.因 ，所以这里不能取2“二”综合(1)(2),当万时,AB最小值2 P ,说明:此题须对分_和2两种情况进行讨论;2从解题过程可知，抛物线点弦长公式为l2P .-2?sin当 万时，|AB叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十一例11过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F作弦AB,

16、 l为准线，过A、B作l的垂线，垂足分别为A'、B'，则 a'fb'为()， AF'B为().A.大于等于90B.小于等于90 C.等于90 D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求 角的大小以及判定直线与圆是否相切.解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则 AA AF 12,又人双乂轴13.23,同理 46,而 2364 180 , . 36 90 ,» » . AFB 90 .选 C.过AB中点M作MM ' l ,垂中为M ',则MM1(AA BB )21(AF BF2AB以AB为直径的圆与直线l相切，切点为M 又F'在圆的外部，. AF'B 90 .特别地，当AB x轴时，M'与F'重合，AFB 90 .即 AF B 90 ,选 B.典型例题十二例12已知点M(3,2), F为抛物线y2 2x的焦点，点P在该抛物线上移动, 当PM| |PF取最小值时，点P的坐标为:分析：本题若建立目标函数来求|PM| | PF的最小值是困难的，若巧妙地利用 抛物线定义，结合图形则问题不难解决.解：如图，一 一 ，一 1由定