2019山西中考数学考前专题训练综合与实践5类(10道)

1、5综合与实践类型一 类比探究型(不含图形变化) 1.综合与实践问题背景如图，等腰 4ABC 中，AB = AC, / BAC= 120 ；作 ADLBC 于点 D,1BC 2BD 则 D 为 BC 的中点，/ BAD = 2/ BAC= 60 ,于是ab = _ab =<3.迁移应用(1)如图，zABC和4ADE都是等腰三角形，/ BAC= / DAE= 120°, D,E, C三点在同一条直线上，连接 BD.求证：4ADB二AAEC;请直接写出线段AD, BD, CD之间的等量关系式.拓展延伸(2)如图，在菱形ABCD中，/ABC= 120°,在/ABC内作射线BM

2、,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE, CF.试判断4CEF的形状;(3)如图，若AE=5, CE = 2,求BF的长.国图第1题图(1)证明：由题意可知：AD = AE, AB=AC, /DAE=/BAC, ./DAB=/EAC, .ADB 二 AEC;解：cd = V3ad+bd；【解法提示】 VAD = AE, / DAE = 120； .DE = V3AD, /DE=DC EC, /. DC-EC=V3AD,由知，AADBAAEC, /. EC=DB, /.DC -DB = V3AD,即 CD = V3AD+BD.(2)解：zEFC为等边三角形 理由如下：如

3、解图，连接BE,作BGLAE于点G.设CE与BF相交于点N,第1题解图.C、E关于BM对称， .BE=BC, CF = EF, /3=/4,在菱形 ABCD 中，. /ABC=120 : AB=BC,AB=BC= BE,又BGLAE, / 1= /2, 一 ，1 ， 一 。 ./ GBF= /2+ /3 = 22ABC = 60 ,;在四边形GBNE中，ZGEN = 360 - ZEGB- / ENB / GBN= 120 , ./ FEN = 60 ,又. EF=FC, ./ EFC=60 , .EFC为等边三角形； 3)解：.AE = 5, CE=2, 一 1-5 LL 2 C EG =

4、2AE=2，EF = CE=2,9 GF = EG+ EF = 2， . /BGF = 90 , /GFB = 30 , BF-,BF-cos30=3 3. 2.综合与探究问题背景在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：如图，点C在线段BD上，点E在线段AC上./ACB=/ACD=90 , AC=BC; DC=CE, M, N 分别是线段 BE, AD 上的点.兴趣小组”写出的两个教学结论是：4BCE二AACD;当CM, CN分 别是4BCE和4ACD的中线时， MCN是等腰直角三角形.解决问题(1)请证明兴趣小组”所写的两个结论的正确性.类比探究受到 兴趣小组”的启发

5、，实践小组”的同学们写出如下结论：如图，当 /BCM=/ACN时，4MCN是等腰直角三角形.(2)实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由.感悟发现奋进小组”认为：当点M, N分别是BE, AD的三等分点时，zMCN仍然 是等腰直角三角形请你思考：(3)奋进小组”所提结论是否正确？答：(填 正确”、不正确”或 不一定正确”.)(4)反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得 4MCN是等腰直角三角形的数学结论.(所写结论必须正确，写出1个即可，不要Ajt图图备用图第2题图(1)证明：在zBCE和4ACD中，BC = AC,，/BCE =/ACD,CE =CD,/. ABCEAACD (

6、SAS), .BE=AD, /EBC=/DAC, CM, CN分别是ABCE和AACD的中线, .BM=1BE, AN=1AD, 22 .BM=AN,在ABCM和AACN中，BC = AC, IMBC = NAC,BM = AN,/. ABCMAACN (SAS), .CM=CN, /BCM = /ACN . /BCM+/MCE=90 ,./ACN+/ MCE=90 ,/. MCXCN. .MCN是等腰直角三角形.(2)解：实践小组”所写的结论正确.理由：/ ABCEAACD, ./ EBC=/DAC,在4BCM和4CAN中，NMBC =/NAC,，BC a AC,/BCM =NACN, .B

7、CM二MCN (ASA), .CM=CN, / BCM+ / MCE= / ACB=90 , /ACN+/ MCE=90 ,/. MCXCN. .MCN是等腰直角三角形.(3)解：不一定正确.【解法提示】当BM=1BE, AN=1AD时， 33 MCN仍然是等腰直角三角形.当BM=1BE, DN=1AD时， MCN不是等腰直角三角形. 33(4)解：答案不唯一.比如：当 CM, CN分别是ABCE, zACD的高时, MCN是等腰直角三角形；当CM, CN分别是ABCE, zACD的角平分线时， MCN是等腰直角三角形；理由：只要证明4BCM二AACN (AAS),即可推出/BCM=/ACN,

8、推出/MCN=90 ；.CM=CN,.MCN是等腰直角三角形.类型二图形平移型 3.综合与实践问题情境：如图，在纸片？ ABCD中，AD = 5, S?abcd = 15,过点A 作AELBC,垂足为E,沿AE剪下AABE,将它平移至zDCE的位置，拼 成四边形AEED.独立思考：（1）试探究四边形AEED的形状；深入探究：（2）如图，在（1）的四边形纸片AEED中，在EE'上取一点 F,使EF = 4,剪下AAEF,将它平移至ADEF的位置，拼成四边形AFF'D, 试探究四边形AFFD的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形 AFFD的两条对角线的长； （4）若四

9、边形ABCD为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论第3题图解：（1）四边形AEED是矩形；理由：:四边形ABCD是平行四边形，.AD/ BC,且 AD = BC,/BE=CE； /. EE= BC=AD,且 AD/EE；四边形AEED是平行四边形，又AELBC,四边形AEED是矩形.(2)四边形AFFD是菱形，二.已知 AD=5, S?abcd=15,S?ABCD 15-AE= AD =5=3， 将 AAEF 平移至口£、'，.AF = DF', AF/DF 四边形AFF D是平行四边形.在 RtzAEF

10、中，由勾股定理得 AF = a/aE2+EF2=J32+42 =5. .AF = AD=5,四边形AFFD是菱形.(3)如解图,连接AF ； DF,第3题解图 . EF=EE' EF = 5-4=1, DE = 3,在 RtDEF 中，DF = qED2 + E'F2 = y32+12 = V10,又 EF'=EF + FF'= 4 + 5=9, AE=3,在 RtAEF'中，AF = /AE2+EF2 = 3292 = 3710.(4)答案不唯一.如解图，在BC上取一点E,连接AE,然后将4ABE平移至DCE'位置.结论：四边形AEE'

11、D为平行四边形BE£Er第3题解图 4.综合与实践数学活动一移动中探究线段关系问题情境：数学课上，老师出示了一个问题：如图，在4ABC中，/ACB = 90, CDLAB 于点 D, AC=BC,点 E, F 分别在 AC, BC 上，/EDF = 900,求DE与DF的数量关系.独立思考：(1)请根据以上信息，解答老师提出的问题；若CF=1,CE=2,请直接写出CD的长.(3)探索求证：如图 ，在4ABC中，/ACB= 90°, CDLAB于点D, AC = BC,延长BC到点F,沿CA方向平移线段CF到EG,且点G在边BA的 延长线上，求证： DE=DF, DEXDF;

12、图图图第4题图(4)拓展延伸：如图 ，在4ABC中，/ACB=90°, CDLAB于点D, /B= 30；延长BC到点F,沿CA方向平移线段CF到EG,且点G在边BA9 的延长线上，直接写出线段 DE与DF之间的位置关系和数量关系.(1)解：/EDC+/CDF=/EDF = 90 ,/CDF+/FDB = 90 ,./ EDC= /FDB.由题可知AACB是等腰直角三角形，CD是AB边上的中 线，./ECD=/B = 45 ; CD = BD,/EDC= / FDB,在4EDC 和4FDB 中，CD = BD,I /ECD= /B,/. AEDCAFDB(ASA). .DE = DF

13、;【一题多解】. /ACB= 90 , AC=BC, CD，AB, .AD = CD, /A=/DCF = 45 , / EDF = 90 ,ADE+/CDE=/CDF+/CDE = 90 ,./ADE= / CDF,在AADE和ACDF中A-DCF ,« AD =CD,/ADE =/CDF ,/. AADEACDF(ASA), .DE = DF;解：CD的长为呼；【解法提示】知 ADE二 CDF, . BF=CE=2,BC=CF+BF=3, . AC=BC,/ACB=90 , .CD=U.2(3)证明：. /ACB = 90 , AC= BC, CDXAB,DA = DB = DC

14、, / ABC= / BAC= / ACD = / BCD= 45 ,./ DAE= /DCF=135 ,又 / GAE = 45 , / AEG= / ACF= / ACB= 90 ,. AEG是等腰直角三角形，. AE=EG,由平移可知CF=EG = AE,在4DAE和4DCF中，DA=DC,D /DAE=/DCF,A AE=CF,/.ADAEADCF(SAS),.DE = DF, /ADE=/CDF,./ADE+ /ADF= /CDF+ /ADF,./ FDE= /CDA=90 ,.,.DEXDF;(4)解:DEXDF, DF = V3DE.【解法提示】由CDXAB, ACXBC, /

15、B=30 °,11CD 可得/ACD = 30 ,则有 AD=，3,由平移可知/FGE = 90 °, FC = GE, -GE CF -则有 / AGE = 90 60 = 30 , AE = AE=V3.CF CD - ，AE = AD = 3.又./ FCD = / EAD= / CDB +ZB=120 ； .CFDs/XAED,.DE=V3,即 df = V3de,同(2)可证得DELDF. 类型三图形旋转型 5.综合与实践问题情境：综合实践课上，老师让同学们以 三角形的旋转”为主题进行数学活动， 如图，在三角形纸片 ABC中，AB = AC, /B=/C.操作发现

16、：(1)创新小组将图中的4ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度& 得到ADBE,再将4ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度 出得到 AFG,连接DF,得到图，试判断四边形AFDE的形状；(2)实践小组将图中的4ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转90°得 到ADBE,再将4ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90得到AAFG,连 接DF, DG, AE,得到图，发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论;若 AB=4,/ABC=60 ,求 BE 的长;拓展探究:(3)请你在实践小组操作的基础上，再写出图并证明你的结论.(1)解：四边形AFDE是平行四边形;中的一个特殊四边形

17、,图理由：DBE是由4ABC绕点B逆时针旋转角度 得到的，zAFG 是由 ABC绕点A顺时针旋转角度得到的,.DE = AC = AF, /BAF=% /DBE=/ABC=%/ DEB = / C= %./ DEB= /BAF,.DE/AF,.DE = AF,四边形AFDE是平行四边形；(2)证明：DBE是由 ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，zAFG是由 ABC绕点A顺时针旋转90得到的，./DBA=/FAB=90 , DB = AB=AF, / DBA+ /FAB=180 , .DB/AF,四边形AFDB是平行四边形， .DB = AF,四边形AFDB是菱形， / DBA=90

18、 , 菱形AFDB是正方形；解：如解图，过点D作DHLBE于点H,由旋转知， DBE二 ABC,BD=DE=AB=AC, / ABC= / DBE=60 , 在 RtDBH 中，BH=2,BE=2BH=4;第5题解图(3)解：四边形AEDG是平行四边形.证明：:四边形ABDF是正方形， ./DFA=/DBA=90 , AB=DF,又. /DBE = /AFG,./EBA=/GFD,A AB=DF,在 AABE 和 4DFG 中，</EBA=/GFD, I BE=GF, .ABE 二DFG(SAS);AE=DG,X/de=ag, 四边形AEDG是平行四边形. 6.综合与实践独立思考：已知正

19、方形ABCD,如图，点E和F分别是边AB和AD边上的点, 且AE = AF,则线段DF与BE之间有怎样的关系？请直接写出结论；合作交流：(2) 如图，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转%当0<90时，连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转%当= 90°时，连接BE、DF,若AE=5,则当直线DF垂直平分EB时，直接写出 AD的值；(4)如图，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转%当90 <180时，连接BD、DE、FB,得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDE

20、F的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论.图图国图第6题图解：(1)DF = BE,且 DFXBE.【解法提示】:四边形ABCD是正方形, .AD = AB, AD LAB,AE=AF, .DF = BE,且 DFXBE;(2)(1)中的结论成立.证明如下：第6题解图如解图，延长DF交AB于点H,交BE于点G,由题意可知/ DAF = / BAE,在4DAF与4BAE中，DA=BAD /DAF=/BAE,I AF = AE/.ADAFABAE(SAS), .DF = BE, /ADF=/ABE, . /ADF+ /DHA + 90 = / ABE+ / BHG+ / HGB,

21、且 /DHA=/BHG,./ HGB=90 ,即/DGB=90 ,即 DFXBE, .DF = BE,且 DFXBE;(3)AD = 5/2+5.【解法提示】连接BD,如解图， 直线DF垂直平分BE, .AD + AE=BD, BD = &AD,AE=(<21)AD, AE=5,AD = 52+5.图图第6题解图(4)正方形.【解法提示】连接BE、DF,如解图，与(2)同理得出BE=DF, BEXDF,结合中位线的性质可知，顺次连接四边形 BDEF各边中点所组成的四 边形是正方形.类型四图形折叠型 7.综合与实践：数学活动：标准纸”尺寸的研究问题情境：A4纸是我们学习、工作中最常

22、用的纸张之一，小明通过网 络搜索得到A4纸是由国际标准化组织的 ISO 216定义的，其长宽比是 也：1,规格为210 mm<297 mm,如图所示，A0纸是面积为1 m2,长宽 比为淄：1的纸张，接下来的A1 , A2, A3等纸张尺寸，都是定义成将编 号少一号的纸张沿着长边对折，然后保留最接近的毫米值.”于是，我们定义：长与宽之比为V2 ： 1的矩形纸片称为标准纸”.如图所示A组纸都 是标准纸”.国图第7题图操作判断：(1)如图所示，矩形纸片 abcd(ad=/2ab)是一张 标准纸”，将纸片折叠一次，使点 B与点D重合，再展开，折痕EF交AD于点 E,交BC于点F,交BD于点O,分

23、别连接BE和DF,判断四边形BFDE 是哪种特殊的四边形，并说明理由；探究发现：（2）如图所示，在（1）的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕 MN交AD边于点M,交BC 边于点N,交BD也是点O,然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM 是否为标准纸”，说明理由；8 F CA E D第7题图（3）通过以上操作探究，请你写出一个有关 标准纸”的结论，例如 标准 纸”长和宽的比值为22 ： 1.解：（1）四边形BFDE是菱形；证明：当点B与点D重合时，折痕EF垂直平分BD,.OB=OD, /BOF=/DOE = 90 .在矩形 ABCD 中，AD/BC,./OB

24、F=/ODE.在ABOF和ADOE中,r /OBF= / ODE, I工 OB=OD,1/BOF= / DOE,/.ABOFADOE(ASA), .OE = OF, .OB=OD, 四边形BFDE是平行四边形.VEFXBD, 四边形BFDE是菱形；纸片ENFM是标准纸”；理由如下：由（1）可知，OE=OF, 同理可证，OM = ON, 四边形ENFM是平行四边形.丁四边形ABCD是矩形,./DAB=/DOE = 90 , /ODE=/ADB, OE AB . tan/ ode=q5 = Ad-AD = AB,.OE，OD, EF = -22BD,同理可得，MN=-22AC,丁四边形ABCD是矩

25、形,AC=BD,.EF=MN.四边形ENFM是矩形,./ EMF = 90 .19MF OD - taniZ FEM - me = oe = V2,.mf = V2me,.上氏片ENFM是标准名氏”;（3）答案不唯一，例如:所有的 标准纸”形状都相似;图中四边形ENFM的面积是四边形ABCD面积的一半;A0纸与A1纸的面积之比为2 ： 1;A3纸与A2纸的周长之比为1 : V2. 8.综合与实践：折叠中的数学.已知在矩形纸片 ABCD中，AB = 24 cm, BC= 10 cm.任务一：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折, 展开得到图中的折痕四边形 EFGH（如图），求菱形E

26、FGH的面积.任务二：如图，将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折，再将纸片折 叠使点A与点C重合得折痕EF,则四边形AECF必为菱形，请加以证明.任务三：请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH（不同于任务一中的特殊图形），使菱形的四个顶点分别落在矩形 ABCD的四条边上（即点E, F,G, H分别在边AB, BC, CD, DA上，且不与矩形ABCD的顶点重合）.第8题图*图C23 图(1)请简述操作的方法，并在图 中画出菱形EFGH.(2)求菱形EFGH的面积的取值范围.解：任务一：如解图，由折叠性质可得：HF = AB=24 cm, GE=BC= 10 cm .-1 1 一 一 一 0 S

27、菱形 efgh =/HF GE = 24X0 = 120 cm , 菱形EFGH的面积为120 cm2.第8题解图 第8题解图任务二：证明：如解图 ，设两折痕的交点为O, 由折叠性质可得：EFXAC, OA= OC,丁四边形ABCD是矩形，.DC / AB. ./ ECO= / FAO.在AEOC和AFOA中,/ECO=/FAO OC = OAI / EOC= / FOA/. AEOCAFOA(ASA). .OE = OF, . OE = OF, OC=OA, 四边形AECF是平行四边形.又. EFLAC,平行四边形AECF是菱形.任务三：（1）如解图，将矩形纸片分别沿着对角线 AC, BD折

28、叠，设 两折痕的交点为O,展开后沿经过点O的直线FH折叠，展开后再沿经过 点O且与FH垂直的直线EG折叠，而后展开得到的折痕四边形 EFGH就 是符合要求的菱形.第8题解图(2户四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是菱形, ./GDH = /GOH = 90 , .O, G, D, H四点共圆， ./GHO=/GDO, tan/ GHO = tan/GDO,OG BC 105，OHDC 24- 12，设 OG=5k,则 OH=12k, .FH = 24k, GE=10k,.c12 S菱形 efgh =?FH GE= 120k ,在 RtABC 中,AC= i/AB2 + BC2 = 242+1

29、02= 26, 1. .OA=2AC=13.当 OHLAD 时，OH = 2aB=12,.12<OH<13,.12<12k< 13, -1<k<1|, -1<k2< 1169,? 845 120< 120k2<,6，即菱形EFGH的面积大于120 cm2且小于865 cm2.拓展类型 9.如图，等边三角形 ABC中，点D、E、F、分别为边AB, AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，4DMN为等边三角形5图一24第9题解图(1)如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系?(2)如图，当点M在BC上时，其它条件不变

30、，(1)的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图证明；若不成立， 请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断 (1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理 由.解：(1) EN与MF相等，证明：如解图，连接DE、DF,.ABC和4DMN为等边三角形， .DM = DN, /MDN=60 , 点D、E、F分别为边AB, AC, BC的中点， .DEF是等边三角形， ./ MDF = /NDE,DM = DN,，/MDF =/NDE,、DF = DE,/. ADMFADNE, /. EN=MF;第9题图解(2)成立，证明：如解图，连接DE, DF, EF.第1题解图 ABC是等边三角形,AB=AC=BC. .D, E, F是三边的中点， .DE, DF, EF为三角形ABC的中位线. .DE=DF=EF, /FDE=60 .又/MDF + /FDN=60 ； / NDE+/FDN=60 , ./ MDF = /NDE.在4DMF和ADNE中,'DF = DE,，/MDF =/N