2019年全国1卷文科数学

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设 z = -3，则 Z =（）1 2iA.2B., 3C.2D.12 .已知集合 U =1,2,3,4,5,6,7 , A = 2,3,4,5, B = 2,3,6,7,则 BA=（）A.11,6）B.11,7）/6,7）D.11,6,7）一乙一_ .0.20.33 .已知 a = log2 0.2,b = 2 , c = 0.2 ，则（）A. a : b : cB. a : c : bC. c : a : bD. b : c

2、: a4 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是-1二12（Y5二1 = 0.618 ,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美2人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是Y5二1.若某人满足上述两个黄2金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是（）A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsin x x5 .函数f（x）=在兀，兀的图像大致为（）cosx xB.7T ,-TT6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,，1 000,从这些新

3、生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（7.8.9.A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生tan255 A. -2- ,3B. 2+、3C. 2- 33D.2+ ,3已知非零向量 a, b满足a =2 b ,且（a-b）_L b,则a与b的夹角为（A.-6B.-3D.如图是求112+二的程序框图，图中空白框中应填入（2 12A. A =2 AB.1A =2 - AA 1C. A -1 2AD.1A = 12A210.双曲线C: x2a2y2 = 1（a 0,b 0）的一条渐近线的倾斜角为 b130C的离心

4、率为A. 2sin40B. 2cos40 C. 1sin50D.COS501.ABC勺内角 A B C 的对边分别为 a,b, c,已知 asin A bsin B = 4csin C,cosA4则2 = cA. 6B. 5C. 4D.12 .已知椭圆C的焦点为 F1(1,0), F2(1,0),过 F2的直线与C交于 A, B两点.若|AF2| = 2|F2B|, | AB|=|BF1|,则 C的方程为()22D, 上 幺=15422222x2xyxy.A. y=1B.匚=1C.匚=123243二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,

5、0)处的切线方程为 .314 .记&为等比数列an的前n项和.若a1 =1, S3=,则S4=.4.一、3兀15 .函数 f(x)=sin(2x + )3cosx 的最小值为216 .已知/ ACB90 , P为平面ABO一点，PC=2,点P到/ ACBW边AC BC的距离土匀为 阴,那么P到平面ABC勺距离为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17 .(本小题满分12分)某商场为提高服务质量， 随机调查了 50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场

6、的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%勺把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?2附：犬二n(ad -bc)(a b)(c d)(a c)(b d)P (K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818 .(本小题满分12分)记$为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a=4,求an的通项公式；(2)若ai0,求使得的n的取值范围.19 .(本小题满分12分)如图，直四棱柱 ABC6 ABGD的底面是菱形， AA=4, AB=2, / BAB

7、60 , E, M N分 别是BC BB, A1D的中点.(1)证明：MN/平面CDE(2)求点C到平面CDE的距离.20 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) =2sinxxcosx x , f(x)为 f(x)的导数.(1)证明：f (x)在区间(0,兀)存在唯一零点；(2)若xe 0 ,兀时，f (x)至ax,求a的取值范围.21 . (本小题满分12 分)已知点A, B关于坐标原点 O对称，I AB =4, OM过点A, B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径；(2)是否存在定点 P,使彳导当A运动时，1 MA| | MP1为定值？并说明理由.(二)选

8、考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22 .选彳4- 4- 4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)1-t2j X =2 ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11+t(t为参数)，以坐标原点 O4t为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 Pcos 0 +百 PsinO +11 = 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23 .选彳4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明：,、111222(1)一十一十一24.2019年普通高等学校招生全

9、国统一考试文科数学参考答案、选择题1. C2. C3. B4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. D11. A12. B二、填空题13. y=3x514.-15. -416. V28三、解答题17.解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为= 0.8,因此男顾客对该商50场服务满意的概率的估计值为0.8 .30女顾客中对该商场服务满意的比率为=0.6 ,因此女顾客对该商场服务满意的概率50的估计值为0.6 ._2 丁=100 20一30”04762.50 50 70 30由于4.762 3.841,故有95%勺把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18 .解：

10、(1)设Gn的公差为d.由 S9 = -95得 a1 +4d =0 .由a3=4得 a1 +2d =4 .于是 a1 =8,d = -2 .因此 On的通项公式为an =10 -2n .(2)由(1)得阚=-4d ,故 an = (n 5)d,Sn =-n(n一.2由 a1A0知 d 0,故 Snian等价于 n2 -11n +10, 0,解得 1w n 10.所以n的取值范围是n|118n 10, n N.19 .解：(1 )连结B1C, M E.因为M, E分别为BB1, BC的中点，所以ME / B1c ,且11ME = B1c.又因为N为AD的中点，所以ND= A1D. 22由题设知

11、AB= DC ,可得BC= A1D ,故ME= ND ,因此四边形 MNDE平行四 边形，MN / ED .又MN0平面CiDE ,所以MN/平面CiDE .(2)过CfCE勺垂线，垂足为H由已知可得 DE _L BC , DE _LCiC ,所以Da平面CiCE ,故Da CH.从而CHL平面C1DE ,故CH勺长即为CiJ平面C1DE的距离，由已知可得CE=1,GC=4，所以 C1 E = Jl7 ,故 CH =117从而点CiJ平面C1DE的距离为4 171720 .解：(1)设 g(x) = f (x),贝U g(x) =cosx+xsin x1,g(x) = xcosx.当x W (

12、0,-)时，g (x) A0 ；当xW仁冗|时，gx) 0 ,所以g(x)在(0,-)单调递222增，在工冗|单调递减.2又g(0)=0,g弓卜装(力=2故g(x)在。力存在唯一夺点.所以f(x)在(0,冗)存在唯一零点.(2)由题设知f(劝丑砥f (访=0 ,可得aw。.由(1)知，f (x)在(0,力只有一个零点，设为 X0,且当xw(0,x)时，f(X)A0；当XW(X0,Tt)时，f(x)0,所以f (X)在(0,X0)单调递增，在(X0,叫单调递减.又 f(0) =0, f (冗)=0,所以，当 xw0,用时，f(X0.又当 a, 0,xw0,用时，ax 0,故 f(x)ax.因此，

13、a的取值范围是(一与0.21 .解：(1)因为M过点A, B ,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0 上，且A, B关于坐标原点 O对称，所以M在直线y = x上，故可设 M(a, a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r=|a + 2|.由已知得|AO|=2,又 MO _ AO ,故可得 2a2+4 = (a+2)2,解得 a=0或 a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|MP |为定值.理由如下：设M (x, y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO _L AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2 ,化简得M勺轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线 x = -1为准线的抛物线，所以 |MP|=x+1 .因为|MA|-|MP|=r |MP|=x+2 (x+1)=1 ,所以存在满足条件的定点 P.22 .解：(1)因为-1 1-ty 1 ,且 X2 + I1 t221-t2 ,211 +t J (1+t2)2=1,所以C勺直角2坐标方程为X2 = 1(x-1).4l的直角坐标方程为2x + 73y+11 = 0X = cos ,(2)由(1)可设C勺参数万程为(a为参数，