高三数学杨浦静安青浦宝山二模理

1、静安、杨浦、青浦、宝山2013 2014学年数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，才f分56分）1 i 0 一 一 、，1.二阶行列式10.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动， 若随机变量 E表示所选3人中女志愿者的人数，则 己的数学期望 是.12.设各项均不为零的数列 g中，所有满足Ci Ci 1 0的正整数i的个数称为这个数列Cn的变号数.已知数列an的前n项和 i 0 的值是（其中i为虚数单位）1 i 1 i 2 .已知i , j是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量； j的 模

2、等于.3 .二项式（x 1）7的展开式中含xbn 1 （ n N *）,则数列bn的变号数为.项的系数值为.4 .已知圆锥的母线长为5,侧面积为15，则此圆锥的体积为 .（结果中保留）5 .已知集合 A y y sin x, x R , B x x 2n 1,n Z ,则 AI B .6 .在平面直角坐标系xOy中，若圆xSn n 4n 4, （y 1）2 4上存在A, B两点，且弦AB的中点为P（1,2）,则直线AB的方程为.7 .已知log2 x log2 y 1 ,贝U x y的最小值为8 .已知首项& 3的无穷等比数列a。（n N*）的各项和等于4,则这个数列a0的公比 是.x

3、 2cos .9 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数万程为（为参数），。为坐标原y 2sin ,百八'、5uuu uuuuM为C1上的动点，P点满足OP 2OM，点P的轨迹为曲线C2 .则C2的参数方程第10题为 13 .已知定义在0, 上的函数f(x)满足f (x) 3f (x 2).当x 0,2时f(x)x2 2x.设f(x)在2n 2,2n上的最大值为an,且数列an的前n项和为Sn ,则lim Sn. (其中n N * )n14 .正方形&和S2内接于同一个直角三角形 ABC中，如图所示，设 A ，若S1 441,S2 440,贝 U sin 2二、选择题(本大

4、题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相 应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.15 .在实数集R上定义运算：x y x (1 y).若关于x的不等式x (x a) 0的解集是 集合x| 1 x 1的子集，则实数a的取值范围是().16 . “1”是“函数f(x) sin2 x cos2 x的最小正周期为”的().(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分又必要条件17.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 Si、S2 ,则S1: S2 =,"()(A) 1:1(B)2:1(C

5、) 3:2(D) 4:1P,PA 平面 ABCD ,正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得n (1,1,1)是平面PCD的法向量，求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧AD、 弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形.花坛设计周长为 30米，其中大圆弧AD所在圆的 半径为10米.设小圆弧BC所在圆的半径为x米(0 x 10),圆心角为 幽(1)求关于X的函数关系式；/(2)在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米A

6、，f条弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,当x为何值时，y取得最大值?(第20题图)21 .(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分22已知椭圆C:' ' 1(a b 0)的右焦点为F (1,0),短轴的端点分别为B1B,且 a bumr uuurFB1 FB2a.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F且斜率为k (k 0)的直线l交椭圆于M , N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D .设弦MN的中点为P ,试求里的取值范围.MN22 .(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题

7、满分6分设函数 g(x) 3x, h(x) 9x.(1)解方程:x 10g3(2g(x) 8) 10g3(h(x) 9)；(2)令 p(x) g(x), q(x) 3,求证：g(x) ,3h(x) 3(3)若f(x) g(x . a是实数集R上的奇函数,且f(h(x) 1) f(2 k g(x) 0对任意 g(x) b实数x包成立，求实数k的取值范围.23 .(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分一 一 、 -.* . .设各项都是正整数的无穷数列an满足：对任意n N ,有an an 1 .记bn aan .(1)若数列an是首项ai 1,公

8、比q 2的等比数列，求数列 bn的通项公式；(2)若 bn 3n ,证明：ai 2 ；(3)若数列an的首项ai1, cnaan1, g是公差为1的等差数列.记dn2nan,n 1Sn d1 d2dn 1 dn,问：使Sn n 250成立的最小正整数n是否存在？并说明理由试卷解答5.1,1 ; 6. x y 3 07.138.填空题1.2;8.12.3.(本大题满分56分）105613. 324cos4sin3056(为参数)；及3 5610.14.sin 2156110二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得

9、5分，否则一律得零分.15. D; 16. B; 17. C; 18. D;三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.-119. A(0,0,0), C(1,0,0),B(1, 1,0),D(0,1,0),F(1, -,0), P(0,0,1).(1) 证明方法一：Q四边形是平行四边形，Q PA 平面ABCD PA DA ,又AC DA, AC I PA A, DA 平面 PAC.uur方法二：证得DA是平面PAC的一个法向量，DA 平面PAC.ur(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组，计算得平面PAF 一个法向量为m (1,

10、2,0),rir r又平面PCD法向量为n (1,1,1),所以cos m,nir r _W里叵所求二面角的余弦值为|m|n|1520.(1)设扇环的圆心角为10 x2(10x),所以10 2x10 x，花坛的面积为2 (102x2) (5x)(10 x)5x 50,(0装饰总费用为9 10x 8(10x) 170所以花坛的面积与装饰总费用的比y =x2 5x 50170 10xx2 5x 50 10(17 x)'令t 17 x,则y 39 1(t咨w 3,当且仅当 10 10 t 10:当x 1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.t =18时取等号，止匕时x 1,1211(1)依题意

11、不妨设 B1(0, b) , B2(0, b),uuir则FB11, b)，uumFB2 ( 1,b).uur uuir2由 FB1 FB2a ,得 1 b又因为b2 1,解得 a 2,b .3 .2所以椭圆C的方程为4y k(x(2)依题意直线l的方程为y k(x1).1),得(314k2)x2 8k2x 4k212 0.设 M (x1, y1) , N(x2, y),则 xx28k23 4k2 'x1x24k212- 23 4k2所以弦MN的中点为P(4k23k2 ,3 4k 3 4k所以 |MN| «xx2)2(yy2)2J(k21)便 x?)242(k224(4k2

12、12)4k212(k2 1)4k2直线PD的方程为3k4k2 3k(x4k24k2 3),k2 4k2则 D(3k24k2 3,0),所以DP3、k2(k2 1)4k2 3MN又因为k23,k2(k2 1)24k2 3212(k2 1)24k2 314/ 14、111,所以0k2所以0 1,11 k2所以DPMN的取值范围口 1口0,4).22. (1) 3x (23x 8) 9x9,3x因为 p(x) p(1所以康)q(2014)1P(T-)2014(3)因为f(x) 3(1由 f(h(x)数,所以,P32.3,1007、 q 20141 q(2)31 x31 x33x.33x ,33x,3

13、P(-2 )2014,2013、P( )20141006q(2014 2P( )2014f(x)(x2013q() 100620141) f(2f(h(x) 1)20131p( )=q( )201420142q(2014)2013q() .20141) a(x) b是实数集上的奇函数，所以f(x)在实数集上单调递增.k g(x) 0得 f (h(x) 1)f (k g(x) 2),3,b 1 .f(2 k g(x),又因为f(x)是实数集上的奇函又因为f(x)在实数集上单调递增，所以h(x) 1 k g(x) 2即32x 1 k 3x 2对任意的x R都成立，即k3x ；对任意的x R都成立，

14、k 2.3x2n 1 123. (1) b1 aa,a1 1 , bn aana2n 124n.一 一 一、， 一 *(2)根据反证法排除a1 1和为 3(a1 N )证明：假设ai2,又an一*N ,所以.八， 一*、ai 1 或 a1 3(a1 N )当ai 1时，bi aa, ai 1与B 3矛盾，所以ai 1;当 ai 3(aN )时，即 a, 3 b aa ,即 a aa ,一 .一一一一* .一又an an i,所以ai 1与a1 3(a1 N )矛盾；由可知a12 .(3)首先an是公差为1的等差数列，、一rrrrt 上一一i-*.证明如下：an 1 an n 2, n N 时

15、an an 1,所以 anan i1 anam (n m) , (m n,m、nN)aan 1 1aan1 an 11 (an1)即 Cn 1 Cn an 1On由题设 1 an i an 又 an 1 an 1 an i an 1 一_ 2_ 3_ n .即an是等差数列.又 an的首项ai 1,所以an n , Sn (2 2 23 2 n 2 ),对此式两边乘以2,得2Sn22 2 23 3 24n 2n 1两式相减得 Sn 222232nn 2n 12n 1n 2n 12Sn n 2n 12n 12,Snn 2n 150即 2n 152 ,当 n5时，2n164 52,即存在最小正整数 5使得Sn n 2n 150成立.注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明an n .x, 0 x 1,18.函数f (x)的定义域为实数集R, f(x) 1x对于任意的x R都有