大物(2)期末复习

1、练习一静电场中的导体三、计算题图5.61.已知某静电场在xy平面内的电势函数为U=Cx/(x2+y2)3/2,其中C为常数.求(1)x轴上任意一点,(2) y轴上任意一点电场强度的大小和方 向.解：.E=-；:U/；:x= _qi/( x2+y2) 3/2+x( -3/2)2 x/( x2+y2)5/2=(2 x2 .y2) C/( x2+y2) 5/2R=TU/ ：:y= -Cx( -43/2)2 y/( x2+y2) 5/2=3Cxy/( x2+y2) 5/2x 轴上点(y=0)R=2Cx7 x5=2O x3 B=0E=2C /x3y 轴上点(x=0)E=-Cj/ y5=-C/ y3 R=

2、0E=q/y32 .如图5.6, 一导体球壳A(内外半径分别为 R, R),同心地罩在一接地导体球B(半径为R)上，今给A球带负电-Q求B球所带电荷 Q及的A球的电势 5静电场中的导体答案解：2. B 球接地，有 UB=U=0,Ua=UBaUA=( -Q+Q/(4 二;0R3)UBa= QB/(4 值。)(1/ R1/R)得Q=QRR/( RiR2+ R2R- R1R3)UA= Q/(4 段R) 1+RR/( RR+RR-RR)=_Q R_R) / 4 值0( RR+RR-RR)练习二静电场中的电介质三、计算题AQ15 5BQ2仃3仃4图6.61.如图6.6所示，面积均为S=0.1m2的两金属

3、平板 A B平行对称 放置，间距为d=1mm分给A, B两板分别带电Q=3.54 X 10 9C,Q=1.77 X 10-9C.忽略边缘效应，求：(1)两板共四个表面的面电荷密度d, 5, 03, 04；(2)两板间的电势差 V=Ux-UB.解：1.在A板体内取一点A, B板体内取一点 B,它们的电场强度是四 个表面的电荷产生的，应为零，有E=；7/(2 0) -；$/(2 b) -：3/(2 b) -：4/(2 0)=0Ea=o/(2 d)+；(2 0)+o/(2 5) -.-4/(2 劝=0 而S( 51+o2)= Q1 S (3+G4)=Q有。-；$ -；7-C4=0；7 + 02+；工

4、-；14=0n+a2=Q/S：3+ ：4=Q/S解得 5=s=(Q+Q)/(2 S)=2.66 x10-C/m2o2=_o3=(Qq)/(2 S)=0.89 xl0C/m两板间的场强E=；:.2/ q=(Q-Q)/(2 dS)BV=UA- UB=E dl-A=Ed=(QQ)d/(2 epS)=1000V四、证明题1 .如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理 证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上 的负感应电荷的电场线不能存在.解：1.设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感 应电荷的电场线.沿电场线 ACB作环路

5、ACBA导体内直线 BA 的场强为零，ACB的电场与环路同向于是有EE dl = E dl + AE 2 dl = E E dl 刈lACBBACB与静电场的环路定理 EE d =0相违背，故在同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场 线.练习三电容静电场的能量图7.1三、计算题1.半径为R的导体球带电 Q,球外一层半径为 R相对电容率 为事的同心均匀介质球壳，其余全部空间为空气.如图7.1所示. 求:(1)离球心距离为r1(nR),2(Rr1R)处的D和E； (2)离球心1,2,3,处的U； 介质球壳内外表面的极化电荷 .解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称，电场也球对称

6、，过场点作与金属球同心的球形高斯面，有:D dS - : qois4 二 r2D=：qoi当 r=5cmR, Sqoi=o 得Di=0,E1=0当 r=15cm(RrR+d )Sq0i =Q=1.0 x 108C得D=Q(4 1)=1.27 X10C/m2E=Q(4 强r2)=1.44 X 104N/CD和E的方向沿径向.(2)当 r=5cmR时 U=E dlRR-.d： =r Eidrr Ezdrr d Esdr=Q4 二;o r RQ/4 二;0 i( R+q+ Q/4 二;o( R+。=540V当 r=15cmR时 :_R 7：_3 r E dl = .rE2drR.dE3dr=Q44

7、二;0 rr) -Q/4 二;0 MR+5+ Q/4 二；(R+5=480V当 r=25cmR 时 qQqQu=E dl =E3dr=Q/(4 二；0r)=360V(3)在介质的内外表面存在极化电荷，IPj= a3 7E=a)(号)E=- Fe - nr=R处，介质表面法线指向球心C=Pe n = Pecos= - ；。( r -1) Eq =cS= - M r 1) Q(4 二;0 成)4 二 R2=-(sr-1)C/&=-0.8 x 10/Cr=R+d处，介质表面法线向外cr=Fe n = Fecos0=S0( 3-1) Eq=rS=&(我1) Q(4 值0&(R+d24 n( F+d)2

8、=(”1)Q a=0.8 x 10C2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm,分别充电至200V和400V,然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势.计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.解;2.球形电容器C=4二;0RQ=GV= 4 戒 0RVQ=GV= 4 物RVW=C1V2/2+ CV22/2=2 二;R( V12+V22)两导体相连后C=C+G=8二;0RQ=Q+Q= C1V1+CV2=4 二;0RV+V2)W=Q(2 C) = 4 二;0RV1+V) 2/(16 二;0R)fRV1+V)2静电力作功A=WAW=2 二 bR ( V12+V2) -二困 V+V0 2=二

9、QRV1 -V)2=1.11 x 10力练习六磁感应强度毕奥一萨伐尔定律三、计算题1 .如图10.7所示，一宽为2a的无限长导体薄片， 沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布.求中心 轴线OO上方距导体薄片为 a的磁感强度.解：1.取宽为dx的无限长电流元dI=I dx/ (2 a)rdB=bdI/ (2 二r)= -bI dx/ (4 二ar)dBx=dBcos : = 4I dx/(4 二ar)( a/r ) =-bI dx/ (4 -r 2)= dx/ 4 二(x2+a2)d By=dBsin :=Bx = dBx，bIx dx/ 4 7：a(x2+a2)a 0Idxa 4二 x2 a2

10、x=M/ (4 二)(1/a)arctan( x/a )a_a=I/ (8 a)By = dByaL0Ixdx力 4二a x2 a2=II/ (8 -：a)ln(x2+a2)aa =02.如图10.8所示，半径为 R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面.设线圈的总匝数为通过线圈的电流为I.求球心O的磁感强度.解：2.取宽为 dL 细圆环电流，d I=I dN=I N/（ jiR/2） RdQ=（2 IN/ 二）d 二dB=bd卜2/2（ r2+x2）3/2 r=Rsin ? x=R cos dB=-bNIsin 21 d 1/（二R）m %NI sin2 id

11、1B 2二二 20.R= -bNI/ (4R)练习七 毕奥一萨彳尔定律（续）磁场的高斯定理三、计算题1 .在无限长直载流导线白右侧有面积为S和&的两个矩形回路，回路旋转方向如图 11.6所示，两个回路与长直载流导线在同一平面 内，且矩形回路的一边与长直载流导线平行.求通过两矩形回路的磁通量及通过S回路的磁通量与通过 S2回路的磁通量之比.解：1.取窄条面元dS=bdr,面元上磁场的大小为B=WI/（2对），面元法线与磁场方向相反.有图 10.72aWbd-一型 ln2a 2 二ra4a %| 2=0-bdrcos 二二2a 2 二r中 1/：.：，2 = 1必22.半径为R的薄圆盘均匀带电，总

12、电量为Q.令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩解;2.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=cr2；irdr,o=Q(赤2),等效电流元为dI =dQT=；=2 二rdr/ (21/ )=，. ：rdr 求磁场，电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线，且与切同向，大小为dB=-bdIr 2/2( x2+r2)3/2 =-0二 r3dr/2( x2+r2)3/2J0-,-:：r3dr22 3/22 r x：r2d(r2 +x2 )：(r22 3 2 = 丁.402 x2 d r2 x2r2 x2 Rx2d(r2 +x2 )r2 x2 .32

13、x20Q0 R22x2口2 2R + x2x(2)求磁距.电流元的磁矩 22 ,dPm=dIS=c rdr 二r =二：r drPm -二；:. r 3dr =工，由4= QR/4 0练习八 安培环路定律三、计算题1.如图12.5所示，一根半径为R的无限长载流直导体， 其中电流 I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上.现在导体上有一半径为 R的圆 柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d.试求空腔中任意一点的磁感强度.解：1.此电流可认为是由半径为 R的无限长圆柱电流11和一个同电流密度的反方向的半径为R的无限长圆柱电流I 2组成.I1=JR2I2=-J 二R2 J=I/ 二(F2-R 2)它

14、们在空腔内产生的磁感强度分别为B = ArJ/2巳=、川/2方向如图.有B=B2Sin w-Bsin 1=(一舟/2)( r2sin 匹-fiSin 不)=0By =RcosBicos f二(-bJ/2)( r2cos w+ ricos k)=( -bJ/2)d 所以 B = By= -bdI/ 2 二(R2R 2) 方向沿y轴正向2.设有两无限大平行载流平面，它们的电流密度均为j ,电流流向相反.求:(1)载流平面之间的磁感强度；(2)两面之外空间的磁感强度.解；2. 两无 I M M M M M M 幻I1 空间产生的在平面的 1*1 I2限大平行载流平面的截面如图.平面电流在磁场为B=4

15、J/2上方向右，在平面的下方向左；电流在空间产生的磁场为B4AJ/2在平面的上方向左，在平面的下方向右.(1)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左，故有B=B+B=NoJ(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反，故有B=B-B=0练习九 安培力三、计算题1 . 一边长a =10cm的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积 S=2.00mR,铜的密度住8.90g/cm 3),放在均匀外磁场中.B竖直向上，且B = 9.40父10，线圈中电流为I =10A . 线圈在重力场中求：(1)今使线圈平面保持竖直，则线圈所受的磁力矩为多少.,当线圈平衡时，线圈平面与竖直面夹角为(2)假若

16、线圈能以某一条水平边为轴自由摆动 多少.解：1. (1) P=IS=Ia2 方向垂直线圈平面.线圈平面彳持竖直，即Pm与B垂直.有M=PnX BMm=PBsin(二/2) =Ia2B =9.4 X 10 4mN(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向 Mm=PmBsin(可2 切=Ia2Bcos 日MG= MG1 + MG2 + MG3=mg( a/ 2)sin + mgasin + mg( a/ 2)sin u =2( ：-Sa) gasin 工2 ：?Sa2gsin r Ia 2Bcos =2 ：?Sa2gsin1 tan 区旧/(2 ：Sg =0.2694士152 .如图13.5所示，半径为R

17、的半圆线圈ACD!有电流I2,置于电流为 Ii的无限长直线电流的磁场中，直线电流Ii恰过半圆的直径，两导线相互 绝缘.求半圆线圈受到长直线电流 I i的磁力.解：2.在圆环上取微元12dl = I 2RH该处磁场为B=-Hi/(2 二Rcosu)12dl与B垂直，有dF=12dlBsin（二/2）dF=I iI 2d 7（2 二 cos?dFx=dFcos 声-0I iI 2d 1 /（2 二）dFy=dFsin H -0I iI 2sin H /（2 二cos u）Fx因对称2olil2de . /2J、I iI 2/2-二2 2Fy=0.故F=MoI iI2/2方向向右.练习十洛仑兹力三、

18、计算题i.如图i4.6所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i(即单位宽度上通有的电流强度)(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向(2) 有一质量为 3 带正电量为q的粒子，以速度 v沿平板法线方向向外运动.若不计粒子重力.求：(A)带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞14.6(B)需经多长时间，才能回到初始位置.解：i. (i)求磁场.用安培环路定律得B=Noi/2在面电流右边B的方向指向纸面向里，在面电流左边B的方向沿纸面向外.2(2)F=qv x B=maqvB=ma=mv/R带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交，

19、即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径.R=mv/qB= 2mv/( -0iq)(3)经一个周期时间，粒子回到初始位置.即t =T=2 二R/v= 4 二m/( Aiq )2. 一带电为Q质量为m的粒子在均匀磁场中由静止开始下落，磁场的方向(z轴方向)与重力方向(y轴方向)垂直，求粒子下落距离为 y时的速率.并讲清求解方法的理论依据 .解：2.洛伦兹力Q/XB垂直于v,不作功，不改变v的大小；重力作功.依能量守恒有mV/2= mgy得v=（2gy）1/2.练习H一磁场中的介质三、计算题1. 一厚度为b的无限大平板中通有一个方向的电流，平板内各点的电导率为 7电场强度为E,方向如图15.6

20、所示，平板的相对磁导率为 内1,平板两侧充满相对磁导率为乩2的各向同性的均匀磁介质，试求板内外任意点的磁感应强度解：1.设场点距中心面为 x,因磁场面对称 以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，有 泸 dl =I02 ALH=n I0（1）介质内,0 xb/2. EI 0=bAlJ =b& 右 有 H=b E/2B =-0MH=bJr2b E/22. 一根同轴电缆线由半径为R的长导线和套在它外面的半径为R的同轴薄导体圆筒组成，中间充满磁化率为 工的各向同性均匀非铁磁绝缘介质， 如图15.7所示.传导电流沿导线向上流去，由圆 筒向下流回，电流在截面上均匀分布.求介质内外 表面的磁化电流的大小及方

21、向.解：2.因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路，有 在介质中（RrR） , 2 Io=I ,有 2 二rH= IH= I /（2 二r ）介质内的磁化强度 M= mH = m I /（2 二r） 介质内表面的磁化电流Jsr1= I M1 x nR1= |Mr1 =勿/（2 祖）ISR1 = JSR1 2? 二端（ 与 I 同向）介质外表面的磁化电流JsR2= | M2 x nR2 = |Mr2 = A /（2 JiR） IsR2=JsR2 2nR=ZmI（ 与 I 反向）练习十二电磁感应定律动生电动势1.如图17.8所示，长直导线 AC中的电流I沿导线向上，并以dI /d t = 2 A/s的

22、变化率三、计算题均匀增长.导线附近放一个与之同面的 直角三角形线框，其一边与导线平行， 位置及线框尺寸如图所示.求此线框中.取窄条面积微产生的感应电动势的大小和方向解：1.取顺时针为三角形回路电动势正向，得三角形面法线垂直纸面向里元dS=ydx=( a+bMl/b dx4,m= sB dS_a： %I (a + b - x )dx二z 一丁aoil -a b= a b In -b2-bad“dt=W b_a blnU d!2_：b _a 出= -5.18 X 10 8V负号表示逆时针2. 一很长的长方形的 U形导轨，与水平面成 0角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑，导 轨位于磁感强度 B垂直向上

23、的均匀磁场中，如图17.9所示.设导线ab的质量为 电阻为R,长度为l ,导轨的电阻略去不计，abcd形成电路.t=0时，v=0.求：(1)导线ab下滑的速度 v与时间t的函数关系;(2) 导线ab的最大速度vm .解：2.(1) 导线ab的动生电动势为e i =v X B dl= vBlsin( E 2+0) =vBlcos 日L=i/R= vBl cos71/R方向由b到a.受安培力方向向右，大小为F= H(hdl XB) = vB2l 2cos6/ RF在导轨上投影7&导轨向上，大小为F = F cos =vB2l2cos2 7 R重力在导轨上投影沿导轨向下，大小为mgsin 9mgsi

24、n 二-vB l cos 7 R=ma=div/d tdt= dv/ gsin 1 -vB2l2cos2R( mRt = dv. 6 sin - - vB2l2 cos2 EmR 尸v 二 mgRsin 日(1_ b2i2cos2 时,(mR)B2l2 cos2 16(2)导线ab的最大速度vm= mgRsin：.B l cos -练习十三感生电动势自感三、计算题1.在半彳仝为 R的圆柱形空间中存在着均匀磁场的金属棒MN在磁场外且j与圆柱形均匀磁场相切，切1 1 ,鼠R点为金属棒的中点,金属棒/*Jx；与磁场B的轴线垂直.如图：*:1B乂1乂:18.6所示.设B随时间的变|/化率dB/dt为大

25、于零的常_量.求：棒上感应电动势的j2R,B, B的方向与柱的轴线平行.有一长为2R j-g,z* L *大小，并指出哪一个端点的图18.6电势局.(分别用对感生电场的积分ei=1E - dl和法拉第电磁感应定律e.解：(1)用对感生电场的积分i = (E dl解：在棒MNk取微元该处感生电场大小为E = R2/(2 r)(d B/dt)与棒夹角讷足tan，fx/R NNe i = m Ei dl = m Ejdxcos1_ R R2 dB dt dx R_ R3 dB R dx - -口 2rr 2 dt 口x2R2图 18.7i = d/dt两种方法解). dx( _Rx0,故N点的电势图

26、.,(2)用法拉第电磁感应定:沿半径作辅助线 OMON组 i士而9mMON= B dS =疥e/4LS故i = JiR2(d B/dt)/4N点的电势图.2.电量Q均匀分布在半径为中心轴旋转.一半径为2a,电阻为速按8=a(1 T/t 0)的规律(a，t 0j . 1, J J 、x - B x 1八二人_ :律 i = g/d t 解：成三角形回路 MONM= Ei dl = f Ei dl一 MON=-|t Ei d +(Ei d + g Ei d=一(一 dmMON/d t ) =d mMOf/ld ta,长为L( La)的绝缘薄壁长圆筒表面上,圆筒以角速度切绕 R总匝数为N的圆线圈套在圆筒上，如图18.7所示.若圆筒转为已知常数)随时间线性地减小，求圆线圈中感应电流的大小=R3(dB/dt)/2(1/R)arctan( x/R)和流向.解：2.等效于螺线管B=k nI= kQ / (2 划/ L=Mo QI (2 或)B外=0.XsBdS=B二a2=4Q，a2 / (2 L